멀티스케일 그린의 기능

Multiscale Green's function

멀티스케일 그린의 함수(MSGF)는 수학 방정식을 푸는 고전적 그린의 함수(GF) 기법의[1] 일반화·확장판이다. MSGF 기법의 주요 적용 분야는 나노물질 모델링이다.[2] 이 물질들은 몇 나노미터 크기의 매우 작다. 나노물질의 수학적 모델링은 특별한 기술을 필요로 하며, 현재 과학의 독립된 분야로 인정받고 있다.[3] 나노물질의 기계적, 물리적 특성을 연구하기 위해 적용된 정적 또는 시간에 의존하는 힘에 반응하여 결정에서 원자의 변위를 계산하는 수학적 모델이 필요하다. 나노물질에 대한 모델의 한 가지 특정한 요구사항은 모델이 다중분할이 되어야 하며 서로 다른 길이 척도의 매끄러운 연결을 제공해야 한다는 것이다.[4]

그린의 함수(GF)는 원래 1828년 영국의 수학 물리학자 조지 그린이 연산자 방정식의 해법에 대한 일반적인 기법으로 공식화한 것이다.[1] 그것은 거의 지난 200년 동안 수학 물리학에서 광범위하게 사용되어 왔고 다양한 분야에 적용되었다.[1][5] 많은 신체 이론과 라플라스 방정식과 같은 GF의 일부 적용에 대한 검토는 위키백과에서 이용할 수 있다. GF 기반 기법은 음운,[6] 전자 밴드[7] 구조, 탄성계 등의 재료에서 다양한 물리적 공정을 모델링하는 데 사용된다.[5]

나노물질 모델링을 위한 MSGF 방법의 적용

MSGF 방법은 나노물질의 수학적 모델링을 위한 비교적 새로운 GF 기법이다. 수학적 모델은 기계적 특성을 시뮬레이션하기 위해 적용된 힘에 대한 재료의 반응을 계산하는 데 사용된다. MSGF 기법은 나노물질 모델링에서 다양한 길이 척도를 연결한다.[2][8] 나노물질은 원자성 치수로 나노미터의 길이 눈금에서 모델링할 필요가 있다. 예를 들어, 폭이 약 5나노미터인 실리콘 나노와이어는 폭이 10~12개의 원자만 포함하고 있다. 또 다른 예는 그래핀과[9] 많은 새로운 2차원(2D) 고체들이다.[10] 이 새로운 물질들은 한 두 개의 원자 두께일 뿐이기 때문에 얇은 두께에 있어서 궁극적인 것이다. 멀티스케일 모델링은 그러한 재료의 특성이 원자성 배열의 불완전성 및 전체 치수에 의해 결정되기 때문에 필요하다.[2][4]

MSGF 방법은 원자성 척도에서 적용된 힘에 대한 물질의 반응을 거시적 척도에서 반응에 연결한다는 점에서 다중 척도다. 고형물의 연속체 모델을 사용하여 거시적 척도에서 물질의 반응을 계산한다. 연속체 모델에서 고체의 이산적 원자 구조는 연속체로 평균화된다. 나노물질의 특성은 원자성 구조뿐만 아니라 전체 치수에 민감하다. 그들은 또한 그들이 내장된 호스트 재료의 거시적인 구조에도 민감하다. MSGF 방법은 그러한 복합 시스템을 모델링하는 데 사용된다.

MSGF 방법은 결원, 중간 또는 이물질 원자와 같은 격자 결함을 포함하는 결정의 거동을 분석하는 데도 사용된다. 이러한 격자 결함에 대한 연구는 그들이 재료 기술에서 역할을 하기 때문에 흥미롭다.[11][12] 격자 내 결함의 존재는 숙주 원자를 원래 위치에서 치환하거나 격자가 왜곡된다. 이 예는 그림 1에 1D 격자의 예와 같다. 결점 근처의 이러한 왜곡을 계산하기 위해서는 원자성 척도 모델링이 필요한 반면,[13][14] 연속체 모델은 결점으로부터 멀리 떨어진 왜곡을 계산하기 위해 사용된다. MSGF는 이 두 척도를 매끄럽게 연결한다.

