파센의 법칙

파센의 법칙은 가스의 두 전극 사이에 압력과 갭 길이의 함수로써 방전이나 전호를 시작하는 데 필요한 전압인 파괴 전압을 주는 방정식이다.^[2][3] 1889년 경험적으로 발견한 프리드리히 파셴의 이름을 따서 지은 것이다.^[4]

Paschen은 가스 압력과 갭 거리가 변화함에 따라 평행 금속판 사이의 다양한 가스의 파괴 전압을 연구했다.

• 일정한 간격의 길이로, 압력이 감소함에 따라 간격을 가로질러 호를 가르는 데 필요한 전압이 감소되었다가 점차 증가하여 원래의 값을 초과하였다.
• 일정한 압력으로 갭 크기가 줄어들면서 호를 발생시키는 데 필요한 전압은 한 점으로 줄어들었다. 간격이 더 줄어들면서 호를 일으키는 데 필요한 전압이 상승하기 시작했고 다시 원래 값을 초과했다.

주어진 가스의 경우 전압은 압력 및 간격 길이의 생산물에만 해당하는 기능이다.^[2][3] 그가 찾은 전압 대 압력 갭 길이 제품(오른쪽)의 곡선을 파센의 곡선이라고 한다. 그는 이러한 곡선에 맞는 방정식을 찾았는데, 이를 현재 파센의 법칙이라고 한다.^[3]

높은 압력과 간격 길이에서 고장 전압은 대략 압력과 간격 길이의 산물에 비례하며, 파센의 법칙이라는 용어는 이 단순한 관계를 가리키는 데 사용되기도 한다.^[5] 그러나, 이것은 곡선의 제한된 범위에 걸쳐서 대략적인 사실일 뿐이다.

파센 곡선

초기 진공 실험자들은 다소 놀라운 행동을 발견했다. 호는 때때로 전극 사이의 최소 거리보다는 길고 불규칙한 경로에서 발생한다. 예를 들어 공기 중에서는 한 대기의 압력에서 최소 파괴 전압의 거리는 약 7.5μm이다. 이 거리를 호크하는 데 필요한 전압은 327V로, 더 넓거나 좁은 간격에 대해 호를 점화하기에 불충분하다. 3.5μm 갭의 경우 필요한 전압은 533V로 두 배 가까이 된다. 500V를 적용하면 2.85μm 거리에서 호가 충분하지 않지만 7.5μm 거리에서 호가 된다.

Paschen은 고장 전압이 방정식에^[1] 의해 설명된다는 것을 발견했다.

${\displaystyle V_{\text{B}}={\frac {Bpd}{\ln(Apd)-\ln \left[\ln \ln \left(1+{\frac {1}{\gamma _{\text{se}}}\right]}}}}}$

${\displaystyle {여기}_{}}$서 V B ${\$$B}}}$은(는) 분해 전압(볼트 단위), $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은(는) 파스칼의 압력, d ${\displaystyle d}$은(는) 간격 거리(미터 단위), , ${\displaystyle {\text{se}}_{}}$ ${\$$displaystyle$ $\gamma _{\text}}}}$은 2차 전자 방출 계수(사건 양전자의 수), $.$$e A}$은 특정 $E{\displaystyle }$/ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E/p}($전기장/압력)에서 기체의 포화 이온화이며, $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$은 흥분 및 이온화 에너지와 관련이 있다$$.

상수 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ $및{\displaystyle }$ B$$ ${\displaystyle B}$은(는) 실험적으로 결정되며 주어진 가스에 대해$$ 제한된 $범위$인 E${\displaystyle /p}$ ${\displaystyle E/p}$에 걸쳐 대략적으로 일정한 것으로 확인된다. $예$를 들어 450~7500V/(kPa·cm), A ${\displaystyle A}$ $$= 112.50(kPa·cm)⁻¹ 및 $B{\displaystyle }${\$displaystyle B$}$$ = 2737.50V/(kPa·cm)의$$ $범위$에서 E${\displaystyle }$/ ${\displaystyle p}${\$displaystystyle E/}$이(kPa·cm)^[6]인 공기.

