다단계 접근법

가우스 평활에 의해 얻은 신호의 척도 공간 표현은 다수의 특수 속성, 척도 공간 공리를 만족시켜, 다 척도 표현의 특별한 형태로 만든다.그러나 컴퓨터 비전, 이미지 처리 및 신호 처리 분야, 특히 웨이블렛의 개념에는 다른 유형의 "다단계 접근법"도 있다.이 글의 목적은 다음과 같은 몇 가지 접근법을 설명하는 것이다.

1차원 신호에 대한 축척공간 이론

1차원 신호의 경우, 콘볼루션 수술에 의해 새로운 국부극단 또는 제로크로싱이 생성될 수 없음을 보장하는 연속적이고 이산적인 커널에 대해 꽤 잘 발달된 이론이 존재한다.^[1]연속 신호의 경우 모든 스케일 공간 커널을 다음과 같은 원시 스무딩 커널 집합으로 분해할 수 있음을 유지한다.

• ${\displaystyle \mathrm{가우스}}$ 커널 : g${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{2\mathrm{}}}{}}$ ${\displaystyle \frac{\sqrt{\pi }}{}}$ t ${\displaystyle \exp \frac{}{}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$/ 2 ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle$ g$(x,t)={\frac {1}{\sqrt {2\pi$ t$}\ex$$({-$$x^{2$$}/t})$ 여기서 t>
• 잘린 지수 커널(s-평면에 하나의 실제 극이 있는 경우):

${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{h<img\; alt="h(x)=\backslash exp(\{-ax\})"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/8d4819e8c48fc27fcb31a92d4b85d3e803860114"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:17.306ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="32">}}$${\displaystyle (}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle }$- x${\displaystyle }$) ${\displaystyle h(x)=\expx-ax},$ 그$$ 밖의 경우 $xpplaystyle x\geq 0}),$ > 0$({\displaystyle a>0})$

${\displaystyle }$${\displaystyle \mathrm{h<img\; alt="h(x)=\backslash exp(\{bx\})"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b73226e8e55ed742da19092883882f1a65a072f7"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:15.265ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="44">}(}$ ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle (b}$ x${\displaystyle }$) ${\displaystyle h(x)=\expbx},$ 그$$ 밖의 경우 0( > 0$${\$displaystyle x\leq$0}), 0(b> ${\displaystyle b>0$

• 번역,
• 재분배출

이산 신호의 경우 사소한 변환 및 재분산까지 이산 스케일 공간 커널을 다음과 같은 원시 작업으로 분해할 수 있다.

• 이산 가우스 커널

${\displaystyle T(n,t)=$$I_{n}(\alpha t)}$ 여기서$$ , > ${\displaystyle \alpha ,t>0}$ 여기서 ${\displaystyle {In}_{}}$ ${\$은(는) 정수 순서의 수정된 Besel 함수,

• 폼의 선형 평활에 해당하는 일반화된 이항 커널

${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ t ( x${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle p}$ f i ${\displaystyle {}_{}}$ ( ${\displaystyle x_{}}$) ${\displaystyle +q_{}}$ f ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ( ${\displaystyle x_{}}$- ${\displaystyle 1}$) $displaystyle f_{out}(x)={in}+qf_{in$}(x-1) $여기$서 p$$, > ${\displaysty$ p,$q>0}$

${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle o}$ t${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= p ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle f_{out}(x)={in}+qf_{$in}($x+$1) 여기서$$ p ,$q$> $0$${\displaysty p,q>0$

• 폼의 선형 평활에 해당하는 1차 재귀 필터

${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= f ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ t (${\displaystyle {}_{}\mathrm{x}}$- ${\displaystyle 1}$) ${\displaystyle f_{out}(x)=f_{in}++\display f_{out}(x-1$) 여기서$$ {\$displaystystystyle \f$>$0}$

${\displaystyle f_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle u_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$= f ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle o_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathrm{x}}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle f_{out}(x)=f_{in}+\f_{out}(x+1)$여기서$$ > ${\displaysty \iecut >0$

• 단면 포아송 커널

${\$$}}}({\displaystyle n\geq 0})($$여기$서 ${\displaystyle \mathrm{t}}$${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t\geq$ 0$})$

${\$$}}}{{\displaystyle n\leq$ 0$}$의 $경우{\displaystyle }$ $t{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle t\geq$ 0$}$.

이 분류에서 볼 때 연속적인 반그룹 구조가 필요한 것은 연속적인 척도 파라미터를 가진 척도 공간 커널의 세 종류, 즉 연속 신호의 척도 공간을 형성하는 가우스 커널, 이산 신호의 척도 공간을 형성하는 이산 가우스 커널과 시간 간격 포이 커널이 있을 뿐이다.이산 시간에 걸쳐 시간적 축척 공간을 형성하는 sson 커널.반면에 우리가 지속적인 반그룹 구조를 희생한다면, 더 많은 선택지가 있다.

이산 신호의 경우 일반화된 이항 커널을 사용하면 피라미드의 평활 작업을 정의할 수 있는 공식적인 근거를 제공한다.임시 데이터의 경우, 단면 절단 지수 커널과 1차 재귀 필터는 효율적인 수치 구현을 가능하게 하고 미래에 대한 접근 없이 시간에 따른 인과관계를 존중할 수 있는 시간-폐경 척도 공간을 정의하는 방법을 제공한다.또한 1차 재귀 필터는 보다 약한 의미에서 일부 축척 공간 속성을 보존하는 가우스 커널에 대한 재귀 근사를 정의하기 위한 프레임워크를 제공한다.^[4][5]

참고 항목

• 축척 공간
• 공간 확장 구현
• 축척 공간 분할

참조