- - calculuscalculus

이론 컴퓨터 과학에서 γ-calculus(또는 pi-calculus)는 프로세스 미적분이다."-calculus"를 사용하면 채널 이름을 채널 자체에 따라 통신할 수 있습니다.이렇게 하면 계산 중에 네트워크 구성이 변경될 수 있는 동시 계산을 기술할 수 있습니다.

"-calculus"는 용어가 적고 작지만 표현력이 풍부한 언어입니다( " 구문" 참조).함수 프로그램은 θ-calculus에 부호화될 수 있으며, 부호화는 계산의 대화성을 강조하여 게임 의미론과의 연결을 도출한다.spi 미적분이나 applied ,과 같은 cul-calculus의 확장은 암호 프로토콜에 대한 추론에 성공했다.δ-calculus는 동시 시스템을 설명할 때 본래의 용도 외에도 비즈니스^[1] 프로세스와 분자 ^[2]생물학에 대한 추론에도 사용되어 왔다.

비공식 정의

γ-calculus는 동시 연산의 특성을 기술하고 분석하기 위한 수학 형식인 프로세스 계산의 패밀리에 속합니다.사실, θ-calculus는 θ-calculus와 같이 매우 작기 때문에 숫자, 부울, 데이터 구조, 변수, 함수 또는 일반적인 제어 흐름 문(예:if-then-else,while).

프로세스 구성

θ-calculus의 중심은 이름의 개념입니다.미적분의 단순성은 이름이 소통의 통로와 변수로서의 이중적 역할에 있다.

미적분학에서 사용할 수 있는 프로세스 구조는 다음과^[3] 같습니다(정확한 정의는 다음 절에 나와 있습니다).

• 동시성($P{\displaystyle q}$Q { $displaystyle$P$$\ $mid$Q$$} 。$여기$서 P { $displaystyle$ P$$ $}$와$$Q { $displaystyle$ Q$$}는$$ 동시에 실행되는2개의 프로세스 또는 스레드입니다.
• 통신, 장소
  • ${\displaystyle }$ c${\displaystyle (x}$)를 입력합니다$.$ \ $display style c$ \ left ($x$ \$$$right$ ) 。$P는$$$c$\$$displaystyle$c라는$$ $이름$의 통신채널로 전송되는 메시지를 기다리는 프로세스로$,$ 수신된 이름을 x로 바인드합니다.통상, 이 모델에서는, 네트워크로부터의 통신을 상정하는 프로세스 또는 라벨 중 하나가 사용됩니다.c1회만 사용할 수 있다goto c작동.
  • 출력 ${\displaystyle \stackrel{}{}}$ c "${\displaystyle \stackrel{}{}}$"${\displaystyle }$" " ${\displaystyle y}$" "$$. ${\displaystyle P}$ \ $displaystyle$" \ $overline${$c$} \ $langle$ y \$rangle$ "$$。$P$} 에서는$$ y$${$displaystyle$ y$}$ 라는$$ $이름$이$$P {$displaystyle$ P$\}$ 로 진행되기 $전$에 $채널{\displaystyle }$ c$${$displaystyle$ c$}$ 에서$$ 출력되는 것을 나타냅니다.일반적으로 이 모델은 네트워크 또는 네트워크 상에서 메시지를 보냅니다.goto c작동.
• 레플리케이션$,$ ${\displaystyle 기술}!{\displaystyle }$P\$displaystyle!,P$ 이것은 항상 새로운$$P\$displaystyle$ P$\backslash$의 $복사본$을 작성할 수 있는 프로세스로 간주됩니다.일반적으로 이 모델은 네트워크 서비스 또는 라벨 중 하나입니다.c몇 개라도 기다리다goto c운용을 실시합니다.
• 새 이름 생성$({\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$x )$$ \ $displaystyle \ left$ ( \ $nu$x \$$right )$P$ P$\displaystyle$P 내에서 $새로운{\displaystyle }$ 상수 x를 할당하는 프로세스로 간주됩니다.γ-calculus의 상수는 이름만으로 정의되며 항상 통신 채널입니다.프로세스에서 새 이름을 만드는 것을 제한이라고도 합니다.
• 0$(\displaystyle$ 0$)$으로 $표기$된 null 프로세스는 실행이 완료되어 정지된 프로세스입니다.

--calculus의 미니멀리즘 때문에 정상적인 의미의 프로그램 작성이 불가능하지만 미적분을 확장하기는 쉽다.특히, 재귀, 루프, 시퀀셜 구성 등의 제어 구조와 1차 함수, 참값, 리스트 및 정수 등의 데이터 유형을 모두 쉽게 정의할 수 있습니다.또한 배포 또는 공개키 암호화를 고려한 δ-calculus의 확장이 제안되었다.Abadi와 Fournet [1]에 의해 적용된 δ-calculus는 임의의 데이터 타입으로 δ-calculus를 확장함으로써 이러한 다양한 확장을 정식 기반으로 했습니다.

작은 예

다음은 3개의 병렬 컴포넌트로 구성된 프로세스의 작은 예입니다.채널명 x는 처음 2개의 컴포넌트에 의해서만 알 수 있습니다.

