이전 문제

컴퓨터 과학에서, 선행 문제는 주어진 요소를 효율적으로 쿼리하기 위해 일련의 항목을 관리하는 것을 포함한다.이 문제를 해결하기 위해 사용되는 데이터 구조에는 균형 잡힌 이진 검색 트리, van Emde Boas 트리 및 퓨전 트리가 포함됩니다.정적 선행 문제에서는 요소 세트가 변경되지 않지만 동적 선행 문제에서는 집합에 대한 삽입 및 삭제가 ^[1]허용됩니다.

이전 문제는 가장 가까운 네이버 문제의 단순한 사례로, 이를 해결하는 데이터 구조에는 정수 정렬과 같은 문제가 있습니다.

정의.

이 문제는 U 정수의 $서브셋$ 을 포함하는 $집합$ S를 유지하는 것으로 구성됩니다.이러한 각 정수는 w의 $워드$ 크기로 저장할 수 있습니다.즉, U $U\leq 2^{w}$ 2 $U\leq 2^{w}$ \ $displaystyle$ U \ $leq$ 2^ { $w$ } 입니다.문제를해결하는데이터구조는다음연산을지원합니다.^[2]

predecessor(x) $S$ 에서 x $이하$ 인 가장 큰 요소를 반환합니다.
successor(x) $S$ 에서 x 이상의 최소 요소를 $반환$ 합니다.

또한 문제의 동적 버전을 해결하는 데이터 구조도 다음 작업을 지원합니다.

insert(x) $set$ S에 x를 $추가$ 합니다.
delete(x) $set$ S에서 x를 $삭제$ 합니다.

이 문제는 일반적으로 단어 RAM과 같은 전이성 계산 모델에서 분석됩니다.

데이터 구조

1(001₂), 4(100₂) 및 5(101)의₂ 정수를 포함한 x-fast trie로 이전 문제를 효율적으로 해결할 수 있습니다.

이 문제에 대한 간단한 해결책 중 하나는 균형 잡힌 바이너리 검색 트리를 사용하는 것입니다.이 트리는 (Big O 표기로) 이전 쿼리의 실행 시간을 O $O(\log n)$ n $)\displaystyle$ O $(\log$ n $)$ 로 $O(\log n)$ .Van Emde Boas 트리의 쿼리 시간은 O $O(\log \log U)$ log ${\$ U )(\ $displaystyle$ O $(\log \log$ U $O(\log \log U)$ 이지만 O $)\$ ^[1] $displaystyle$ O $(U)$ 공간이 $O(U)$ $O(U)$ 합니다.Dan Willard는 O $O(n\log U)$ ( $O(n)$ log $O(n\log U)$ U $O(n\log U)$ ) \ $displaystyle$ O ( $n$ \ $log$ U ) \ ^[3] $displaystyle$ O $( n$ \ $O(n)$ log U $O(n\log U)$ )공간과 $O(n\log U)$ $O(n)$ 동일한 쿼리 시간이 $O(n)$ 한 보다 복잡한 y-fast trie를 사용하여 공간 사용률 개선을 제안했습니다 $O(n)$ Michael Fredman과 Willard에 의해 도입된 퓨전 트리는 정적 ^[4]문제에 대한 이전 쿼리의 $O(\log _{w}n)$ O $O(\log _{w}n)$ w $O(\log _{w}n)$ $)$ { $display style$ O $(\log$ _ ${w}n)}$ 쿼리 $O(\log _{w}n)$ $O(n)$ 과 O $)$ { $displaystyle$ O $(n)}$ 을 $O(n)$ $O(\log _{w}n)$ 합니다.동적 문제는 O $O(\log _{w}n+\log \log n)$ w $O(\log _{w}n+\log \log n)$ n + log $O(\log _{w}n+\log \log n)$ log $O(\log _{w}n+\log \log n)$ n $O(\log _{w}n+\log \log n)$ ){ $display style$ O $(\log$ _ ${w}n+\log \log$ n $)}$ 쿼리 $O(\log _{w}n+\log \log n)$ ^[5]시간과 해싱을 ^[6]사용하는 O $O(\log _{w}n)$ w $O(\log _{w}n)$ n $)\displaystyle$ O $(\log$ _ ${w}n})$ 쿼리 $O(\log _{w}n)$ 시간을 $O(\log _{w}n)$ 지수 트리를 사용하여 해결되었습니다.

