네트워크 미적분학

네트워크 미적분은 "동시 프로그램, 디지털 회로, 통신 네트워크와 같은 인간이 만든 시스템에 대한 통찰력을 주는 일련의 수학적인 결과"이다.^[1]네트워크 미적분은 컴퓨터 네트워크의 성능 보증 분석을 위한 이론적 프레임워크를 제공한다.트래픽이 네트워크를 통해 흐를 때 다음과 같은 시스템 구성요소에 의해 부과되는 제약조건이 따른다.

용량을 연결하다.
트래픽 셰이퍼(트래픽 버킷)
혼잡 통제
백그라운드 트래픽

이러한 제약조건은 네트워크 미적분법으로 표현하고 분석할 수 있다.제약조건 곡선은 min-plus 대수학에서 콘볼루션을 사용하여 결합할 수 있다.네트워크 미적분은 또한 서비스 곡선뿐만 아니라 트래픽 도착과 출발 기능을 표현하는데 사용될 수 있다.

미적분학은 "대체 알헤브라스"를 사용하여 복잡한 비선형 네트워크 시스템을 분석적으로 추적 가능한 선형 시스템으로 변환한다.^[2]

현재, 네트워크 미적분학에는 두 개의 분기가 존재한다. 하나는 결정론적 경계가 있고 다른 하나는 확률적 경계가 있다.^[3]

시스템 모델링

모델링 흐름 및 서버

네트워크 미적분학에서 흐름은 $누적함수$ A로 모델링되며, $여기$ 서 A $(t)$ 는 $간격[0$ ,t]에서 흐름에 의해 전송되는 데이터의 양(예: 비트 수)을 나타낸다 $.$ 그러한 기능은 음성이 아니며 감소하지 않는다.시간 영역은 종종 부정적인 현실의 집합이다.

서버 수신 및 송신 시의 도착 및 출발 곡선.

$A:\mathb {R} ^{+}\오른쪽 화살표 \mathb {R} ^{+}$

$\displaystyle \forall u,t\in \mathb {R}^{+}u<t\implies A(u)\leq A(t)}$

서버는 링크, 스케줄러, 트래픽 셰이퍼 또는 전체 네트워크가 될 수 있다.단순히 일부 도착 누적 곡선 $A$ 와 일부 출발 누적 곡선 D $사이$ 의 관계로 모델링된다.일부 데이터의 출발이 도착 전에 발생할 수 없다는 사실을 모델링하기 위해 $A$ ≥ $D$ 가 요구된다.

모델링 백로그 및 지연

일부 도착 및 출발 $곡선$ $A$ 와 D를 고려할 때, b $(A,D,t)$ 로 표시된 순간 $t$ 에서의 백로그는 $A$ 와 $D$ 의 차이로 정의될 수 있다. $t$ , d $(A,D,t)$ 에서의 지연은 출발 기능이 도착 함수에 도달할 정도의 최소한의 시간으로 정의된다.전체 흐름을 고려할 때 이러한 가치의 우월성이 사용된다.

도착과 출발 누적 곡선 사이의 수평 및 수직 편차

$b(A,D,t):=A(t)-D(t)$

$d(A,D,t):=\inf \left\{d\in \mathb {R} ^{+}~s.t.~D(t+d)\geq A(t)\오른쪽\}$

$b(A,D):=\sup _{t\geq 0}\왼쪽\{A(t)-D(t)\오른쪽\}}$

$d(A,D):=\sup _{t\geq 0}\좌측\{\inf \좌측\{d\inf \inf \nf\{d\inf\inf \\\\\inf \mathb {R}^{+}~s.t.~D(t+d)\geq A(t)\right\}\right\}}}$

일반적으로 흐름은 정확히 알 수 없으며, 흐름과 서버의 일부 제약조건만 알려져 있다(일부 기간에 전송되는 최대 패킷 수, 패킷의 최대 크기, 최소 링크 대역폭 등).네트워크 미적분학의 목적은 이러한 제약조건에 기초하여 지연과 백로그에 대한 상한을 계산하는 것이다.이를 위해 네트워크 미적분은 min-plus 대수학을 사용한다.