$(\displaystyle\displaystyle\nu x)&\;(\overline {x}\langle).\;0\&\; \;x(y)\;{\overline {y}}\landle x\rangle .\;x(y).\;0\;)\&\;\;\;z(v).\;{\overline {v}}\subline v\rangle .0\end {aligned}}$

처음 두 구성요소는 채널 x에서 통신할 수 있으며 y라는 이름은 z에 바인딩됩니다.따라서 프로세스의 다음 단계는

${\displaystyle {aligned}(\nu x)&\;(\;0\\&\\\;{\overline {z}}\displaystyle x\rangle .\;x(y).\;0\;)\&\;\;\;z(v).\;{\overline {v}}\landle v\rangle .\;0\end {aligned}}$

나머지 y는 내부 스코프에 정의되어 있기 때문에 영향을 받지 않습니다.이제 두 번째 및 세 번째 병렬 구성요소는 채널 이름 z로 통신할 수 있으며, 이름 v는 x에 바인딩됩니다.프로세스의 다음 단계는 지금입니다.

${\displaystyle {aligned\nu x}&\;(\;0\&\;\;x(y)}를 표시합니다.\;0\&\; \;{\overline {x}}\langle x\langle.\;0\;)\end{aligned}}$

로컬 이름 x가 출력되었기 때문에 x의 범위는 세 번째 컴포넌트까지 확장됩니다.마지막으로 채널 x를 사용하여 이름 x를 전송할 수 있습니다.그 후 동시에 실행되는 모든 프로세스가 정지됩니다.

${\displaystyle {aligned}(\nu x)&\;(\;0\&\;\;\;0\;)\end{aligned}}$

형식적 정의

구문

χ a 、 names 라고 하는 오브젝트 세트라고 합니다.「calculus」의 추상 구문은, 다음의 BNF 문법에 근거해 구축됩니다(x 와 y 는 χ 에서 온 임의의 이름입니다).^[4]

$(\displaystyle\begin{aligned}P,Q:=&\x(y).P, , , , , & { \ text { receive on channel }x { \ text { \ text { } } y 에 결과를 바인드 한 후 } P \ & \ ; { \ overline { x } \ langle y \ rangle 을 실행합니다.P, , , , , , , { \ text { \ text over channel }x { \ text { \ text }x { \ text { } 를 전송하고, 다음으로 }P,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\text { 및 }}Q{\{\{\text}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\P,,,&{\text{}P\&\&\;\;0&{\text{\text}의 복사본을 반복적으로 생성합니다.프로세스 종료}\end{aligned}}$

다음 구문에서는 prefix가 병렬 구성( )보다 긴밀하게 결합되어 있으며 괄호를 사용하여 명확하게 합니다.

이름은 제한 및 입력 프리픽스구조에 의해 바인드 됩니다.공식적으로는 θ–calculus의 프로세스의 자유 이름 세트가 아래 표에 의해 유도적으로 정의됩니다.프로세스의 바인딩된 이름 집합은 자유 이름 집합에 없는 프로세스의 이름으로 정의됩니다.

건설하다	자유명
${\displaystyle 0}$	없음.
$(*displaystyle x\rangle).P}$	a; x; P의 모든 자유 이름
$style a(x)를 표시합니다.P}$	a; x를 제외한 P의 무료 이름
${\displaystyle PQ}$	P 및 Q의 모든 자유 이름
${\displaystyle (\nu x)P}$	x를 제외한 P의 자유 이름
$디스플레이 스타일!P}$	P의 모든 자유 이름

구조 일치

환원 의미론 및 라벨링된 전이 의미론의 중심은 구조적 일치의 개념이다.두 프로세스가 구조까지 동일한 경우 구조적으로 일치합니다.특히 병렬 구성은 가환적이고 연상적이다.

보다 정확하게는 구조적 합치는 프로세스 구조에 의해 보존되고 다음을 충족하는 최소 동등성 관계로 정의됩니다.

영변환:

• ${\displaystyle P}$$(\displaystyle$ P$)$에서 바인딩된 이름을 하나 이상 변경하여 P$(\displaystyle$ P$)$에서 Q$(\displaystyle$ Q$)$를 얻을 수 있는 $경우{\displaystyle }$ P$(\displaystyle$ P$\equiv$ Q$)$

병렬 구성에 대한 공리:

• ${\displaystyle P Q\equiv Q P}$
• ${\displaystyle(P Q) R\equiv P(Q R)}$
• ${\displaystyle P 0\equiv P}$

제한 공리:

• $\displaystyle(\nu x)\equiv(\nu y)\equiv(\nu x)P}$
• ${\displaystyle (\nu x)0\equiv 0}$

복제용 Axiom:

• $디스플레이 스타일!P\equiv P!P}$

제한 및 병렬과 관련된 공리:

• ${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$$$)${\displaystyle }$( ${\displaystyle P}$Q )${\displaystyle x}$ 가 Q ( \ $displaystyle$( \ $nu$x ) P Q ( \$nu$ x )$x$ 가 Q 의 자유명이 아닌 경우,$$P Q ( \ $displaystyle$( \ nu x ) \ equiv$$$$( \ $nu$x ) P$Q$}$$${\displaystyle 。}$

이 마지막 공리는 "scope extension" 공리로 알려져 있습니다.이 공리는 출력 액션에 의해 바인딩된 이름 x가 돌출되어 x의 범위가 확장되는 방법을 설명하기 때문에 중심적입니다.x가 Q$(\displaystyle$ Q$)$의 자유 이름인 경우, 영숫자 변환을 사용하여 확장을 계속할 수 있습니다.

