카이 제곱 통계량 감소

이 글은 대부분의 독자들이 이해하기에는 너무 기술적인 것일 수도 있다. 기술 세부 정보를 제거하지 않고 비전문가가 이해할 수 있도록 개선하십시오.(2021년 4월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법 및 시기 학습)

통계에서 감소된 카이-제곱 통계량은 적합성 검정에 광범위하게 사용된다.동위원소 데이트에서^[1] 평균 제곱 가중 편차(MSWD)라고도 하며 가중 최소 제곱의 맥락에서 단위 중량의 분산이라고도 한다.^[2][3]

제곱근을 회귀 표준 오차, ^[4]회귀의 표준 오차 또는 방정식의 표준 오차라고^[7] 한다(^[5][6]일반 최소 제곱#축소된 카이-제곱 참조).

정의

자유도당 카이-제곱으로 정의된다.^{[8][9][10][11][12][13][14][15]}

${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}={\frac {\chi ^{2}}:{\nu },}$

여기서 카이-제곱은 편차 제곱의 가중 합이다.

${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i}{{i}}{\frac {(O_{i}-C_{i})^{2}}:{\sigma _{i}^{2}}:$

입력값: $분산{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$ 관측치 O 및 계산된 데이터 C.^[8]$자유$도 ,${\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \nu =n-m}$은$($는) 관측치 n에서 적합 모수 m의 수를 뺀 값이다.

가중 최소 제곱에서 정의는 종종 행렬 표기법으로 다음과 같이 기록된다.

${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}={\frac {r^{\mathrm {T}{}Wr}{\nu }},}$

여기서 r은 잔차의 벡터, W는 가중 행렬로, 관측치의 입력(대각형) 공분산 행렬의 역행렬이다.W가 대각선이 아닌 경우 일반화 최소 제곱이 적용된다.

일반적인 최소 제곱에서 정의는 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}={\frac {RSS}{\nu }},}$

${\displaystyle RSS=\sum r^{2},}$

여기서 분자는 잔차 제곱합(RSS)이다.

토론

경험 법칙으로서 측정 오류의 분산이 priori로 알려져 있을 때 $\chi {\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2 ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}\g1}$은 모델 적합이 불량함을 나타낸다$$. > ${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}>1}$은 적합치가 데이터를 완전히 캡처하지 않았거나 오차 분산이 과소평가되었음을 나타낸다.원칙적으로 ${\displaystyle {\chi }_{}^{}}$ ν ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\$_{\$nu$}^{$2}}$$${\$displaystyle 1}$ 주위에$$ 있는 값은 관측치와 추정치의 일치 범위가 오차 분산과 일치함을 나타낸다$$. 2< 1 ${\displaystyle \chi _{\nu }^{2}<1}$는 모형이 데이터를 "과대 적합"하고 있음을 나타낸다. 즉, 모형이 노이즈를 부적절하게 적합시키고 있거나 오차 분산이 과대 추정되었다.^[16]

측정 오차의 분산이 부분적으로만 알려진 경우, 감소된 카이-제곱은 후방으로 추정된 보정으로 작용할 수 있다.

적용들

지리학

지리학에서 MSWD는 내부 및 외부 재현성의 상대적 중요도를 고려하는 적합도의 척도로 동위원소 데이트에서 가장 일반적인 용도가 사용된다.^{[17][18][1][19][20][21]}

일반적으로 다음과 같은 경우:

MSWD = 나이 데이터가 t(산술 평균 연령) 또는 로그(t)(기하 평균 연령) 공간의 일변량 정규 분포에 적합하거나 구성 데이터가 [log(U/He), log(Th/He)]-공간(중앙 연령)의 이변량 정규 분포에 적합한 경우 1이다.

관측된 산란이 분석 불확실성에 의해 예측된 산포보다 작을 경우 MSWD < 1.이 경우, 데이터는 "과소"되어 분석적 불확실성이 과대평가되었음을 나타낸다.

