혼합 볼륨

수학에서 보다 구체적으로 볼록한 기하학에서 혼합 볼륨은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ - 차원$$ 공간에 있는 볼록체의 r ${\displaystyle r}$ -tuple에 음수가 아닌 숫자를 연관시키는 방법이다.이 숫자는 신체의 크기와 형태, 그리고 서로에 대한 상대적 방향에 따라 달라진다.

정의

$K{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$K ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle K_{}}$ r ${\$를 R n ${\$의 볼록체로 하고$$ 기능을$$ 고려한다.

${\displaystyle f(\lambda _{1},\lambda _{r}=\mathrm {Vol}_{n}(\lambda _{1}+\lambda _{r}K_{r}),\qqd \lambda \lambda _{i}geq 0,},}$

$여기$서 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 n ${\displaystyle n}$ -dimension$$ volume을 의미하며$$, 그 주장은 스케일링 볼록체 ${\$의 민코스키 합이다$.$ $따라서{\displaystyle }$$$f$${\$displaysty$ f$}$는 n$}$의 동종 다항목이 $n{\displaystyle }$}이라는 것을 보여줄 수 있다$.$라고 쓸 수 있다.

${\displaystyle f(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{r})=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}=1}^{r}V(K_{j_{1}},\ldots ,K_{j_{n}})\lambda _{j_{1}}\cdots \lambda _{j_{n}},}$

$여기$서 V ${\displaystyle V}$ 함수는 대칭이다$$.For a particular index function ${\displaystyle j\in \{1,\ldots ,r\}^{n}}$, the coefficient ${\displaystyle V(K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}})}$ is called the mixed volume of ${\displaystyle K_{j_{1}},\dots ,K_{j_{n}}}$.

특성.

• 혼합 볼륨은 다음 세 가지 속성에 의해 고유하게 결정된다.

1. ${\displaystyle V}$( ${\displaystyle K}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$K${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{Vol}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ (${\displaystyle {}_{}}$K${\displaystyle }$) ${\displaystyle V(K,\dots ,K)={\text{Vol}_{n}(K$
2. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$은(는) 인수에서 대칭이다.
3. ${\displaystyle V}$ is multilinear: ${\displaystyle V(\lambda K+\lambda 'K',K_{2},\dots ,K_{n})=\lambda V(K,K_{2},\dots ,K_{n})+\lambda 'V(K',K_{2},\dots ,K_{n})}$ for ${\displaystyle \lamb$$da ,\da '\geq 0$

• The mixed volume is non-negative and monotonically increasing in each variable: ${\displaystyle V(K_{1},K_{2},\ldots ,K_{n})\leq V(K_{1}',K_{2},\ldots ,K_{n})}$ for ${\displaystyle K_{1}\subseteq K_{1}'}$.
• 알렉산드르 다닐로비치 알렉산드로프와 베르너 펜첼이 발견한 알렉산드로프-펜첼 불평등은 다음과 같다.

${\displaystyle V(K_{1},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})\geq {\sqrt {V(K_{1},K_{1},K_{3},\ldots ,K_{n})V(K_{2},K_{2},K_{3},\ldots ,K_{n})}}.}$

볼록한 신체에 대한 브룬-밍코프스키 불평등과 민코프스키의 첫 불평등과 같은 수많은 기하학적 불평등은 알렉산드로프-펜첼 불평등의 특별한 경우들이다.

퀘르매스 적분자

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$을(를) 볼록한 몸체로 하고$$ B${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ n${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ n ${\$R$} ^{n}}}}$을 단위 반지름의 유클리드 볼로 한다$$.혼합 볼륨

${\displaystyle W_{j}(K)=V({\overset{n-j{\text{text}}}}{\overbrace {K,K,\ldots,K}}}}}{\overbrace {j{\text}}}{\overbrace {B,\ldots}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 j-th Quermassintal이라고 불린다$.$^[1]

혼합 볼륨의 정의는 Steiner 공식(Jakob Steiner의 이름을 따서 명명)을 산출한다.

${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}}}}W_{j}(K)t^{j}.}$

고유량

$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 j-th 내인성 체적은 quermassinteal의 다른 정규화로서$$ 정의된다.

${\displaystyle V_{j}(K)={\binom {n}{j}}{\frac {W_{n-j}(K)}{\kappa _{n-j}}},}$ or in other words ${\displaystyle \mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n$$}V_{j}(K)\,\mathrm {Vol} _{n-j}(tB_{n-j}).$$}$

여기서 ${\displaystyle {\mathrm{\kappa n}}_{}}$- j${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {\text{Vol}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle j_{}}$(${\displaystyle B_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$- j${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle \kappa _{n-j}={\text{Vol}_{n-j}(B_{n-j})$는${\displaystyle }$(${\displaystyle n}$- ${\displaystyle j}$) ${\displaystystyle (n-j})$ -차원$$ 단위 공의 볼륨이다.

하드와이거의 특성화 정리

Hadwiger의 정리는 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$$}}$의 경직된 운동에서 불변하는 Rn ${\$}}}}}의 볼록체들에 대한 모든 평가는 Quermassintegrals(또는 동등하게)의 선형 결합이라고$$ 주장한다.^[2]

메모들

외부 링크

Burago, Yu.D. (2001) [1994], "Mixed volume theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press