환원 의미론

P$${$displaystyle$ P$\}$가 연산 단계를 수행할 수 있는 $경우{\displaystyle }$ P ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ {$displaystyle$$$P$\$$right 화살표$ P$'$로 $표기$하며, $이{\displaystyle {}^{}}$ 축소 관계 $→$ {$displaystyle\right$ 화살표$}$는 축소 규칙 집합에서 닫힌 최소 관계로 정의됩니다.

채널을 통해 통신하는 프로세스의 기능을 캡처하는 주요 감소 규칙은 다음과 같습니다.

• $(*displaystyle z\rangle). (*displaystyle z\rangleP x(y).Q\오른쪽 화살표 P Q[z/y]}$

$여기$서${\displaystyle }$Q [${\displaystyle z}$ / $]{$ $displaystyle$Q [$z$ / $y$]{ $displaystyle$ z$$}는$$y { $displaystyle$ y$\}$의 $자유{\displaystyle }$ 발생을 대체하는 프로세스$$Q$${ $displaystyle$Q}입니다$.$z { $displaystyle$ z$$}가$$ fr { displaystyle z}가 아닌 $장소$에서 y$${ $displaystyle$ y$}$의 $자유{\displaystyle }$ 발생이 발생한 경우ee, 알파 이온이 필요할 수 있습니다.

이 밖에도 3가지 규칙이 있습니다.

• P ${\displaystyle \to }$ $(표시$ 스타일 P$\오른쪽 화살표$Q)이면 ${\displaystyle PR}$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle Q}$ $(표시 스타일 PR\오른쪽 화살표$Q R$)$도 마찬가지입니다.

이 규칙은 병렬 구성이 계산을 금지하지 않는다고 말합니다.

• P ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle Q}${$displaystyle$ P$\right 화살표$Q$\}$일 경우 P ${\displaystyle \to }$ ( ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle Q}${$displaystyle (\nu$x) $P\right$ 화살표 $(\nu$x)$Q$도 마찬가지입니다.

이 규칙에 따라 제한 하에 계산이 진행될 수 있습니다.

• $P{\displaystyle }$${\displaystyle p}$ P $、$ { $displaystyle$P \ $equiv$ P$$$$} 、 $P$ ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ $、$ \ $displaystyle$ P ' \ $right arrow$ Q$$} 、 ${\displaystyle Q}$ $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle \to }$ Q$$（ \ $displaystyle$P \ $equiv$Q$）$ 。

후자의 규칙은 구조적으로 일치하는 프로세스가 동일한 감소를 갖는다는 것을 나타냅니다.

이 예는 다시 검토되었다.

프로세스를 다시 고려하다

$(\displaystyle (\nu x)({\overline {x}}\slandle z\rangle .0 x(y)).{\overline {y}}\rangle .x(y).0) z(v.{\overline {v}}\controlle v\rangle .0}$

감소 의미론의 정의를 적용하면 감소 효과를 얻을 수 있다.

$(\displaystyle (\nu x)({\overline {x}}\slandle z\rangle .0 x(y)).{\overline {y}}\rangle .x(y).0) z(v.{\overline {v}}\rangle .0\rightarrow(\nu x)(0\overline {z}\rangle .x(y) z(v)}.{\overline {v}}\controlle v\rangle .0}$

감소 대체 공리를 적용하면$y$의 자유 발생이 z$(\displaystyle$ z$)$로 라벨이 지정됩니다.

다음으로, 델이 삭감합니다.

$(\displaystyle (\nu x) (0\overline {z}}\langle .x(y).z(v){\overline {v}}\rangle .0\rightarrow (\nu x)(0 x(y). 0(\overline {x}}\rangle .0)$

로컬 이름 x가 출력되었기 때문에 x의 범위는 세 번째 컴포넌트까지 확장됩니다.이는 스코프 확장 공리를 사용하여 캡처되었습니다.

다음으로, 환원 치환 공리를 사용하면

${\displaystyle(\nu x)(0 0 0)}$

마지막으로 병렬 구성 및 제한에 대한 공리를 사용하여

${\displaystyle 0}$

라벨이 붙은 의미론

또는 pi-calculus에 라벨이 붙은 전이 의미론을 부여할 수 있다(통신 시스템의 미적분학에서 한 것처럼).
$이{\displaystyle }$ 의미론에서는 동작α$(\displaystyle \alpha)$ 후에 상태$$$P{\displaystyle }$(\$displaystyle$P)에서$$ 다른 $상태{\displaystyle {}^{}}$ P$(\$ P$')$로의 천이를$$ 다음과 같이 나타냅니다.