그림 1 – 완전한 번역 대칭을 가진 1차원 격자. 원은 원자 위치를 나타낸다. 상단 – 모든 원자가 동일한 완전 격자, 하단 – 격자 단일 결함을 포함하는 격자. L=0의 원자는 격자 왜곡을 일으키는 이물질 원자로 대체된다. L=0과 L=1에서 원자의 간격은 a에서 a1로 변경된다.

나노 물질에 대한 MSGF

나노물질의 MSGF 모델은 재료의 다중분할뿐만 아니라 다중분할도 설명한다.[8] 1973년 영국 하웰 원자력연구소(Atomic Energy Research Institute Harwell)에서 처음 공식화한 격자통계학 그린의 함수(LSGF) 방식의 연장선이다.[11][15] 문헌에서는[16][17] Tewary 방법이라고도 한다. LSGF 방법은 다중문자 시스템을 모델링하기 위한 분자역학[18](MD) 방법을 보완한다. LSGF 방식은 Born von Karman(BvK) 모델의[6][19] 사용을 기반으로 하며 다른 격자 구조와 결함에 적용할 수 있다.[11][17][20] MSGF 방식은 LSGF 방식의 확장판으로 많은 나노소재와 2D 소재에[2] 적용됐다.

원자성 눈금에서 결정체나 결정체는 기하학적 격자 위의 이산 위치에 위치한 상호작용 원자의 집합으로 표현된다.[19] 완벽한 결정체는 규칙적이고 주기적인 기하학적 격자로 이루어져 있다. 완벽한 격자에는 번역 대칭이 있는데, 이는 모든 단위 세포가 동일하다는 것을 의미한다. 무한하다고 가정되는 완벽한 주기율 격자에서는 모든 원자가 동일하다. 평형상태에서 각 원자는 격자 부지에 있는 것으로 가정한다. 다른 원자에 의한 원자의 힘은 단지 상쇄되기 때문에 각 원자의 순력은 0이다. 이 조건들은 원자가 평형상태에서 이탈하는 왜곡된 격자 속에서 분해된다.[15] 격자 왜곡은 외부에서 가해지는 힘에 의해 발생할 수 있다. 격자의 결함을 도입하거나 평형 구성을 방해하고 격자 부위의 힘을 유도하는 원자를 치환함으로써 격자 또한 왜곡될 수 있다. 이것은 그림 1에 나와 있다. 수학적 모델의 목적은 원자 변위의 결과 값을 계산하는 것이다.

MSGF 방법의 GF는 격자의 총 에너지를 최소화하여 계산한다.[15] 다음과 같은 조화 근사치에서 원자 변위에서의 무한 테일러 시리즈의 형태로 격자의 잠재적 에너지

여기서 L과 L′는 원자에 라벨을 붙이고, a와 b는 데카르트 좌표를 나타내며, u는 원자 변위를 나타내며, -f와 K는 테일러 시리즈의 첫 번째와 두 번째 계수다. 에 의해[1] 정의된다.

그리고

파생상품을 영(0) 변위치로 평가한다. 부정적인 기호는 편의를 위해 f의 정의에 도입된다. 따라서 f(L)는 원자 L에서 힘을 나타내는 3D 벡터다. 그것의 세 가지 데카르트 구성 요소는 a = x, y 또는 z인 fa(L)로 표시된다. 유사하게 K(L,L')는 3x3 행렬로, L과 L'에서 원자 사이의 힘 상수 행렬이라고 불린다. 그것의 9개 요소는 a, b = x, y 또는 z에 대해 Kab(L, LR)로 표시된다.

