순서가중평균

응용 수학에서, 특히 퍼지 논리에서, 순서 가중 평균(OWA) 연산자는 평균 유형 집계 연산자의 매개 변수화된 클래스를 제공합니다.그들은 로널드 R.에 의해 소개되었습니다. 예거.^[1][2]최대, 산술 평균, 중위수 및 분과 같은 많은 주목할 만한 평균 연산자가 이 클래스의 멤버입니다.언어적으로 표현된 집합 명령을 모델링할 수 있는 능력 때문에 컴퓨터 지능 분야에서 널리 사용되어 왔습니다.

정의.

차원 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \n}$의 ${\displaystyle OWA}$ 연산자는 ${\displaystyle W}$ =${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle \dots ,}$w ${\displaystyle n_{}}$]$${\$displaystyle$F:\$mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}}$의 매핑 ${\displaystyle {}^{}}$입니다${\displaystyle .}$ 단위 간격에 위치하고 하나로 합하고 다음을 포함하는 ${\$displaystyle \ W = [w_{1},\ldots,w_{n}}

${\displaystyle F(a_{1},\ldots,a_{n})=\sum _{j=1}^{n}w_{j}b_{j}}$

여기서 ${\displaystyle {bj}_{}}$ ${\$는 ${\displaystyle {ai}_{}}$ ${\$ 중 j가^th 가장 큽니다$.$

서로 다른 W를 선택함으로써 서로 다른 집계 연산자를 구현할 수 있습니다.OWA 연산자는 b를_j 결정하는 과정의 결과로 비선형 연산자입니다.

주목할 만한 OWA 연산자

${\displaystyle \ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\max(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ if ${\displaystyle \ w_{1}=1}$ and ${\displaystyle \ w_{j}=0}$ for ${\displaystyle j\neq 1}$

${\displaystyle \ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\min(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ if ${\displaystyle \ w_{n}=1}$ and ${\displaystyle \ w_{j}=0}$ for ${\displaystyle j\neq n}$

${\displaystyle \ F(a_{1},\ldots ,a_{n})=\mathrm {average} (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ if ${\displaystyle \ w_{j}={\frac {1}{n}}}$ for all ${\displaystyle j\in [1,n]}$

특성.

OWA 연산자는 평균 연산자입니다.아래에 정의된 바와 같이 유계, 단조, 대칭 및 멱함수입니다.

유계	${\displaystyle \min(a_{1},\ldots,a_{n})\leq F(a_{1},\ldots,a_{n})\leq \max(a_{1},\ldots,a_{n})}$
모노토닉	${\displaystyle F(a_{1},\ldots ,a_{n})\geq F(g_{1},\ldots ,g_{n})}$ if ${\displaystyle a_{i}\geq g_{i}}$ for ${\displaystyle \ i=1,2,\ldots ,n}$
대칭적인	${\displaystyle }$displaystyle {\boldsymbol {\pi${\displaystyle (}$$n$$)}$인 경우 F (${\displaystyle a{\mathbf{1}}_{}{,}_{}}$…, π$($n)) {\displaystyle F(${\displaystyle {a\_}_{}}$${1$},\ldots,a_${\displaystyle \{}$n})=F(a_{\boldsymbol {\pi(1)},\ldots,a_{\boldsymbol {\pi(n)}}
idempotent	${\displaystyle F}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle \dots ,a_{}}$ )$$= ${\displaystyle \mathrm{모두}}$i인 $경우$ {\displaystyle \$F$(a_{1},\ldots,${\displaystyle a}$_{n})=$a}$ {\displaystyle ${\displaystyle \backslash }$a_{i}=a}

특징을 특성화

OWA 연산자를 특성화하기 위해 두 가지 기능이 사용되었습니다.첫 번째는 태도적인 성격으로, '오렌지'라고도 불립니다.^[1]이는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle A-C(W)={\frac {1}{n-1}}\sum _{j=1}^{n}(n-j)w_{j}}.$

${\displaystyle \mathrm{A}}$ -${\displaystyle C}$ (${\displaystyle W}$ )${\displaystyle }$∈${\displaystyle }$[0$,$ 1 ] {\$displaystyle A-C(W)\$in$$[0, 1]}인 것으로 알려져 있습니다.