• ${\displaystyle P,{\xrightarrow {}{\alpha }}P'}$

$여기$서 상태$$P(\$displaystyle$ P$)$ $및$ P$(\$ P$')$는 프로세스를 나타내고 α$(\$$displaystyle$ \$alpha)$는 입력 $(x$ 또는 출력 $(\displaystyle {a$ $또는$ 무음 액션입니다.^[5]

라벨링된 의미론에 대한 표준 결과는 P ${\displaystyle \to \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{P\stackrel{}{}}}$ → ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{}}}$ \ $displaystyle$ P $′$ \ x$rightarrow${ \ $overstyle$ { \ $}$\ $equIV$}인 경우에만 P ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$ \ $displaystyle$ P {\ \ $rightarrow$ P$'$라는 점에서 구조적 합치까지의 환원 의미론과 일치한다는 것이다.

확장 및 변형

위의 구문은 최소 구문입니다.단, 구문은 다양한 방법으로 변경할 수 있습니다.

구문에 비결정적 선택 $연산자{\displaystyle }$P + $(\displaystyle$ P$+Q)$를 추가할 수 있습니다.

이름${\displaystyle }$동등성 검정 [${\displaystyle x}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle y}$]$$ {$displaystyle [x=y]$구문에 P$}$를 추가할 수 $있습니다$.이 일치 연산자는 $x$와$y$가 같은 이름일 경우에만 P$(\$$displaystyle$P$)$로 $진행$할 수 있습니다.마찬가지로 이름 부등식에 대해 불일치 연산자를 추가할 수 있습니다.이름(URL 또는 포인터)을 전달할 수 있는 실용적인 프로그램들은 종종 그러한 기능을 사용한다: 미적분 내에서 그러한 기능을 직접 모델링할 때, 이것과 관련된 확장자가 종종 유용하다.

비동기식 "-calculus^[7][8]"에서는 서픽스가 없는 출력(x "${\displaystyle \stackrel{}{}}$"${\displaystyle }$y$"$ ${\displaystyle \mathrm{형식}}$의 $출력{\displaystyle \stackrel{}{}}$ 원자 { $displaystyle$ \$overline {x}$ \ $langle$y \ $rangle$ $\}$ )만 허용되므로 미적분이 작아집니다.다만, 원래의 미적분내의 프로세스는, 수신 프로세스로부터의 명시적인 확인을 시뮬레이트 하기 위해서, 여분의 채널을 사용하는 보다 작은 비동기 δ-calculus에 의해서 표현될 수 있다.연속성이 없는 출력은 전송 중인 메시지를 모델화할 수 있기 때문에 이 fragment는 직관적으로 동기 통신에 기초한 원래의 δ-calculus가 구문 내에 표현형 비동기 통신 모델을 가지고 있음을 나타냅니다.그러나, 위에서 정의된 비결정론적 선택 연산자는 이러한 방식으로 표현할 수 없다. 왜냐하면 보호되지 않은 선택은 보호되는 선택으로 변환되기 때문이다. 이 사실은 비동기 미적분이 (선택 ^[9]연산자가 있는) 동기적 미적분보다 엄격히 덜 표현된다는 것을 증명하기 위해 사용되었다.

polyadic "-calculus"를 사용하면 x${\displaystyle }$"${\displaystyle {z\mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$. , z ${\displaystyle n_{}}$"${\displaystyle {}_{}}$.$$ \ $display$ style \ $langle$z _ { $x }$, $...z$ _ { $n$} \ rangle 이라는 $여러 이름을$하나의 $액션$으로 통신할 수 있습니다.$P$폴리아드 출력) $및{\displaystyle }$ x${\displaystyle ({}_{}{}_{}}$1,${\displaystyle }$. . ,${\displaystyle {}_{}{z}_{}}$ n ${\displaystyle ).}$({$displaystyle$x($z_{$1}, ...$z_{n}).$$P$폴리아드 입력).특히 이름 전달 프로세스의 유형을 연구할 때 유용한 이 다중 확장자는 다중 인수가 차례로 전달되는 개인 채널의 이름을 전달함으로써 단일 미적분으로 인코딩할 수 있습니다.부호화는 다음 절에 의해 재귀적으로 정의됩니다.

$displaystyle$$rangle$${\displaystyle P_{}}$$}$ 은$$ ( "${\displaystyle w}$ ) ${\displaystyle x}$ "${\displaystyle \stackrel{}{}}$"${\displaystyle }$" " " "${\displaystyle }$" " " "${\displaystyle \stackrel{}{}}$" "${\displaystyle }$" " "${\displaystyle }$y ${\displaystyle 1}$"${\displaystyle }$"${\displaystyle }$. [${\displaystyle }$P$]$ ( \ $displaystyle$( \ $nu$w${\displaystyle }$) { \$overline$ { $x$} \$$$langle$w 로${\displaystyle }$부호화되어 있습니다.${\cdots.}\cdots.\cdots.\cdots.\cdlangle y_{1}\cdots.$${\langle y_n}\rangle.$$[P]}$

${$$$$P}$는 x${\displaystyle }$(${\displaystyle }$w${\displaystyle }$) .${\displaystyle {}_{}}$ ( ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$1${\displaystyle }$) . ${\displaystyle .}$. ${\displaystyle w}$ ( ${\displaystyle {}_{}{n}_{}).}$ [ P$$](\$displaystyle x($w)로 부호화되어 ${\displaystyle \mathrm{있습니다}}$.$w(y_{1}).$$\cdots .w(y_{n}).$$[P]}$

다른 모든 프로세스 구성 요소는 인코딩에 의해 변경되지 않습니다.