평형상태에서 에너지 W는 최소값이다.[8] 따라서 각 u에 대한 W의 첫 번째 파생상품은 0이어야 한다. 이는 Eq. (1)로부터 다음과 같은 관계를 제공한다.

직접 대체를 통해 Eq. (4)의 해법은 다음과 같이 쓸 수 있음을 알 수 있다.

여기서 G는 다음과 같은 반전 관계에 의해 정의된다.

Eq. (6)에서 Δ(m,n)는 두 개의 이산형 변수 m과 n의 이산형 델타 함수다. 연속형 변수에 대한 Dirac 델타 함수의 경우와 유사하게, m = n이면 1로, 그렇지 않으면 0으로 정의된다.[6]

방정식 (4)–(6)은 다음과 같이 행렬 표기법으로 작성할 수 있다.

위 방정식의 행렬 K와 G는 3N × 3N 제곱 행렬이고 u와 f는 3N 차원 기둥 벡터인데 여기서 N은 격자 내 원자의 총 수입니다. 매트릭스 G는 다중문자 GF로 격자통계학 그린의 함수(LSGF)로 일컬어지는데,[15] G가 알려지면 모든 원자에 대한 원자 변위를 Eq. (8)를 이용하여 계산할 수 있다.

모델링의 주요 목표 중 하나는 적용된 힘 f에 의해 야기된 원자성 변위 u의 계산이다. [21] 대체품은 원칙적으로 Eq. (8)에 의해 주어진다. 단, 3N x 3N인 매트릭스 K의 역전을 수반한다. 실제 관심사에 대한 계산에는 N ~ 10,000이 포함되지만 보다 현실적인 시뮬레이션을 위해서는 100만이 바람직하다. 이와 같은 큰 행렬의 역전은 계산적으로 광범위하며, u의 계산을 위해서는 특별한 기술이 필요하다. 정기적인 정기 격자의 경우 LSGF는 그러한 기법 중 하나이다. 푸리에 변환의 관점에서 G를 계산하는 것으로 구성되며, 포논 GF의 계산과 유사하다.[6]

LSGF 방법은 이제 MSGF 방법에 멀티스케일 효과를 포함하도록 일반화되었다.[8] MSGF 방식은 길이 척도를 매끄럽게 연결할 수 있다. 이 속성은 GF와 MD 방식을 결합한 하이브리드 MSGF 방식을 개발하는 데 사용됐으며 반도체에서 양자점 등 대칭이 적은 나노클로저를 시뮬레이션하는 데 사용됐다.[22]

결점이 없는 완벽한 격자를 위해 MSGF는 연속체 모델을 통해 LSGF의 원자성 척도를 거시적 척도와 직접 연결한다. 완벽한 격자는 완전한 번역 대칭을 가지고 있기 때문에 모든 원자들은 동등하다. 이 경우 원자는 원자로 선택할 수 있으며 G(L,L')는 다음과 같이 정의된 단일 지수(L'-L)[6]로 표현할 수 있다.

R(L)의 큰 값에 대해 Eq.(10)를 만족하는 G(L)의 점근 한계치는 다음과 같다[8].

여기서 x = R(L)은 원자 L의 위치 벡터, Gc(x)는 연속체 그린의 함수(CGF)로 탄성 상수의 관점에서 정의되어 매크로스케일에서 기존 벌크 재료의 모델링에 사용된다.[5][11] Eq. (11)에서 O(1/xn)는 순서 1/xn 이상의 항에 대한 표준 수학 표기법이다. Gc(x)의 크기는 O(1/x2)이다.[21] 이 방정식의 LSGF G(0,L)는 O(1/x4) 항이 점차 작아지고 무시해도 될 만큼 충분히 큰 x를 위해 CGF까지 부드럽고 자동으로 감소한다. 이것은 원자성 길이 척도와 거시적 연속체 척도의 원활한 연계를 보장한다.[8]

방정식 (8)과 (9)은 Eq. (11)가 제공한 제한 관계와 함께 MSGF에 대한 기본 방정식을 형성한다.[8] 방정식(9)은 원자성 척도에서 유효한 LSGF를 제공하고 Eq.(11)은 이를 CGF와 연관시켜 거시 연속체 척도에서 유효하다. 이 방정식은 또한 LSGF가 CGF까지 매끄럽게 감소한다는 것을 보여준다.