이 방정식의 그래프는 파센 곡선이다. $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle pd}$에 대해 구별하고 파생$$ 모델을 0으로 설정하면 최소 전압을 찾을 수 있다. 이것은 생산된다.

${\displaystyle pd={\frac {e\cdot \ln \ln \left(1+{\frac {1}{{\mathit{\}}}}{se}}}}\right)}{{\mathit}{\mathit}{\}}}}}{{{{A}}$

$그리고{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ d$${\$displaystyle pd}$ = 7.5×10⁻⁶ m/m/m/m에 대한 최소 분해 전압의 발생을 예측한다. 이것은 7.5 μm 거리에서 표준 대기압에서 공기 중 327 V이다.

기체의 구성은 최소 아크 전압과 발생 거리를 결정한다. 아르곤의 경우, 최소 호 전압은 12μm 이상에서 137 V이다. 이산화황의 경우 최소 아크 전압은 불과 4.4μm에서 457V이다.

긴 간격

온도 및 압력(STP)에 대한 표준 조건에서의 공기의 경우, 1미터 간격을 호크하는 데 필요한 전압은 약 3.4 MV이다.^[7] 따라서 이 간격에 대한 전기장의 강도는 3.4 MV/m이다.

최소 전압 간격을 호로 호를 통과하는데 필요한 전기장은 1미터의 호를 호로 하는 데 필요한 것보다 훨씬 크다. 7.5μm 갭의 경우 호 전압은 327V이며 43 MV/m이다. 이는 1.5m 갭의 필드 강도보다 약 14배 높은 것이다. 이 현상은 실험적으로 잘 검증되어 파센 최소치라고 한다.

이 방정식은 한 대기에서^[8] 공기 중 약 10μm 미만의 간격에 대한 정확도를 상실하고 약 2.7마이크로미터의 간격에서 무한 호 전압을 잘못 예측한다. 또한 파괴 전압은 음극 표면에서 방출되는 전기장 방출이 중요해질 때 매우 작은 전극 간격에 대한 파센 곡선 예측과 다를 수 있다.

물리 메커니즘

기체 내 분자의 평균 자유 경로는 다른 분자와 충돌하는 평균 거리다. 이것은 일정한 온도로 볼 때 기체의 압력에 반비례한다. STP의 공기에서 분자의 평균 자유 경로는 약 96 nm이다. 전자가 훨씬 작기 때문에 분자와 충돌하는 사이의 평균 거리는 약 5.6배, 즉 약 0.5μm이다. 이는 최소 아크 전압을 위한 전극 사이의 7.5μm 간격의 상당 부분이다. 전자가 43 MV/m의 전기장에 있을 경우 가속되어 전기장 방향으로 0.5 μm 이동하면서 21.5 eV의 에너지를 획득하게 된다. 질소 분자에서 전자를 빼는데 필요한 첫 번째 이온화 에너지는 약 15.6 eV이다. 가속된 전자는 질소 분자를 이온화하기에 충분한 에너지를 얻을 것이다. 이 해방된 전자는 차례대로 가속되어 또 다른 충돌로 이어질 것이다. 그 후 연쇄반응은 눈사태로 이어지고, 방출된 전자의 폭포에서 호가 일어난다.^[9]

더 높은 압력 가스의 전극들 사이의 전자 경로에서 더 많은 충돌이 일어날 것이다. 압력 갭 $제품{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ d ${\displaystyle pd}$이 높으면 전자가 음극에서 양극으로 이동하면서 많은 다른 가스 분자와 충돌한다. 각각의 충돌은 전자 방향을 랜덤화하므로 전자가 항상 전기장에 의해 가속되는 것은 아니며, 때로는 음극 쪽으로 다시 이동하며 전자에 의해 감속된다.

충돌은 전자의 에너지를 감소시키고 분자를 이온화하는 것을 더 어렵게 만든다. 더 많은 수의 충돌로 인한 에너지 손실은 전자가 많은 가스 분자를 이온화하기에 충분한 에너지를 축적하기 위해 더 큰 전압을 필요로 하는데, 이것은 눈사태 붕괴를 일으키는 데 필요하다.