위의 [$]$ {$displaystyle [P]$는${\displaystyle }$$연속{\displaystyle }$P {$displaystyle$ P$}$ 내의$$ 모든 프레픽스의 부호화를 나타냅니다.

레플리케이션의${\displaystyle }$풀파워!$\displaystyle!$$P}$는 필요 없습니다.대부분의 경우 복제된 입력 $!{\displaystyle x}$(${\displaystyle y}$) .$$ \ $display$style !x$($$y$ ) 만을 고려합니다.$P$ 구조 일치 공리는 !${\displaystyle x}$(${\displaystyle y}$) . ${\displaystyle P\equiv x}$ (${\displaystyle y}$) . ${\displaystyle P}$ !${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (}$y${\displaystyle }$) .$$ \ $displaystyle !x ($$y$ )${\displaystyle }$。$P\equiv x(y)$$P!x($$y)$$P$ 。

!${\displaystyle x}$ (${\displaystyle y}$) .$$P \ $displaystyle !x(y)$ 등의 입력 프로세스가 복제되었습니다.P$}$은(는) 클라이언트가 채널 x에서 호출을 기다리는 서버로 이해할 수 있습니다.서버를 호출하면 프로세스${\displaystyle }P{\displaystyle }$ [${\displaystyle a}$ / $]{$ $displaystyle$P [ a / y ]{ displaystyle P [ a / $y$ 의 새로운 카피가 생성됩니다.a는 클라이언트가 서버에 건네준 이름입니다.

이름뿐만 아니라 프로세스가 채널을 통해 전송되는 고차 "-calculus"를 정의할 수 있습니다.상위 케이스의 주요 축소 규칙은 다음과 같습니다.

$(\displaystyle\overline {x}\langle R\rangle .P x(Y).Q\오른쪽 화살표 P Q[R/Y]}$

여기서 Y$(\displaystyle$ Y$)$는 프로세스 항에 의해 인스턴스화될 수 있는 프로세스 변수를 나타냅니다.Sangiorgi는 프로세스를 통과하는 능력이 δ-calculus의 표현력을 증가시키지 않는다는 것을 확인했습니다.프로세스 P를 통과하는 것은 P를 가리키는 이름만 건네주는 것으로 시뮬레이트 할 수 있습니다.

특성.

튜링 완전성

γ-calculus는 보편적인 계산 모델이다.이것은 밀너에 의해 그의 논문 "프로세스로서의 함수"^[10]에서 처음 관찰되었으며, 그는 γ-calculus에서 람다-calculus의 두 개의 인코딩을 제시했다.1개의 부호화는 열성적인(값별 콜) 평가 전략을 시뮬레이트하고, 다른 하나의 부호화는 일반 순서(이름별 콜) 전략을 시뮬레이트합니다.둘 다 중요한 통찰력은 환경 바인딩 모델링입니다. 예를 들어 "x bound $to$ $term$M { $text$ style M$\}"$은 바인딩 요구에 응답하는 복제 에이전트로서 M$${\$display$ style M$\}$이라는 용어로 연결을 되돌리는 것입니다.

이러한 부호화를 가능하게 하는 「」계산 기능은, 네임 패스 및 레플리케이션(또는 이와 동등하게 재귀적으로 정의된 에이전트)입니다.복제/재귀가 없는 경우 θ-calculus는 튜링 완전 상태가 되지 않습니다.이것은 재귀가 없는 미적분이나 프로세스에서 병렬 성분의 수가 ^[11]상수에 의해 경계가 되는 유한 제어 δ-calculus에 대해 이원화 등가성이 결정된다는 사실로 알 수 있다.

γ-calculus의 이중 시뮬레이션

공정 계산에서는 δ-calculus를 사용하여 이원화 등가성을 정의할 수 있습니다.γ-calculus에서, 쌍시뮬레이션 등가(이중 유사성이라고도 함)의 정의는 환원 의미론 또는 라벨이 붙은 전이 의미론에 기초할 수 있다.

γ-calculus에서 라벨이 붙은 이원화 등가성을 정의하는 방법에는 초기, 후기 및 개방 이원화 등 3가지가 있다.이것은 γ-calculus가 가치 전달 과정 미적분이라는 사실에서 비롯되었다.

이 섹션의 나머지 부분에서는 p$${$displaystyle$ p$$$}$와$$q {$displaystyle$q}가 프로세스를 $나타내고{\displaystyle }$ R$${\$displaystyle$ R$}$이$$ 프로세스에 대한 바이너리 관계를 나타냅니다.

초기 및 후기의 상호 유사성

초기 및 후기 상호 유사성은 모두 Milner, Parrow 및 Walker에 의해 µ-calculus에 ^[12]대한 원본 논문에서 공식화되었습니다.

프로세스 상의 이진 $관계{\displaystyle }$R${\displaystyle (\backslash }$$displaystyle$ R$)$은 프로세스${\displaystyle }$쌍(${\displaystyle p,}$ q)${\displaystyle r}$R$(\displaystyle$ (p,$q)\in$R$)$에 대해 초기 바이시뮬레이션입니다.