또한 A - C(max) = 1, A - C(ave) = A - C(med) = 0.5, A - C(min) = 0. 따라서 최대 집합에서 최소 집합으로 갈수록 A - C는 1에서 0으로 바뀝니다.태도적 특성은 집합과 OR 연산의 유사성을 나타냅니다(OR는 Max로 정의됨).

두 번째 특징은 분산입니다.다음과 같이 정의되었습니다.

${\displaystyle H(W)=-\sum _{j=1}^{n}w_{j}\ln(w_{j}).}$

대안적 정의는 $E$ (${\displaystyle \underset{}{\overset{}{W}})}$= ∑ j = 1 n ${\displaystyle {}_{}^{}}$j$2$입니다. {\displaystyle E(W)=\sum _{j=$1}^{n$}w_{j}^{2}}입니다.$$ 분산은 인수가 얼마나 균일하게 사용되고 있는지를 특징으로 합니다.

타입-1 OWA 집성 연산자

위의 Yager의 OWA 연산자는 크리스프 값을 집계하는 데 사용됩니다.OWA 메커니즘에서 퍼지 집합을 집계할 수 있습니까?이를 위해 타입-1 OWA 연산자가 제안되었습니다.^[3][4] 따라서 타입-1 OWA 연산자는 소프트 의사 결정 및 데이터 마이닝에서 OWA 메커니즘을 통해 불확실한 가중치를 가진 불확실한 정보를 직접 집계하는 새로운 기술을 제공합니다. 여기서 이러한 불확실한 객체는 퍼지 세트에 의해 모델링됩니다.

타입-1 OWA 연산자는 퍼지 집합의 알파 컷에 따라 다음과 같이 정의됩니다.

언어 가중치 {${\displaystyle {{Wi}^{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$= 1 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ {\$displaystyle \left\{$가 주어졌을 때$W^{i}}\right\}_{i=1}^{n}}$ in the form of fuzzy sets defined on the domain of discourse ${\displaystyle U=[0,\;\;1]}$, then for each ${\displaystyle \alpha \in [0,\;1]}$, an ${\displaystyle \alpha }$-level type-1 OWA operator with ${\displaystyle \alpha }$-level sets ${\displaystyle \left\{{$$W_{\alpha}^{i}\right$$\}$$_{i=1$${\displaystyle {\}^\{}_{}^{}}$n} - 퍼지 집합 {Ai} i $=$ 1 n {\displaystyle \left\{$A^{i}}\right\}_{i=$1}^{$n}$은(는) 다음과 같습니다.

${\displaystyle \Phi _{\alpha}}\left({A_{\alpha}^{1},\ldots,A_{\alpha}^{n}\right)=\left\{{\frac {\sum \limits_{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma(i))}}{\sum \limits_{i=1}^{n}{w_{i}}}\left {w_{i}\in W_{\alpha}^{i},\;a_{i}}\right.\in A_{\alpha}^{i},\;i=1,\ldots,n}\right\}$

where ${\displaystyle W_{\alpha }^{i}=\{w \mu _{W_{i}}(w)\geq \alpha \},A_{\alpha }^{i}=\{x \mu _{A_{i}}(x)\geq \alpha \}}$, and ${\displaystyle \sigma :\{\;1,\ldots ,n\;\}\to \{\;1,\ldots ,n\;\}}$ is a permutation function such that ${\displaystyle a_{\sigma (i)}\ge a_{\sigma (i+1}}$${\displaystyle a_{\sigma (i)}\geq a_{\sigma (i+1)},\;\forall \;i=1,\ldots ,n-1}$, i.e., ${\displaystyle a_{\sigma (i)}}$ is the ${\displaystyle i}$th largest element in the set ${\displaystyle \left\{{a_{1},\ldots ,a_{n}}\right\}}$.

