마이어 세트

수학에서 마이어 세트 또는 거의 격자무늬는 유클리드 평면이나 고차원 유클리드 공간에 있는 점의 비교적 밀도가 높은 X 세트로, 민코프스키 자체와의 차이가 균일하게 분리되어 있다.마이어 집합은 몇 가지 등가 특성화를 가지고 있다; 그것들은 이브 마이어의 이름을 따서 명명되었는데, 그는 디오판틴 근사치의 맥락에서 그것들을 소개하고 연구했다.오늘날 마이어 세트는 퀘이시크리스탈의 수학적 모델로 가장 잘 알려져 있다.그러나 마이어의 작품은 퀘이시크리스탈의 발견에 10년 이상 앞서며 전적으로 숫자의 이론적 질문에 의해 동기부여가 되었다.^[1][2]

정의 및 특성화

미터법 공간의 부분집합 X는 X의 모든 지점이 X의 거리 r 내에 있는 숫자 r이 존재하는 경우 상대적으로 밀도가 높으며, X의 두 지점이 서로 거리 ε 내에 있지 않는 숫자 ε이 존재한다면 균일하게 이산적이다.비교적 밀도가 높고 균일하게 분리된 세트를 델론 세트라고 한다.X가 벡터 공간의 부분 집합일 때, 그것의 민코프스키 차이 X - X는 X의 원소 쌍의 차이의 {x - y x, y in X}의 집합이다.^[3]

이러한 정의에서 마이어 집합은 X - X가 균일하게 이산된 비교적 밀도 높은 집합 X로 정의될 수 있다.동등하게 X - X가 Delone인 델론 집합 ^[1]또는 X - X ⊂ X + F의^[4] 유한 집합 F가 존재하는 델론 집합 X이다.

일부 추가 등가 특성화에는 집합이 포함된다.

${\displaystyle X^{\epsilon }=\{y\mid x\cdot y-1 \leq \varepsilon{\text{}}모든 }x\in X\}}$

주어진 X와 ε에 대해 정의되고 근사치(ε)는 격자의 역수 격자 정의에 대한 정의.비교적 밀도가 높은 세트 X는 만약의 경우 및 만약의 경우만 마이어 세트다.

• 모든 ε > 0에 대해 X는^ε 비교적 밀도가 높거나 동등하다.
• X가^ε 비교적 밀도가 높은 0 < ε < 1/2인 ε이 존재한다.^[1]

벡터 공간의 추가적으로 닫힌 부분집합 문자는 복잡한 숫자의 평면에서 세트를 단위 원에 매핑하는 함수로서, 두 원소의 합이 그들 이미지의 곱에 매핑된다.세트 X는 X의 첨가제 폐쇄에 대한 모든 문자 χ과 ε > 0마다 전체 공간에 ε-반복되는 연속적인 문자가 존재한다면 조화로운 집합이다.그렇다면 비교적 밀도가 높은 세트 X는 조화를 이루어야만 마이어 세트다.^[1]

예

마이어 세트에는 다음이 포함된다.

• 격자의 점
• 롬빅 펜로즈 타일링의^[5] 정점
• 비어 있지 않은 유한한^[4] 세트와 함께 또 다른 마이어 세트의 민코스키 합
• 다른 마이어 집합의^[6] 비교적 밀도가 높은 하위 집합

참조