• $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \to \stackrel{a}{}}$ (${\displaystyle \stackrel{}{x}}$ ) ${\displaystyle p\stackrel{}{}{}^{}}$ { $displaystyle$ p , { \ x $rightarrow { a$ ( x )$$} } $、$ $q$ ${\displaystyle \to \stackrel{}{}}$ a${\displaystyle \stackrel{}{}}$(${\displaystyle \stackrel{}{}x\stackrel{}{}{}^{}}$ ) ${\$ \ $displaystyle q$ , { \ x $rightarrow { a$ ( x )$$}${\displaystyle }$、 $p$${\displaystyle }$、${\displaystyle }$、$$${\displaystyle /}$ / / ${\displaystyle y}$ y y y y y$$、 p , y y ${\displaystyle {}^{}}$ y y y y q q q q y q q q q q q y y y q q q q y y y y y y q q q q q y y y y y y y y y y whenever whenever whenever whenever whenever $whenever{\displaystyle }$ $whenever{\displaystyle {}^{}}$$[y/x],q'[y/x]\in$ R$\};$
• 입력되지 않은 $({$$displaystyle$\$alpha$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \to \stackrel{}{}}$ $α$ p$$ {$p4xrightarrow {\$$alpha$$$} p$'}$인 $경우{\displaystyle }$$$ ${\displaystyle \stackrel{}{q\stackrel{}{}}}$$$${\displaystyle \to \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{}}{}^{}}$ q$$ \ $displaystyle$q$$′ \ displaystyle q$rightarrow${\${\displaystyle {\}}^{}}$$}}}$ ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( p p p p p p p p p p ( ( ${\displaystyle {}^{}}$ for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for for$e(p',q')\in$ R$\};$
• p$\displaystyle$$p$와$$q\$displaystyle$q가 상호 교환된$$ $대칭{\displaystyle }$ 요구사항.

$프로세스{\displaystyle }$ p$\backslash {\displaystyle }$$displaystyle$ p$}$와 q$\displaystyle$$$$q$는 초기 바이시밀러라고 합니다.페어 ($p$ ,${\displaystyle q}$ )${\displaystyle r}$ R$$\ $displaystyle$$$$($p ,$q$ $)\backslash$$in$R이면$$ p${\displaystyle {}_{}}$~ $q$$$。

레이트 바이시밀러티에서는, 트랜지션 매치는 송신되는 이름과 무관할 필요가 있습니다.프로세스 상의 이진 $관계{\displaystyle }$ R$(\displaystyle$ R$)$은 프로세스${\displaystyle }$쌍(${\displaystyle p,}$q)${\displaystyle r}$R$(\displaystyle$(p,$q)\in$R$)$에 대해 지연 바이시뮬레이션입니다.

• $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \to \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{a}}$(${\displaystyle \stackrel{}{}}$x ) ${\displaystyle \stackrel{}{}{}^{}}$display \ $displaystyle$ p display x $rightarrow { a$ ($x$ ) $}$ $p$$$$}$ $displaydisplaydisplay$ ${\displaystyle \stackrel{}{\to }}$ ${\displaystyle \stackrel{}{}{}^{}\stackrel{}{}}$( x )$$ \ $display$$style$ x$rightarrow { a$ ($x$ ) } q$$'$$$({\displaystyle {}^{}}$ （ p${\displaystyle {）}^{}}$ ${\displaystyle \mathrm{displaydisplay}}$ [ y${\displaystyle /}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathrm{displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay}}$
• $모든$ 비입력 $(\$$displaystyle$$\alpha$의 경우, ${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{}}{}^{}}$ $→$ α p ${\displaystyle {\prime }^{}}$ \ $displaystyle$$ph4xrightarrow${ \ } { \ alpha$$$}$ p$$'는 ${\displaystyle \stackrel{}{q\stackrel{}{}}}$ ${\displaystyle \to \stackrel{}{}}$ α$style$ \ $displaystyle$q $rightarrow${ \ $set${ \ } p${\displaystyle \text{'}}$와 같은$$${\displaystyle {}^{}}$'가 존재함을 의미합니다${\displaystyle {.}^{}}$$tyle (p',q')\in$ R$\};$
• p$\displaystyle$$p$와$$q\$displaystyle$q가 상호 교환된$$ $대칭{\displaystyle }$ 요구사항.

$프로세스$ p$\displaystyle$ p$}$와$$$q\displaystyle$$$q는$$ 지연 $바이시밀러$라고 $합니다{\displaystyle }$.${\displaystyle 쌍}({\displaystyle }$$$${\displaystyle }$,${\displaystyle q}$ )${\displaystyle }$the$$R${\displaystyle {}_{}}$\ $displaystyle$$$$( p , q$ $)\$$in$ R$$${\displaystyle \mathrm{the<img\; alt="p\; \backslash sim\_l\; q"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/0011fa3c6029e0500fdd13b0e8cfef631ce04516"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; margin-left:\; -0.089ex;\; width:6.149ex;\; height:2.009ex;">}}$ bis bis the r the the 。

$~{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$$\$ _${e$$},$ ~${\displaystyle {}_{}}$l$\$ _${l}$ 모두$$ 모든 프로세스 구성에 의해 유지되지 않는다는 점에서 일치관계가 아니라는 문제를 겪고 있습니다.More precisely, there exist processes ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle q}$ such that ${\displaystyle p\sim _{e}q}$ but ${\displaystyle a(x).$$p\sim _{e}a(x)$$가 아닙니다.$q$\}.$ 이 문제는 초기 일치와 후기 일치로 알려진 ~ ${\displaystyle e_{}}$${\displaystyle$ \$sim _{e$}}${\displaystyle {}_{}}$및 ~$$l {\$displaystyle \sim$ _${l$에 포함된 최대 일치 관계를 고려하여 해결할 수 $있습니다$.