Type-1 OWA 출력의 계산은 구간${\displaystyle {}_{}}$φ ${\displaystyle {}_{}^{}}$(A${\displaystyle }$α 1, …,${\displaystyle {}_{}^{}}$α n ) ${\displaystyle \Phi$ _${\alpha$}^{$1},\ldots,$A_${\alpha$ }^{$n$${\displaystyle {right}_{}}$ :${\displaystyle {}_{}}$φ A ${\displaystyle {{}_{}^{}}_{}}$ (${\displaystyle {{}_{}^{}}_{}}$α 1$,$ …, A α n ) - ${\displaystyle \Phi$_{\$alpha }^{1$},\$ldots,A_${\alpha }^{n$}}\rig$$ht)_{-}}$ and ${\displaystyle \Phi _{\alpha }\left({A_{\alpha }^{1},\ldots ,A_{\alpha }^{n}}\right)_{+},}$ where ${\displaystyle A_{\alpha }^{i}=[$$A_{\alpha -}^{i},$$A_{\alpha +}^{i}],$$W_{\alpha}^{i}=[$$W_{\alpha -}^{i},$$W_{\alpha +}^{i$ 그러면 집합 퍼지 집합의 멤버쉽 함수는 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mu _{G}(x)=\mathop {\vee } _{\alpha :x\in \Phi _{\alpha}}\left({A_{\alpha}^{1},\cdots,A_{\alpha}^{n}\right)_{\alpha}}\alpha }$

왼쪽 끝점의 경우 다음 프로그래밍 문제를 해결해야 합니다.

${\displaystyle \Phi _{\alpha}}\left({A_{\alpha}^{1},\cdots,A_{\alpha}^{n}}\right)_{-}=\min \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits_{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma(i)}/\sum \limits_{i=1}^{n}{w_{i}}}}$

올바른 엔드포인트를 위해서는 다음과 같은 프로그래밍 문제를 해결해야 합니다.

${\displaystyle \Phi _{\alpha}}\left({A_{\alpha}^{1},\cdots,A_{\alpha}^{n}\right)_{+}=\max \limits _{\begin{array}{l}W_{\alpha -}^{i}\leq w_{i}\leq W_{\alpha +}^{i}A_{\alpha -}^{i}\leq a_{i}\leq A_{\alpha +}^{i}\end{array}}\sum \limits_{i=1}^{n}{w_{i}a_{\sigma(i)}/\sum \limits_{i=1}^{n}{w_{i}}}}$

본 논문에서는^[5] type-1 OWA 집성 연산을 효율적으로 수행할 수 있도록 두 가지 프로그래밍 문제를 해결하기 위한 빠른 방법을 제시하였습니다.

위원회 투표를 위한 OWA

아마나티디스, 바로트, 랑, 마르카키스, 리스는^[6] OWA와 해밍 거리를 기준으로 다쟁점 투표 규칙을 제시합니다.Barrot, Lang, Yokoo는^[7] 이 규칙들의 조작 가능성을 연구합니다.

참고문헌

• Liu, X., "OWA 연산자에 대한 최소 최대 차이와 최소 분산 문제의 솔루션 등가성", International Journal of Approximate Reasoning 45, 68–81, 2007.
• Torra, V. and Narukawa, Y., 모델 결정:정보융합 및 집적 연산자, 스프링거: 베를린, 2007
• Majlender, P., "최대 레니 엔트로피를 가진 OWA 연산자", Fuzzzy Sets and Systems 155, 340–360, 2005.
• Szekely, G. J. and Buczolich, Z. "주문된 샘플 요소의 가중 평균은 언제 위치 매개 변수의 최대 가능성 추정치입니까?"응용수학의 진보 10, 1989, 439–456