공간 복잡성

알고리즘이나 컴퓨터 프로그램의 공간 복잡성은 입력의 특성의 함수로 계산 문제의 한 예를 해결하는 데 필요한 메모리 공간의 양이다. 완전히 실행될 때까지 알고리즘에 의해 요구되는 메모리다.^[1]

Similar to time complexity, space complexity is often expressed asymptotically in big O notation, such as ${\displaystyle O(n),}$ ${\displaystyle O(n\log n),}$ ${\displaystyle O(n^{\alpha }),}$ ${\displaystyle O(2^{n}),}$ etc., where n is a characteristic of the inp공간 복잡성에 영향을 미친다.

공간 복잡성 클래스

시간 복잡도 클래스 DTIME(f(n) 및 NTIME(f(n))과 유사하게, 복잡도 클래스 DSPACE(f(n))와 NSPACE(f(n)는 결정론적(존중, 비결정론적)에 의해 결정 가능한 언어의 집합이다. $O$${\displaystyle (f}$(${\displaystyle n}$)${\displaystyle O(f(n))}$ 공간을 사용하는 튜링 시스템. 복잡도 등급 PSPACE와 NPSPACE는 p와$$NP와 $유사$하게 f {\displaystyle $f}$을(를) 모든 다항식으로 허용한다$$. 그것은

${\displaystyle {\mathsf {PSPAC}=\bigcup_{c\in \mathb {Z}^{+}}{\mathsf {DSPAC}(n^{c})}}$

그리고

${\displaystyle {\mathsf {NPSPACE}=\bigcup_{c\in \mathb {Z}^{+}}{\mathsf {NSPACE}}(n^{c})}$

계층간 관계

공간 계층 구조 정리는 모든 공간 구성 $함수{\displaystyle }$ f${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$) ${\displaystyle f(n)}$에 $대해{\displaystyle }$$$f${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle f(n)}$ 메모리$$ 공간을 가진 시스템에서 해결할 수 있는 문제가 존재하지만 $f{\displaystyle }$(${\displaystyle n)}$ ${\displaystystyf(n)}$ 공간보다$$ 작은 시스템에서는 점증적으로 해결할 수 없다고 명시한다.

복잡성 클래스 사이의 다음 내용은 유지된다.^[2]

${\displaystyle {\mathsf {DTIME}}\left(f\left(n\right)\right)\subseteq {\mathsf {DSPACE}}\left(f\left(n\right)\right)\subseteq {\mathsf {NSPACE}}\left(f\left(n\right)\right)\subseteq {\mathsf {DTIME}}\left(2^{O\left(f\left(n\right)\right)}\right)}$

더욱이, Savitch의 정리는 만약 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathrm{\Omega }}$( ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$)${\displaystyle f\in \Oomega (\log(n)})$이(가)}인 경우 역격납을 한다$.$

${\displaystyle {\mathsf {NSPACE}\좌(f\좌(n\우)\우)\subseteq {\mathsf {DSPACE}}\좌(f\좌)(n\우)^{2}\우)}$

$직접적{\displaystyle \mathsf{}}$ 산호로서 P ${\displaystyle \mathsf{S}}$ P ${\displaystyle \mathsf{A}}$ C${\displaystyle \mathsf{E}}$ = ${\displaystyle \mathsf{N}}$ ${\displaystyle P\mathsf{}}$ ${\displaystyle \mathsf{S}}$ P ${\displaystyle \mathsf{A}}$ ${\displaystyle \mathsf{C}}$ ${\displaystyle \mathsf{E}}$ ${\${\$mathsf{PSPACE}={\mathsf{NPSPACE$ 이 결과는 비결정론이 문제 해결에 필요한 공간을 소량만 줄일 수 있다는 점을 시사해 놀라움을 자아낸다. 대조적으로, 지수 시간 가설은 시간 복잡성에 대해 결정론적 복잡성과 비결정론적 복잡성 사이에 지수적 차이가 있을 수 있다고 추측한다.

The Immerman–Szelepcsényi theorem states that, again for ${\displaystyle f\in \Omega (\log(n))}$, ${\displaystyle {\mathsf {NSPACE}}(f(n))}$ is closed under complementation. 이는 비결정론적 시간 복잡성 클래스가 보완에 따라 닫힌다고 여겨지지 않기 때문에 시간과 공간 복잡성 클래스의 또 다른 질적 차이를 보여준다. 예를 들어, NP ≠ co-NP로 추측된다.^[3][4]

로그스페이스

L 또는 LOGSPACE는 입력 크기와 관련하여 $O{\displaystyle (\log }$ ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle O(\log n)}$개의$$ 메모리 공간만 사용하여 결정론적 튜링 시스템에서 해결할 수 있는 문제의 집합이다. 전체 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ -bit$$ 입력을 인덱싱할 수 있는 단일 카운터라도 ${\displaystyle \mathrm{로그}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \log n}$ 공간이$$ 필요하므로 LOGSPACE 알고리즘은 일정한 수의 카운터나 유사한 비트 복잡도의 다른 변수만 유지할 수 있다.

LOGSPACE 및 기타 하위 선형의 공간 복잡성은 컴퓨터의 RAM에 맞지 않는 대용량 데이터를 처리할 때 유용하다. 그것들은 스트리밍 알고리즘과 관련이 있지만, 사용할 수 있는 메모리의 양만을 제한하는 반면, 스트리밍 알고리즘은 입력이 알고리즘으로 공급되는 방법에 추가적인 제약이 있다. 이 세분류는 또한 연구자들이 L = RL의 개방적인 문제를 고려하는 유사성 및 비완도화 분야에서도 사용된다고 본다.^[5][6]

해당 비결정론적 공간 복잡도 등급은 NL이다.

보조 공간 복잡성

보조공간이란 입력에 의해 소비되는 공간 이외의 공간을 말한다. 보조 공간 복잡성은 공식적으로 쓰일 수 없는 별도의 입력 테이프와 쓰일 수 있는 기존의 작업 테이프가 있는 튜링 기계의 관점에서 정의될 수 있다. 그런 다음 작업 테이프를 통해 보조 공간 복잡성을 정의(분석)한다. 예를 들어, $n개$의 ${\displaystyle$ n${\displaystyle \}}$ $노드$가 있는 균형 잡힌 이진 트리의 깊이 우선 검색을 고려하십시오. 보조 공간 복잡성은 $\theta {\displaystyle \mathrm{}(\log \mathrm{nn}}$ )$${\$displaystyle \Theta(\log$ n$)}$ 입니다$.$

참조