Paschen 최소 왼쪽에는 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle pd}$ 제품이$$ 작다. 전자 평균 자유 경로가 전극 사이의 간격에 비해 길어질 수 있다. 이 경우 전자는 많은 양의 에너지를 얻을 수 있지만 전리 충돌은 적을 수 있다. 그러므로 눈사태를 일으키기에 충분한 가스 분자의 이온화를 보장하기 위해서는 더 큰 전압이 필요하다.

파생

기본 사항

돌파 전압을 계산하기 위해 균일한 전기장을 가정한다. 병렬 플레이트 캐패시터 설정의 경우가 이에 해당한다. 전극의 거리는 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$일 수 있다$.$ 음극은 $x{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x=0}$ 지점에 위치한다$.$

충격 이온화를 얻으려면 전자 에너지 ${\displaystyle E_{}}$ ${\$가 이온화 에너지 $E{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$보다 커야 한다$$.$플레이트$ 사이에 있는 가스$$ 원자의 I$}}.$ 경로 $x{\displaystyle }$ 길이당$${\$displaystyle$ x}$$$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$개의 이온화가$$ 발생할$$ 것이다. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha}$은(는) 타운젠드가 처음 도입한 타운젠드 계수로 알려져$$ 있다.^[10] 전자 전류 ${\displaystyle {current}_{}}$ $e{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\$의$$증가는 가정된 설정에 대해 다음과 같이 설명할 수 있다.

${\displaystyle \Gamma _{e}(x=d)=\Gamma _{e}(x=0)\,e^{\alpha d}.}$

(1)

(따라서 양극에서 자유전자의 수는 충격 이온화로 곱한 음극에서 자유전자의 수와 같다. $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ 및$$/또는 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$이$($가) 클수록 자유전자가 더 많이 생성된다.)

생성된 전자의 수는

${\displaystyle \Gamma _{e}-\Gamma _{e}(0)=\Gamma _{e^{\alpha d}-1\right.}$

(2)

동일한 원자의 가능한 다중 이온화를 무시한 채 생성된 이온 수는 생성된 전자 수와 동일하다.

${\displaystyle \Gamma _{i}(0)-\Gamma _{i}(d)=\Gamma _{e^{\alpha d}-1\오른쪽).}$

(3)

${\displaystyle {\mathrm{\gamma }}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$는 이온 전류다. 방전을 계속하려면 음극 표면에 자유 전자가 생성되어야 한다. 이는 이온이 음극에 부딪힐 때 2차 전자를 방출하기 때문에 가능하다. (매우 큰 인가 전압의 경우 전자의 방출도 발생할 수 있다.) 필드 방출이 없다면, 우리는 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle \Gamma _{e}(0)=\gamma \Gamma _{i}(0),}$

(4)

여기서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma }$은(는) 이온당 생성된 이차 전자의 평균 수입니다. 이것은 제2의 타운센드 계수로도 알려져 있다. $\gamma {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle d}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle \Gamma _{i}(d)=0$이라고 가정하면 (3)에 (4)을 넣고 다음과 같이 변환하여 Townsend 계수 사이의 관계를 얻는다.

${\displaystyle \d=\ln \left(1+{\frac {1}{\property }\오른쪽).}$

(5)

충격 이온화

$\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$의 양은?$$이온화의 수는 전자가 가스 분자와 충돌할 확률에 따라 달라진다. 이 확률 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$은 전자가 다음을 $통과$하여 날아갈 수 있는 전체$$ 영역 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$과 관련하여$$ 전자와 이온 사이의 충돌의 단면적의 관계다.

${\displaystyle P={\frac {N\sigma }{A}={\frac {x}{\lambda }}}}$

(6)

방정식의 두 번째 부분에서 표현했듯이, 전자 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$가 이동한 경로와 평균 자유 경로 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda$}($$또 다른 충돌이 발생하는 거리)의 관계로서 확률도 표현할 수 있다.

${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$은 전자가 부딪힐 수 있는 분자의 수입니다. 이상 기체의 상태 방정식을 이용하여 계산할 수 있다.