MSWD > 1은 관측된 산란이 분석 불확실성에 의해 예측된 산란을 초과하는 경우 입니다.이 경우, 데이터는 "과잉 분산"되어 있다고 한다.이러한 상황은 (U-Th)/He 지리학에서 예외가 아닌 규칙으로 동위원소 시스템에 대한 불완전한 이해를 나타낸다.(U-Th)/He 데이터의 과대산포를 설명하기 위한 몇 가지 이유가 제시되었는데, 여기에는 불균일하게 분포된 U-Th 분포와 방사선 손상이 포함된다.

종종 지리학자는 측정값 ${\displaystyle x_{}}$ i ${\$ $w_{i}$이$($가) ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ w_{i}이$$(가) $있고{\displaystyle {}_{}}$ 관련 오류 ${\displaystyle {{\sigma }_{}}_{}}$ x i ${\$이(가)가$$ 각 연령 결정에 대해$$ 결정된다.가중치에 관해서는 측정된 모든 연령에 동일한 가중치를 부여하거나, 그들이 나타내는 표본의 비율로 가중치를 부여할 수 있다.예를 들어 1차 측정에 표본의 3분의 2를 사용하고 2차 및 최종 측정에 3분의 1을 사용한 경우, 1차 측정에 2배의 가중치를 가할 수 있다.

연령 결정의 산술 평균은

${\displaystyle {\overline{x}={\frac {\sum _{i=1}^{{N}x_{n}}},}$

그러나 이 가치는 각 시대의 결정이 동일한 의미를 가지지 않는 한 오도될 수 있다.

각 측정값이 동일한 가중치 또는 유의성을 갖는다고 가정할 수 있는 경우, 분산에 대한 편향된 추정기와 불편함(또는 "표본"과 "인구") 추정기는 다음과 같이 계산된다.

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}}{N}}{\text{ and }}s^{2}={\frac {N}{N-1}}\cdot \sigma ^{2}={\frac {1}{N-1}}\cdot \sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}.}$

표준 편차는 분산의 제곱근이다.

한 연령의 개별적 결정이 동일한 유의성을 갖지 못할 경우 다음과 같이 "평균" 연령을 얻기 위해 가중 평균을 사용하는 것이 좋다.

${\displaystyle {\coverline{x}^{*}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{{n}x_{i}}}{\sum _{i=1}^{N}w_{i}}}}}}}.}$

편향된 분산 추정기는 다음과 같이 보일 수 있다.

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{{n}}(x_{i}-{\overline{x}^{*}^{2}}:{{i=1}^{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}},}$

라고 계산될 수 있는.

${\displaystyle \sigma ^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}^{2}\cdot \sum _{i=1}^{N}w_{i}-{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}{\big )}^{2}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}}}.}$

표본 분산에 대한 편중되지 않은 가중 추정기는 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\cdot {\sum _{i=1}^{N}w_{i}(x_{i}-{\overline {x}}^{*})^{2}}.}$

다시 말해, 해당 표준 편차는 분산의 제곱근이다.

표본 분산에 대한 편중되지 않은 가중 추정기는 다음과 같이 즉석에서 계산할 수도 있다.

${\displaystyle s^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}^{2}\cdot \sum _{i=1}^{N}w_{i}-{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}x_{i}{\big )}^{2}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}.}$

가중 편차(비가중 MSWD)의 비가중 평균 제곱은 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\text{MSWD}}_{u}={\frac {1}{{N-1}\cdot \sum \{i=1}^{N}{{n}}{\frac {(x_{i}-{\overline{x}}})^{2}}:{\sigma _{x_{i}}^{2}}.}$

유추에 의해 가중 편차(가중 MSWD)의 가중 평균 제곱은 다음과 같이 계산할 수 있다.

${\displaystyle {\text{MSWD}}_{w}={\frac {\sum _{i=1}^{N}w_{i}}{{\big (}\sum _{i=1}^{N}w_{i}{\big )}^{2}-\sum _{i=1}^{N}w_{i}^{2}}}\cdot \sum _{i=1}^{N}{\frac {w_{i}(x_{i}-{\overline {x}}^{*})^{2}}{(\sigma _{x_{i}})^{2}}}.}$

래쉬 분석

Rasch 모델에 기초한 데이터 분석에서 감소된 카이-제곱 통계량을 평균 제곱 통계량이라고 하며, 정보 가중치가 감소된 카이-제곱 통계량을 infit 평균 제곱 통계량이라고 한다.^[22]

참조