수학적 특성

이전 문제에 대한 하한을 증명하거나 점근적으로 최적의 솔루션의 실행 시간이 얼마인지 확인하는 다수의 논문이 있었다.예를 들어 Michael Beame과 Faith Ellen은 w의 $모든$ 값에 대해 쿼리 시간(Big Theta 표기법에서는 $\Omega \left({\tfrac {\log w}{\log \log w}}\right)$ log $\Omega \left({\tfrac {\log w}{\log \log w}}\right)$ log $\Omega \left({\tfrac {\log w}{\log \log w}}\right)$ log $\Omega \left({\tfrac {\log w}{\log \log w}}\right)$ log w log $\Omega \left({\tfrac {\log w}{\log \log w}}\right)$ w w $)$ 의 n $값$ 이 존재함을 증명했습니다.\ display style $\ Omega$ \ $left$ ( { \ $tfrac$ \ $log$ w} { \ $log$ \ $log$ w} { \ light } } \ light $\Omega \left({\tfrac {\log w}{\log \log w}}\right)$ } $\Omega \left({\tfrac {\log w}{\log \log w}}\right)$ } ） , $values$ ,,,, 。 $\Omega \left({\sqrt {\tfrac {\log n}{\log \log n}}}\right)$ ( $\Omega \left({\sqrt {\tfrac {\log n}{\log \log n}}}\right)$ $\Omega \left({\sqrt {\tfrac {\log n}{\log \log n}}}\right)$ log $\Omega \left({\sqrt {\tfrac {\log n}{\log \log n}}}\right)$ ( { \ $sqrt$ \ $tfrac$ \ $log$ n $}{$ \ $log$ \ $log$ n $}}$ \ right $\Omega \left({\sqrt {\tfrac {\log n}{\log \log n}}}\right)$ ^[1]}. 통신의 복잡성에 대한 기타 증명.

정적 선행 문제의 경우, Mihai Pütra andcu와 Mikkel Thorup은 세포 ^[7]프로브 모델에서 최적의 검색 시간에 대한 다음과 같은 하한을 보였다.

O(1)\min \left\{\begin{array}{l}\log _{w}n\lg {frac {ell -\lg n}{a}}\frac \left(\frac {a}{\lg n}}{\frac {a}}}\lg \left(\frac {a}\lg}\frac {a}\lg}\lg}\frac {\lg}\lg}\frac}\lg}\lg}\lg\lg}\l}}\{\frac\frac{a}}{\lg\left(\lg\frac\ell}{a}}\right/\left.\lg\frac{a}}}\end{array}\right.

RAM에는 w\

displaystyle

w\

displaystyle

w

w

lg

의

w

가 있으며, 세트에는

\displaystyle\

ell

\ell

비트의

n개

의

n

정수가

n

되어 있으며

,

RAM에 S\

displaystyle

S

a=\lg {\frac {S}{n}}+\lg w

displaystyle S

a=\lg {\frac {S}{n}}+\lg w

lg

S

공간을

S

하여 표현되며,

=

a=\lg {\frac {S}{n}}+\lg w

a=\lg {\frac {S}{n}}+\lg w

+

a=\lg {\frac {S}{n}}+\lg w

w

\displaystyle

a

=\lg

frac

{S

w

\

lg}를

a=\lg {\frac {S}{n}}+\lg w

합니다.