${\displaystyle pV=Nk_{B}T}$

(7)

(${\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$: $압력{\displaystyle }$, V ${\displaystyle V}$: 볼륨, $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$: 볼츠만 상수, $T{\displaystyle }$ ${\displaystytle$ T}$$: 온도)

인접한 $스케치$에서는 ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle \pi }$(${\displaystyle {r\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}{}^{}}$) 2 ${\$ 전자의 반경을 이온 $r{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$b}}}}의 반경에 비해 소홀히 할 수 있으므로$I$$}}$ $\sigma {\displaystyle }$ =${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ I ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$$I}^{2$ 이 관계를 이용하여 (7)을 (6)에 넣고 $\lambda {\displaystyle }$ ${\디스플레이$ 스타일 $\램바 }}$로 변환한다$$.

${\displaystyle \lambda ={\frac {k_{B}T}{p\pi r_{{I}^{2}}:}={\frac {1}{L\cdot p}}}}$

(8)

여기서 요인 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 더 나은 개요를 위해만 도입되었다$$.

경로 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$의 모든 지점에서 아직 충돌하지 않은 전자의 전류의 변화는 다음과 같이 표현할$$ 수 있다.

${\displaystyle \mathrm {d} \감마 _{e}=-\Gamma _{e}(x)\,{\frac {\mathrm {d}x}{\lambda _{e}}}}}}}}}}$

(9)

이 미분 방정식은 다음과 같이 쉽게 풀 수 있다.

${\displaystyle \Gamma _{e}(x)=\Gamma _{e}(0)\exp(-{\frac {x}{\lambda _{e}}\right)}}$

(10)

> ${\displaystyle \lambda >x}($$아직{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ x$}$ 지점에 충돌이 없었을 확률$)$

${\displaystyle P(\lambda >x)={\frac {\gamma _{e}(x)}{e}}}}{e}}}}}}}}}}\exp(-{\frac {x}{\lambda _{e}\rig)\right)}}$

(11)

그 정의에 따르면$\alpha {\displaystyle }$ {\$displaystyle \alpha$}은$$ 경로 길이당 이온화의 수로서, 따라서 이온의 평균 자유 경로에서 충돌이 없었을 확률과 전자의 평균 자유 경로의 관계:

${\displaystyle \alpha ={\frac {P(\lambda >\lambda _{I})}{\lambda _{e}}}={\frac {1}{\lambda _{e}}}\exp \left(-{\frac {\lambda _{I}}{\lambda _{e}}}\right)={\frac {1}{\lambda _{e}}}\exp \left(-{\frac {E_{I}{E_{E}}\오른쪽)}$

(12)

이에 따라 충돌 사이에 충전된 입자가 얻을 수 있는 $에너지$ E ${\displaystyle E}$은(는) 전기장 $강도{\displaystyle \mathcal{}}$ E ${\$ 및$$ 충전 $Q{\displaystyle }$ ${\displaysty Q}$에 따라 달라지는 것으로 간주되었다$.$

${\displaystyle E=\lambda Q{\mathcal {E}}$

(13)

고장 전압

병렬 플레이트 캐패시터의 경우 $E{\displaystyle \mathcal{}}$= ${\displaystyle U\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{d}{}}$ ${\$이(가) 있으며$,$ 여기서 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle U}$은(는) 인가 전압이다. $단일{\displaystyle }$ 이온화가 Q ${\displaystyle Q}$을(를) 기본 $전하{\displaystyle }$ e ${\displaystyle e}$으로 가정했으므로$,$ 이제 (13)와 (8)을 (12)에 넣고,

${\displaystyle \alpha =L\cdot p\,\exp \left(-{\\frac {L\cdot p\cdot d\cdot E_){I}{eU}\오른쪽)}$

(14)

이것을 (5)에 넣고 U ${\displaystyle U}$로 변환하면$$ 파스첸 법칙이 적용되는데, 파스첸이 처음^[4] 조사한 고장 전압 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{b}}_{}}$ r ${\displaystyle {\mathrm{a}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{k}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{d}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{w}}_{}}$ ${\$에 대해 파스첸 법칙이 적용되며, 이 공식은 섹션 227:^[11]