민플러스 대수

필터 이론과 선형 시스템 이론에서 두 기능 $f$ ${\displaystyle$ f $}$ 과 $g$ $g$ 의 $f$ 콘볼루션은 다음과 같이 정의된다 $g$ .

$[\displaystyle(f\ast g)(t):=\int _{0}^{t}f(\tau )\cdot g(t-\tau )d\tau }$

min-plus 대수에서 합계는 각각 최소 연산자로 대체되고 제품은 합으로 대체된다.따라서 두 기능 $f$ $f$ 및 $g$ $g$ 의 $f$ $g$ 최소+콘볼루션은

$[\displaystyle(f\otimes g)(t):=\inf _{0\leq \tau \leq t}\left\{f(\tau )+g(t-\tau )\right\}}}}$

예: 서비스 곡선의 정의를 참조하십시오.콘볼루션과 min-plus 콘볼루션은 많은 대수적 특성을 공유한다.특히 두 가지 모두 교감적이고 연상적이다.

이른바 min-plus de-convolution 연산이란 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle(f\oslash g)(t):=\sup _{\tau \geq 0}\왼쪽\{f(t+\tau )-g(\tau )\오른쪽\}}}$

예를 들어, 교통 봉투의 정의에 사용되는 경우.

수직 편차와 수평 편차는 min-plus 연산자로 표현할 수 있다.

$b(f,g)=(f\oslash g)(0)$

$d(f,g)=\inf\{w:(f\oslash g)(-w)\leq 0\}$

교통 봉투

누적 곡선은 설계 시 알려지지 않은 실제 행동이다.알려진 것은 어떤 제약이다.네트워크 미적분학은 도착 곡선이라고도 알려진 트래픽 봉투의 개념을 사용한다.

누적 함수 $A$ 는 봉투( $또는$ 도착 곡선) $E$ 를 준수하는 것으로 알려져 있다. 만약 그것이 모든 t에 대해 그러한 함수를 가지고 있다면.

$E(t)\geq \sup _{\tau \geq 0}\{A(t+\tau )-A(\tau )\}=(A\oslash A)(t).$

두 개의 동등한 정의를 제공할 수 있다.

$\forall \tau ,t\in \mathb {R} ^{+}:A(\tau +t)-A(\tau )\leq E(t)$

(1)

$A\leq A\time E}$

(2)

따라서 $E$ 는 흐름 $A$ 에 상부 구속조건을 둔다.그러한 함수 $E$ 는 임의의 $τ$ , cf. eq. (1)에서 시작하는 길이 $t$ 의 어떤 간격에서 보이는 흐름의 비트 수에 대한 상한을 지정하는 봉투로 볼 수 있다.

서비스 곡선

트래픽 흐름에 성능 보증을 제공하기 위해서는 서버의 최소한의 성능(네트워크의 예약이나 스케줄링 정책 등에 따라 달라짐)을 명시할 필요가 있다.서비스 곡선은 자원 가용성을 표현하는 수단을 제공한다.약하게 엄격한 가변 용량 노드 등 여러 종류의 서비스 곡선이 존재한다.자세한^[4]^[5] 내용은 을 참조하십시오.

미니멀 서비스

$A$ 를 서버의 수신에 도달하는 도착 흐름으로 하고, $D$ 를 출구에서 출발하는 흐름으로 한다.이 시스템은 $모든$ t에 $D(t)\geq (A\otimes S)(t).$ D $D(t)\geq (A\otimes S)(t).$ ( $D(t)\geq (A\otimes S)(t).$ ) $D(t)\geq (A\otimes S)(t).$ ( A $D(t)\geq (A\otimes S)(t).$ $D(t)\geq (A\otimes S)(t).$ ) $D(t)\geq (A\otimes S)(t).$ ( $D(t)\geq (A\otimes S)(t).$ ) $D(t)\geq (A\otimes S)(t).$ . ${\displaystyle D(t)\geq (A\otimes$ S $)(t$ )를 유지하는 경우 $,$ 쌍 $(A,B$ )에 대해 간단한 최소 서비스 곡선 $S$ 를 제공한다고 한다 $.$ $}$