$w$ $w=\ell =\gamma \lg n$ $\gamma >1$ = $lg$ lg $w=\ell =\gamma \lg n$ n \ $displaystyle$ w = \ $ell$ = \ $lg$ n $for$ 1 $\gamma >1$ 、 $S=n\cdot \lg ^{O(1)}n$ $S=n\cdot \lg ^{O(1)}n$ $S=n\cdot \lg ^{O(1)}n$ $\$ $S=n\cdot \lg ^{O(1)}n$ O ( $S=n\cdot \lg ^{O(1)}n$ ) $S=n\cdot \lg ^{O(1)}n$ \ $displaystyle$ S $= n$ \ $cdot ^$ { $O$ ( $1$ ) $n$ lg n 의 경우, 최적의 검색 시간은 LG $\Theta (\lg \ell )$ ( ) 입니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c Beame, Paul; Fich, Faith (August 2002). "Optimal Bounds for the Predecessor Problem and Related Problems". Journal of Computer and System Sciences. 65 (1): 38–72. doi:10.1006/jcss.2002.1822. S2CID 1991980.
^ Rahman, Naila; Cole, Richard; Raman, Rajeev (17 August 2001). Optimized Predecessor Data Structures for Internal Memory (PDF). International Workshop on Algorithm Engineering. pp. 67–78.
^ Willard, Dan (24 August 1983). "Log-logarithmic worst-case range queries are possible in space Θ(n)". Information Processing Letters. 17 (2): 81–84. doi:10.1016/0020-0190(83)90075-3.
^ Fredman, Michael; Willard, Dan (1990). "Blasting through the information theoretic barrier with fusion trees". Symposium on Theory of Computing: 1–7.
^ 를 클릭합니다Andersson, Arne; Thorup, Mikkel (2007), "Dynamic ordered sets with exponential search trees", Journal of the ACM, 54 (3): A13, arXiv:cs/0210006, doi:10.1145/1236457.1236460, MR 2314255, S2CID 8175703.
^ 를 클릭합니다Raman, Rajeev (1996), "Priority queues: small, monotone and trans-dichotomous", Fourth Annual European Symposium on Algorithms (ESA '96), Barcelona, Spain, September 25–27, 1996, Lecture Notes in Computer Science, vol. 1136, Berlin: Springer-Verlag, pp. 121–137, doi:10.1007/3-540-61680-2_51, ISBN 978-3-540-61680-1, MR 1469229.
^ ^a ^b Pătraşcu, Mihai; Thorup, Mikkel (21 May 2006). "Time-space trade-offs for predecessor search". Proceedings of the Thirty-Eighth Annual ACM Symposium on Theory of Computing: 232–240. arXiv:cs/0603043. doi:10.1145/1132516.1132551. ISBN 1595931341. S2CID 1232.

[Beame-1] Beame, Paul; Fich, Faith (August 2002). "Optimal Bounds for the Predecessor Problem and Related Problems". Journal of Computer and System Sciences. 65 (1): 38–72. doi:10.1006/jcss.2002.1822. S2CID 1991980.

[Rahman-2] Rahman, Naila; Cole, Richard; Raman, Rajeev (17 August 2001). Optimized Predecessor Data Structures for Internal Memory (PDF). International Workshop on Algorithm Engineering. pp. 67–78.

[Willard-3] Willard, Dan (24 August 1983). "Log-logarithmic worst-case range queries are possible in space Θ(n)". Information Processing Letters. 17 (2): 81–84. doi:10.1016/0020-0190(83)90075-3.

[Fredman90-4] Fredman, Michael; Willard, Dan (1990). "Blasting through the information theoretic barrier with fusion trees". Symposium on Theory of Computing: 1–7.

[5] 를 클릭합니다Andersson, Arne; Thorup, Mikkel (2007), "Dynamic ordered sets with exponential search trees", Journal of the ACM, 54 (3): A13, arXiv:cs/0210006, doi:10.1145/1236457.1236460, MR 2314255, S2CID 8175703.

[6] 를 클릭합니다Raman, Rajeev (1996), "Priority queues: small, monotone and trans-dichotomous", Fourth Annual European Symposium on Algorithms (ESA '96), Barcelona, Spain, September 25–27, 1996, Lecture Notes in Computer Science, vol. 1136, Berlin: Springer-Verlag, pp. 121–137, doi:10.1007/3-540-61680-2_51, ISBN 978-3-540-61680-1, MR 1469229.

[Mihai-7] Pătraşcu, Mihai; Thorup, Mikkel (21 May 2006). "Time-space trade-offs for predecessor search". Proceedings of the Thirty-Eighth Annual ACM Symposium on Theory of Computing: 232–240. arXiv:cs/0603043. doi:10.1145/1132516.1132551. ISBN 1595931341. S2CID 1232.

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