${\displaystyle U_{\text{breakdown}={\frac {L\cdot p\cdot d\cdot E_{}}}I}}{e\left(\ln(L\cdot p\cdot d)-\ln \left(\ln \ln \left(1+\gamma ^{-1}\오른쪽)}}}}}}\qquad \qquad (15)}}}}$

(15)

와 함께 ${\textstyle L={\frac {\pi r_{I}^{2}}:{k_{B}T}}$

플라즈마 점화

타운센드(Townsend, Townsend 방전)의 정의에 따른 플라즈마 점화(Plasma 점화)는 자유전자의 외부 공급원과 무관한 자생적 방전이다. 이는 음극에서 나온 전자가 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$의 거리에 있는 양극에 도달하여$$ 도중에 적어도 하나의 원자를 이온화할 수 있다는 것을 의미한다. 따라서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$의 정의에 따라 이 관계를$$ 충족해야 한다.

$\displaystyle \displayd d\geq 1}$

(16)

α ${\displaystyle d}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \alpha$ d=1}을$(를)$ 사용할 경우 분해 전압에$$ 대해 얻음

${\displaystyle U_{\mathrm {breakdown\,Townsend} }={\frac {L\cdot p\cdot d\cdot E_{}I}{{e\cdot \ln(L\cdot p\cdot d)}}}}}={\frac {d\cdot E_{{I}{{e\cdot \lambda _{e}\,\ln \left({\frac {d}{\lambda _{e}}\오른쪽)}}}$

(17)

결론, 타당성

파센의 법칙은 다음을 요구한다.

• 음극( ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle e_{}}$( x${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \Gamma _{e}(x=0)\neq$ 0$\}$ )에는 이미 자유 전자가 있어 충격 이온화를 촉발하기 위해 가속할 수 있다. 이와 같은 소위 종자 전자는 자연 방사능이나 우주 광선에 의한 이온화에 의해 생성될 수 있다.
• 추가 자유 전자의 생성은 충격 이온화에 의해서만 달성된다. 따라서 파센의 법칙은 외부 전자원이 있다면 유효하지 않다. 예를 들어, 이것은 광전 효과에 의해 2차 전자를 생성하는 광원이 될 수 있다. 이것은 실험에서 고려되어야 한다.
• 각각의 이온화된 원자는 오직 하나의 자유 전자로 이어진다. 그러나 실제로는 항상 다중 이온화가 발생한다.
• 음극 표면의 자유 전자는 충격 이온에 의해 생성된다. 문제는 이렇게 만들어진 전자의 수가 음극의 물질, 그 표면(경도, 불순물), 환경 조건(온도, 습도 등)에 따라 크게 좌우된다는 점이다. 따라서 $\gamma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \gamma}$ 인자의 실험적이고 재현 가능한 결정은 거의 불가능하다$$.
• 전기장은 균질하다.

다른 가스로 인한 영향

다른 기체들은 분자와 전자를 위한 다른 평균 자유 경로를 가질 것이다. 분자마다 직경이 다르기 때문이다. 헬륨과 아르곤과 같은 고귀한 가스는 단원자여서 지름이 더 작은 경향이 있다. 이것은 그들에게 더 많은 평균적인 자유 경로를 제공한다.

이온화 전위는 분자마다 다르고, 또한 그들이 궤도를 이탈한 후 전자를 탈환하는 속도도 다르다. 세 가지 효과 모두 자유 전자의 기하급수적인 성장을 유발하는 데 필요한 충돌 횟수를 변화시킨다. 이러한 자유 전자는 호를 발생시키기 위해 필요하다.

참고 항목

• 대기압
• 고장 전압
• 유전강도
• 타운젠드 방류

참조

외부 링크

• MEMS에 대한 전기적 고장 한계
• 웨이백 기계에 보관된 고전압 실험자 핸드북 2011-10-16
• 파센의 법칙 계산기
• 고장 전압 vs. 압력
• 저압가스의 전기적 고장
• 전기 방전
• 마이크로파 가스파괴에서 플라즈마 구조물의 압력 의존성에 관한 연구