플럼머 모델

플럼머 모델 또는 플럼머 구체는 H. C. 플럼머가 구상 성단의 관측에 맞추기 위해 처음 사용한 밀도 법칙이다.^[1]그것은 현재 항성계의 N-body 시뮬레이션에서 장난감 모델로 자주 사용된다.

모델 설명

Flummer 3차원 밀도 프로파일은 다음과 같다.

${\displaystyle \rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\좌측(1+{\frac{r^{2}}}{a^{2}}}\우측)^{-{\frac {5}{2}}},}$

여기서 $M{\displaystyle {}_{}}$ ${\$은 클러스터의$$ 총 질량이며, a는 클러스터 코어의 크기를 설정하는 스케일 파라미터인 플러머 반지름이다.그에 상응하는 잠재력은 다음과 같다.

${\displaystyle \Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt{r^{2}+a^{2}}}}},}$

여기서 G는 뉴턴의 중력 상수다.속도 분산은

${\displaystyle \sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}}{6{\sqrt{r^{2}+a^{2}}}}}}.}$

분포 함수는

${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {24{\sqrt {2}}}{7\pi ^{3}}}{\frac {Na^{2}}{G^{5}M_{0}^{5}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},}$

if ${\displaystyle E<0}$, and ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})=0}$ otherwise, where ${\displaystyle E({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {1}{2}}v^{2}+\$$Phi _{P}(r)}$이(가) 특정 에너지다.

특성.

$반지름{\displaystyle }$ r$${\$displaystyle r}$ 내에 둘러싸인 질량은 다음과 같이 주어진다$$.

${\displaystyle M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{0}{\r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}.}$

플럼머 모델의 다른 많은 특성들은 헤르비히 데종허의 포괄적인 기사에 설명되어 있다.^[2]

코어 반지름 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 표면 밀도가 중심 값의 절반으로 떨어지는$$${\displaystyle r_{}}$= ${\displaystyle 2\sqrt{\sqrt{\mathrm{}}}}$- 1${\displaystyle \sqrt{\mathrm{³}}}$ ${\displaystyle 0.\mathrm{64}}$ a ${\displaystyle r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt{2}}-1}\$ 약 $0.64a}$이다$.$

반 질량 반경은 ${\displaystyle r_{}}$ h${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {\frac{{\mathrm{}}^{}}{}1\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ 0.${\displaystyle {\frac{5^{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle {\frac{{2\mathrm{}}^{}}{}}^{}}$/ ${\displaystyle {3\frac{{}^{}}{}}^{}}$- ${\displaystyle {\frac{{1\mathrm{}}^{}}{}}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- 0.5${\displaystyle {\mathrm{a}}^{}}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle 1.3}$ ${\displaystyle \mathrm{a}}$. ${\displaystyle r_{h}=\왼쪽({\frac$ {$1}{0.5^{2/3}-1\right)^{-0.5}a\$약 1$.3a이다.$$}$

처녀반경은 ${\displaystyle r_{}}$ V${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \frac{16}{}}$ 3 ${\displaystyle \frac{\pi }{}}$ a${\displaystyle \frac{}{}}$.${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle r_{V}={\$frac {$16}{3\pi }a\$약 1$.7a}$이다$.$

2D 표면 밀도는 다음과 같다.

${\displaystyle \Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^{2$$}}M_{0}dz}{4\pi(a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2}}={$5/2}}={\$frac {M_{0}a^{2}}:{\pi(a^{2}+R^{2})^{2}}}}}:{$2$\}\},$ ,

따라서 2D 투영 질량 프로파일은 다음과 같다.

${\displaystyle M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a^{2}+R^{2}}}}$.

천문학에서 2D 투영 질량 프로파일이 총 질량의 절반인 반경인 $2D{\displaystyle }$ 반 질량 반경을 정의하는 것이 편리하다$:$ M${\displaystyle }$( R ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle M(R_{1/2$)$=M_{0}/2$}$$$.$

Flummer 프로필의 경우: ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$= ${\displaystyle R_{1/2}=a}$.

어느 지점에서든 탈출 속도는

${\displaystyle v_{\rm {esc}(r)={\sqrt{-2\Phi(r)}}={\sqrt{12}\,\sigma(r),}$

For bound orbits, the radial turning points of the orbit is characterized by specific energy ${\displaystyle E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)}$ and specific angular momentum ${\displaystyle L= {\vec {r}}\times {\vec {v}} }$ are given by the positive roots of the cubic equation

${\displaystyle R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}R^{2}-\좌측({\frac {L^{2}}:{\frc}{{2}){2}E}}+a^{2}}\오른쪽)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}:{E}=0,}$

여기서 $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle r\sqrt{{}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$+ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\$}${\displaystyle \}\}\}\},<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; R=\{\backslash sqrt\; \{r^\{2\}+a^\{2\}\}\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/6cb0d4d97458cf6e3d451555bfa03686f961ba51"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:14.414ex;\; height:3.509ex;"\; papago-attr-id="73">}$ ${\displaystyle r\sqrt{{}^{}}}$= ${\displaystyle \sqrt{{R\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \sqrt{{2\mathrm{}}^{}}}$- 2 {\$displaystyle$r={\$sqrt{R^{2$}-$a^{$2$\}\}.$이 방정식은 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R}$에 대한 세 가지 실제 근원을 가지고 있다$.$ < $($E){\$displaystyle L_{c}(E$ $여기$서 L $)$는 동일한$$ 에너지에 대한 원형 궤도에 대한 특정 각도 운동량이다.여기서 $L{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ ${\$은(는) 입방정식의 판별의 단일 실제 루트에서 계산할 수 있는데$$, 그 자체가 또 다른 입방정식이다.

${\displaystyle {\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\underline {L}}_{c}^{2}+\left(12{\underline {E}}^{3}{\underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\underline {L}}_{c}+\left(8{\underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline{a}^{2}\오른쪽)=0,}$

여기서 밑줄이 그어진 파라미터는 $E{\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \underset{}{\_}}$= ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$/${\displaystyle }$( G ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle {\e}=Er_{V}/(GM_{0}}),$$L{\displaystyle {\underset{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\_}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$/ G ${\displaystyle \sqrt{M}}$ R ${\displaystyle \sqrt{V_{}}}$ ${\$로 정의된 Henon 단위에서 치수가 없다.$L_{c}/{\sqrt {GMr_{V$ 그리고 $a{\displaystyle \underset{}{}}$ ${\displaystyle \_}$= a${\displaystyle }$/ ${\displaystyle r_{}}$ V${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \pi }$/ ${\displaystyle 16}$ ${\displaystyle {\a}=a/r_{V}=3\pi /16}$.

적용들

플럼머 모델은 큰 반지름(${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 5^{}}$ ${\$에서 밀도의 급속한 하락은 이러한 시스템에 대한 좋은 설명은 아니지만, 항성 군집의^{[citation needed]} 관측된 밀도 프로파일을 나타내는 데 가장 가깝다.

중심 부근의 밀도의 거동은 타원 은하의 관측과 일치하지 않는데, 타원 은하는 일반적으로 중심 밀도가 분산되는 것을 나타낸다.

플럼머 구를 몬테카를로 모델로서 쉽게 실현할 수 있다는 점은 모델의 현실성이 부족함에도 불구하고 N-바디 실험자들이 선호하는 선택으로 만들었다.^[3]

참조