개방적 이중 유사성

다행히 세 번째 정의가 가능하여 산기오리에 ^[13]의한 개방적 이질성의 문제를 회피할 수 있다.

프로세스에 대한 이진 $관계{\displaystyle }$ R$({displaystyle$R})은$$ 모든 요소${\displaystyle }$쌍(${\displaystyle p,}$q)${\displaystyle r}$ R$(\displaystyle(p,q)\$$in$ R$)$ 및$$ 모든 $이름{\displaystyle }$ 치환$x{\displaystyle }$ \$displaystyle \alpha$$$x$$$$x${\displaystyle \stackrel{}{}}$x x x x x$$x x $x{\displaystyle }$ x x x ${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{}}{}^{}}$ x x x x x x x x x x x x x x x ${\displaystyle \stackrel{}{x\stackrel{}{}}}$ x x x x x x x x x xxx x$tarrow${\$overset {}{\alpha$ $}$$p'}$는 q ${\displaystyle \to \stackrel{}{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{\stackrel{}{}}{}^{}}$ q$′$ { $display style$} { x$rightarrow$ { } { \ alpha$}q$'} 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {}^{}、}$ q ${\displaystyle {\}}^{}}$ )$R {$ $display style （$p ;$q$ ; ）\ display style $\}$right }rightarrow}$p{\displaystyle }$${\displaystyle \}}$ r$$r r r r r r r r r r r r r r r R some some some some some some tar tar some some some some some some some some some some some

$프로세스{\displaystyle }$ p$\displaystyle$ p$}$와 q\$displaystyle$$$q는$$ 오픈 바이시밀러라고 불리며$,{\displaystyle }$ 쌍${\displaystyle (}$ ${\displaystyle p}$ ,${\displaystyle q}$ $)$${\displaystyle r}$R \ $displaystyle ( p$$$,$q$ ) \ $in$ R$$r$$$$ $r{\displaystyle }$ r the the the the ~ ~ ~ ${\displaystyle {}_{}}$$imilarimilarimilarimilarimilarimilarimilarimilarimilarimilarimilarimilarimilarimilarimilarBisimulation{\displaystyle }$R \ $displaystyle$

초기, 후기 및 개방적 이중 유사성은 구별된다.

초기, 후기, 개방적 이중 유사성은 구별된다.격납은 적절합니다$.{\displaystyle {}_{따라서}}$ ~ o${\displaystyle {}_{}}$~${\displaystyle l_{}{}_{}}$~$$ \ $displaystyle \sim$_ {$o}\subsetneq \sim$ _ ${l}\subsetneq \sim$_ {$e$ 입니다.

비동기 pi-calculus와 같은 특정 서브calculus에서는 late, early 및 open bismilarity가 일치한다고 알려져 있습니다.단, 이 설정에서는 비동기 바이시밀리티의 개념이 더 적절합니다.문헌에서 개방형 이중 시뮬레이션이라는 용어는 일반적으로 프로세스와 관계가 구별 관계에 의해 색인화되는 보다 정교한 개념을 가리킨다. 자세한 내용은 위에서 인용한 산조르기의 논문에 나와 있다.

철조 등가

또는 환원 의미론에서 직접 이원 시뮬레이션 등가를 정의할 수 있다.$프로세스{\displaystyle }$p {\$displaystyle$ p$}$에서 이름$a{\displaystyle }$ {\$displaystyle$ a$\}$에 대한 입력 또는 출력이 즉시 허용될 경우 p${\$ ${\displaystyle a}$ {\$displaystyle p\Downrow$ a$$}라고$$ $씁니다{\displaystyle }$.

프로세스에 대한 이진 $관계{\displaystyle }$ R$(\displaystyle$ R$)$은 모든 요소${\displaystyle }$쌍(${\displaystyle p,}$q)${\displaystyle }$every$$(\$displaystyle (p,q)\in$ R$)$에 대해 다음을 만족시키는 대칭 관계일 경우 가시적인 이중 시뮬레이션입니다.

($1{\displaystyle }$) p${\displaystyle }$모든 ${\displaystyle \mathrm{이름}}$에 $대해q$가\$displaystyle$ $q$$\down 화살표$a인 $경우$에만\$displaystyle$ p\down 화살표 a$.$

그리고.

(2) 모든 $감소{\displaystyle }$ p ${\displaystyle \to }$ ${\displaystyle {}^{}}$ p {$displaystyle$ p$\right 화살표$ p$`$에 대해 ${\displaystyle {}^{}}$ q ${\displaystyle \to }$q ${\displaystyle {\prime }^{}}$ {$displaystyle$ q$\right 화살표$ q'}가 존재합니다.

( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 、}$ ${\displaystyle {}^{}}$）${\displaystyle r}$R \ $displaystyle$($p$' ,$q$ ' )\ $in$ R$。$

( p${\displaystyle }$,${\displaystyle q}$ )${\displaystyle r}$R$$\ $displaystyle$ ($p$ ,$q$ )\ $in$R이$$있는 경우 p$\$ $displaystyle$p $와$ q\ $displaystyle$$$q 는$$ basch $bisimilar{\displaystyle }$ 입니다.

콘텍스트를 구멍이 뚫린 § 용어로 정의하면${\displaystyle ,}$ 2개의 프로세스 P와 Q는 P${\displaystyle ~}$$Q$로 $통일$되어 있다고 합니다${\displaystyle .<img\; alt="P\; \backslash sim\_b\; Q\backslash ,\backslash !"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/81e5160e058eb4d51f2d3561d021c9e7e36c58de"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; margin-right:\; -0.387ex;\; width:8.007ex;\; height:2.509ex;">}$모든 $콘텍스트{\displaystyle }$C[\$displaystyle$ C$[]\displaystyle$C$[]$와 C$[\$$displaystyle$ C$]$가 있는 경우입니다.철조망적 합치는 초기 이원성에 의해 유도된 합성과 일치한다는 것이 밝혀졌다.

적용들

µ-calculus는 여러 종류의 동시 시스템을 설명하기 위해 사용되어 왔습니다.실제로 최신 어플리케이션 중 일부는 기존의 컴퓨터 사이언스 영역 밖에 있습니다.

1997년 마틴 아바디와 앤드류 고든은 암호화 프로토콜에 대한 설명과 추론을 위한 공식 표기법으로서 γ-calculus인 Spi-calculus의 확장을 제안했다.spi-calculus는 암호화 및 복호화를 위한 원본을 사용하여 µ-calculus를 확장합니다.2001년에 Martin Abadi와 Cedric Fournet은 적용된 δ 미적분을 만들기 위해 암호화 프로토콜의 처리를 일반화했습니다.많은 실험 검증 도구를 포함하여 응용된 , 미적분의 변형에 전념하는 많은 작업이 있다.예를 들어 적용된 δ-calculus를 Blanchet의 논리 프로그래밍 프레임워크로 변환한 것을 기반으로 Bruno Blanchet에 의한 ProVerif [2] 툴이 있습니다.또 다른 예로는 Andrew Gordon과 Alan Jeffrey에 의한 Cryptyc[3]가 있습니다.이는 암호 프로토콜의 인증 속성을 확인할 수 있는 유형 시스템의 기반으로 Woo와 Lam의 통신 어설션 방식을 사용합니다.

2002년경 Howard Smith와 Peter Fingar는 δ-calculus가 비즈니스 프로세스를 모델링하는 기술 도구가 될 것이라는 점에 관심을 갖게 되었습니다.2006년 7월까지 커뮤니티에서는 이것이 얼마나 유용할지에 대한 논의가 이루어지고 있습니다.최근 µ-calculus는 Business Process Modeling Language(BML)^[14] 및 Microsoft XLANG의 이론적 기반을 형성하고 있습니다.

γ-calculus는 분자생물학에도 관심을 끌고 있다.1999년, Aviv Regev와 Ehud Shapiro는 세포 신호 경로(일명 RTK/MAPK 캐스케이드)와 특히 γ-calculus의 ^[2]확장에서 이러한 통신 태스크를 실행하는 분자 "레고"를 설명할 수 있음을 보여주었다.이 중요한 논문에 따라, 다른 저자들은 최소 ^[15]세포의 전체 대사 네트워크를 묘사했다.2009년 Anthony Nash와 Sara Kalvala는 Dictyostelium discoideum ^[16]집계를 지시하는 신호 전달을 모델링하기 위한 δ-calculus 프레임워크를 제안했다.

역사

γ-calculus는 1992년 로빈 밀너, 요아힘 패로, 데이비드 워커가 우페 엥버그와 모겐스 ^[17]닐슨의 아이디어를 바탕으로 개발하였다.그것은 프로세스 미적분 CCS(Calculus of Communicating Systems)에 대한 밀너의 연구의 연속이라고 볼 수 있다.그의 튜링 강의에서 밀너는 ^[18]γ-calculus의 개발을 행위자의 가치와 과정의 통일성을 포착하려는 시도로 묘사했다.

실장

다음 프로그래밍 언어는 µ-calculus 또는 그 변형 중 하나를 구현합니다.

• 비즈니스 프로세스 모델링 언어(BML)
• 오컴의 매개에 의한
• 픽트
• JoCaml(Join-calculus에 기초함)
• 로랑

메모들

레퍼런스

• Milner, Robin (1999). Communicating and Mobile Systems: The π-calculus. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-65869-1.
• Milner, Robin (1993). "The Polyadic π-Calculus: A Tutorial". In F. L. Hamer; W. Brauer; H. Schwichtenberg (eds.). Logic and Algebra of Specification. Springer-Verlag.
• Sangiorgi, Davide; Walker, David (2001). The π-calculus: A Theory of Mobile Processes. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-78177-9.