엄격한 최소 서비스

$A$ 를 서버의 수신에 도달하는 도착 흐름으로 하고, $D$ 를 출구에서 출발하는 흐름으로 한다.밀린 로그 기간은 어떤 t ∈ $I$ 에서나 A $(t)>D(t$ )에서나 하는 간격이다 $.$

The system is said to provide a strict minimal service curve $S$ to the pair $(A,B)$ iff, $\forall s,t\in \mathbb {R} ^{+}$ , such that $s\leq t$ , if $(s,t]$ is a backlog period, then ${\displaystyle D(t)-D(s)\geq S($ $t-s)}$ .

서버가 커브 $S$ 의 엄격한 최소 서비스를 제공한다면, 그것은 또한 커브 $S$ 의 단순한 최소 서비스도 제공한다.

기본 결과: 성능 한계 및 엔벨로프 전파

교통 봉투와 서비스 곡선에서는 지연과 밀린 로그에 대한 일부 한계와 출발 흐름의 봉투가 계산될 수 있다.

$A$ 를 서버의 수신에 도달하는 도착 흐름으로 하고, $D$ 를 출구에서 출발하는 흐름으로 한다.트래픽 엔벨로프 $E$ 로서 흐름과 서버가 최소한의 곡선 $S$ 서비스를 제공하는 경우, 백로그와 지연은 다음과 같이 제한될 수 있다.

$(\displaystyle b(A,D)\leq b(E,S)}$

${\디스플레이 스타일 d(A,D)\leq d(E,S)}$

더욱이, 출발 곡선에는 $E'=E\oslash S$ $E'=E\oslash S$ = $E'=E\oslash S$ $E'=E\oslash S$ S $E'=E\oslash S$ 봉투가 있다 $E'=E\oslash S$

더욱이 이러한 경계는 엄격하다. 즉, 일부 $E$ 와 $S$ 를 감안할 때 b $(A,D)$ = $b(E,S)$ 및 $v(A,D)=$ $v(E,S$ )와 같은 도착과 출발을 구축할 수 있다 $.$

연결 / PBO

첫 번째 서버의 출력이 두 번째 서버의 입력일 때 두 서버의 순서를 고려하십시오.이 시퀀스는 다른 두 서버의 연결로 구축된 새로운 서버로 볼 수 있다.

그런 다음, 첫 번째(resp. second) 서버가 간단한 최소 서비스 $S_{1}$ ${\$ resp) $S_{1}$ 을 제공하는 경우. $S_{2}$ $S_{2}$ ${\$ 그러면, 양쪽 연결 모두 간단한 최소 서비스 $S_{e2e}=S_{1}\otimes S_{2}$ e $S_{e2e}=S_{1}\otimes S_{2}$ e $S_{e2e}=S_{1}\otimes S_{2}$ = $S_{e2e}=S_{1}\otimes S_{2}$ 1 $S_{e2e}=S_{1}\otimes S_{2}$ $S_{e2e}=S_{1}\otimes S_{2}$ $S_{e2e}=S_{1}\otimes S_{2}$ ${\$ 를 제공한다. $S_{1}\otimes S_{2$

서버 2개 순서

The proof does iterative application of the definition of service curves $X\geq A\otimes S_{1}$ , $D\geq X\otimes S_{2}$ and some properties of convolution, isotonicity ( $D\geq (X\otimes S_{2})\otimes S_{1}$ ), and associativity( $D\geq X\otimes (S_{2}\otimes S_{1})$ $D\geq X\otimes (S_{2}\otimes S_{1})$ X $D\geq X\otimes (S_{2}\otimes S_{1})$ $D\geq X\otimes (S_{2}\otimes S_{1})$ $D\geq X\otimes (S_{2}\otimes S_{1})$ $D\geq X\otimes (S_{2}\otimes S_{1})$ $D\geq X\otimes (S_{2}\otimes S_{1})$ $D\geq X\otimes (S_{2}\otimes S_{1})$ ) ${\displaystyle D\geq X\otimes (S_{2}\otimes S_{1}}).$

The interest of this result is that the end-to-end delay bound is not greater than the sum of local delays: $d(E,S_{2}\otimes S_{1})\leq d(E,S_{1})+d(E\oslash S_{1},S_{2})$ .