나노물질의 결함과 불연속성의 영향을 계산하기 위한 MSGF 방법

격자에 결함이 있으면 그 번역 대칭이 깨진다. 따라서 G를 단일 거리 변수 R(L)로 표현할 수 없다. 따라서 Eq. (10)는 더 이상 유효하지 않으며, 원활한 연결에 필요한 LSGF와 CGF 간의 대응은 중단된다.[15] 이러한 경우 MSGF는 다음 절차를 사용하여 격자와 연속체 스케일을 연결한다.[15]

p가 결함으로 인한 행렬 K의 변화를 나타내는 경우 결함 있는 격자에 대한 힘 상수 행렬 K*는 다음과 같이 기록된다.

Eq. (9)의 완벽한 격자의 경우처럼, 해당 결함 GF는 전체 K* 행렬의 역행으로 정의된다. Eq. (12)를 사용한 후 결점 LSGF에 대한 다이슨의 방정식을 다음과 같이 유도한다.[15]

MSGF 방법은 매트릭스 파티셔닝 기법이나 더블 푸리에 변환을 이용하여 G*에 대한 Eq.(13)를 푸는 것으로 구성된다.[6]

G*가 알려지면 변위 벡터는 Eq. (8)와 유사한 다음과 같은 GF 방정식에 의해 주어진다.

u= G* f (14)

방정식 (14)은 원하는 해법, 즉 힘 f에 의해 야기되는 원자 변위 또는 격자 왜곡을 제공한다. 단, Eqs. (10)와 (11)는 결점 LSGF G*에 유효하지 않기 때문에 격자와 연속체 모델의 연계는 아래 설명된 정확한 변환을 사용하여 달성된다.[8]

Eq.(13)를 사용하여 Eq.(14)는 다음과 정확히 동등한 형식으로 작성할 수 있다.

u = Gf + G p G* f . (15)

Eq. (14)를 다시 Eq. (15) 오른쪽에 사용하면 다음과 같은 효과를 얻을 수 있다.

u = G f* (16)

어디에

f* = f + p u. (17)

Eq. (17)는 Eqs. (14)와 (16)가 정확히 동등한 유효 힘 f*을 정의한다는 점에 유의한다.

방정식 (16)은 결함이 있는 격자에도 완벽한 LSGF인 G의 관점에서 원자 변위 u를 나타낸다. 결함의 영향은 정확히 f*에 포함되어 있다. LSGF G는 f 또는 f*와 독립적이며 Eq. (11)에 제시된 바와 같이 점증적이지 않고 부드럽게 CGF로 감소한다. 유효력 f*는 필요한 경우 독립적인 방법을 사용하여 별도의 계산으로 결정할 수 있으며, G에 격자형 통계학 또는 연속체 모델을 사용할 수 있다. 이는 실리콘 격자에서 게르마늄 퀀텀 점을 시뮬레이션하기 위한 MSGF와 MD를 결합한 하이브리드 모델의 기본이다.[22]

방정식 (16)은 MSGF 방법의 마스터 방정식이다.[2][8] 그것은 정말 다중점이다. 모든 이산적 원자론적 기여는 f*에 포함되어 있다. 그린의 함수 G는 독립적으로 계산할 수 있으며, 이것은 나노물질의 경우 완전 원자성적일 수 있고, 필요에 따라 재료 시스템의 표면과 인터페이스를 설명하는 매크로스케일의 경우 부분적으로 또는 완전 연속성이 될 수 있다.

참조

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