이 결과를 1회만 페이 버스트(PBU)라고 한다.

도구들

네트워크 미적분학을 기반으로 한 몇 가지 도구가 있다.비교는 에서 찾을 수 있다.^[6]

디스코DNC는 네트워크 미적분학 프레임워크의 학술적 자바 구현이다.^[7]
RTC Toolbox는 Real-Time 미적분학 프레임워크의 학술적인 Java/MATLAB 구현으로, 네트워크 미적분학에 준하는 이론이다.^[4]^[8]
CyNC^[9] 도구는 RTC Toolbox 상단에 기반을 둔 학술적 MATLAB/Symulink 도구 상자다.이 도구는 2004-2008년에 개발되었으며 현재 알보리 대학에서 가르치는 데 사용되고 있다.
RTaW-PEGASE는 네트워크 미적분학을 기반으로 한 스위칭 이더넷 네트워크(AFDX, 산업용 및 자동차용 이더넷)의 타이밍 분석 툴에 전용한 산업용 툴이다.^[10]
네트워크 미적분 해석기는 온라인(min,+) 통역이다.
WOPANets는 네트워크 미적분학 기반 분석과 최적화 분석을 결합한 학문적 도구다.^[11]
DelayLyzer는 Profinet 네트워크의 한계를 계산하도록 설계된 산업 도구다.^[12]
데보라는 FIFO 네트워크에 전념하는 학문적 도구다.^[13]
NetCalBounds는 블라인드 & FIFO 탠덤 네트워크를 위한 학문적 도구다.^[14]^[15]
NCBunds는 BSD 3-Clause License에 따라 발행된 Python의 네트워크 미적분 도구다.그것은 속도 지연 서버와 토큰 버킷 도착 곡선을 고려한다.그것은 주기적인 토폴로지를 포함한 모든 토폴로지를 처리한다.^[16]
SIEMENS Network Planner (SINETPlan)^[17]는 PROPIENT 네트워크의 설계를 돕기 위해 네트워크 미적분학을 사용한다.

이벤트

WoNeca 워크샵은 네트워크 미적분학 워크숍이다.네트워크 미적분학 이론에 관심이 있는 연구자뿐 아니라 기존 결과를 새로운 응용에 적용하고자 하는 연구자를 모아 2년마다 조직한다.워크숍은 또한 응용 대기열 모델에 관심이 있는 연구자들에게 네트워크 미적분 이론을 홍보하는 역할을 한다.

EPFL이 주최하는 WoNeCa6는 2022년 9월 8일과 9일 스위스 로잔에서 열릴 예정이다.프레젠테이션을 받으려면 여기를 클릭하십시오.
WoNeCa5는 2020년 10월 9일 COVID-19 대유행으로 사실상 개최되었다.
WoNeCa4는 2018년 2월 28일 독일 얼랑겐에서 열린 제19차 국제 GI/ITG 컴퓨팅 시스템 측정, 모델링 및 평가에 관한 회의(MMB2018)와 연계하여 조직되었다.
WoNeca3는 2016년 4월 6일 독일 뮌스터에서 MMB & DFT 2016 컨퍼런스의 일환으로 개최되었다.
WoNeCa2는 2014년 3월 19일 독일 밤베르크에서 열린 MMB & DFT 2014 컨퍼런스 내에서 개최되었다.
WoNeCa1은 카이저슬라우테른 대학이 주최하고 2012년 3월 21일 독일 카이저슬라우테른에서 MMB2012의 일환으로 개최되었다.

2018년에는 제30회 국제 텔레트라펙 회의(ITC 30)의 일환으로 오스트리아 빈에서 네트워크 미적분 및 응용에 관한 국제 워크숍(NetCal 2018)이 개최되었다.

참조

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