맥스웰 건설

검은색 곡선은 액체로 위상 전환을 수행할 수 있는 실제 가스의 압력-볼륨 위상 다이어그램에 있는 등축이다. 그것의 진동하는 중간 부분은 실제로 수평선으로 대체된다. 제거되는 두 개의 단조롭게 감소하는 부분은 측정 가능한 상태(과열된 액체, 과냉각된 가스)를 묘사하는 반면, 중간에서 상승하는 부분은 절대적으로 불안정하다. 수평선의 높이는 음영 영역 두 개가 같을 정도로 높다.

열역학적 평형에서 안정성에 필요한 조건은 $압력$ P $P$ 이(가) 볼륨 $V$ $V$ 과(와) 함께 증가하지 않는 $P$ 것이다 $V$ 이 기본 일관성 요건과 다른 변수 쌍에 대한 유사한 요구사항은 1차 위상 전환에 대한 분석 모델에서 위반되기도 한다. 가장 유명한 경우는 실제 가스에 대한 Van der Waals 방정식이다. 그림 1을 참조하십시오. 일반적인 등가스가 그려진 곳(검은 곡선). 맥스웰 건설은 이 결핍을 바로잡는 방법이다. 그림 1의 곡선의 감소하는 오른손 부분은 희석 가스를 나타내고, 왼쪽 부분은 액체를 나타낸다. 이 두 부분이 원활하게 결합된다면 그림 1의 중간(상승) 부분은 정확할 것이다. 즉, 시스템은 밀도가 잘 정의된 공간적으로 균일하게 유지된다는 것을 의미한다. 그러나 이런 일은 일어나지 않는다. 일정한 온도에서 일정한 양의 액체를 함유한 용기의 부피를 팽창시키면 액체의 일부가 끓고 계통은 잘 분리된 두 단계로 구성된다. 이 2상 공존은 부피가 계속 증가함에 따라 유지되지만, 압력은 일정하게 유지된다. 모든 액체가 증발하고 가스가 팽창하면 다시 감소한다. 따라서 등심부의 사인파 부분은 수평선(그림 1의 빨간색 선)으로 대체된다. 맥스웰 구조(또는 "동일한 면적 규칙")에 따르면 수평선의 높이는 그림 1의 두 녹색 영역이 같을 정도로 높다.

맥스웰 건설이 된 제임스 서점 맥스웰의 직접적인 인용: "이제 매체가 항상 동질적인 상태에서 가상의 BCDEF를 따라 B에서 F로 전달되고, 액체와 증기가 혼합된 형태로 FB를 따라 되돌아온다고 가정해 보자. 온도는 내내 일정했으므로 어떤 열도 작업으로 변형될 수는 없었다. 이제 작업으로 변환된 열은 BCD에 대한 FDE 영역의 초과로 표현된다. 따라서 주어진 온도에서 증기의 최대 압력을 결정하는 조건은 선 BF가 위와 아래의 곡선에서 동일한 영역을 차단하는 것이다."

이것은 네이처지의 제임스 서클 맥스웰 논문에서 판데르 발스 가스의 맥스웰 건설이라고 하는 것을 설명하는 수치를 나타낸 것이다.

증기 압력을 얻기 위한 입방체 해결

반 데르 발스 가스 방정식은 (축소된 변수를 사용하여) 로 확장할 수 있다.

v_{R}^{3}-\왼쪽({\frac {8)T_{R}}{p_{R}}+1\오른쪽){\frac {v_{R}^{2}}:{3}{{9v_{R}}{3p_{R}}}-{\frac {1}{1}{R}=0

어떤 형태인가.

v_{r}^{3}+a_{1}v_{r}^{2}+a_{2}v_{r}+a_{3}=0

이 큐빅 함수를 해결하기 위해 몇 가지 선행 용어를 정의한다.

a_{1}(T_{R},p_{R}=-{\frac {{\frac {8)T_{R}}{p_{R}}+1}{3}}}

a_{2}(p_{R}}={\frac {3}{p_{R}}}}}}}}

, 그리고

a_{3}(p_{R})=-{\frac {1}{p_{R}}}}

다음 사항을 규정할 수 있도록

\eta =a_{2}-{\frac {a_{1}^{2}}{3}}

, 그리고

{\displaystyle q=-\좌측 q={\frac {2}{27}a_{1}^{3}-{\frac {a_{1}a_{2}}:+a_{3}{3}}\오른쪽)

첫 번째 뿌리의 전구 형태는 다음과 같다.

{\displaystyle z_{1}={\sqrt {4\eta }{-3}}}\cos \좌측[{\frac {1}{3}}\cos ^{-1}\좌측 ^{3q}{{3q}}}}}{\frac {-3}}{eta }오른쪽)]

로 이어지는.

v_{r_{1}=z_{1}-{\frac {a_{1}:{3}

, 그리고

v_{r_{2}}={\frac {-z_{1}+{\sqrt{1}^{{1}^{2}-4(\eta +z_{1}^{1}}}}}}}{2}}-{\frac {a_{1}:{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

그리고 마침내

v_{r_{3}}={\frac {-z_{1}-{\sqrt {z_{1}^{1}^{2}-4(\eta +z_{1}^{1}}}}}}}{2}}-{\frac {a_{1}:{3}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

이 마지막 네 개의 방정식은 두 가지 변수 즉, 한 가지가 작용하고 있는 다른 것을 결정할 때 선택하는 온도와 압력에 따라 달라진다. 임의(그러나 합리적인) 선택된 값에서 시작하여 그 온도에서 맥스웰 시공(아래 참조)을 통해 $p=p_{\mathrm {eq} }$ $p=p_{V}$ 으로 p $p=p_{V}$ = $p=p_{V}$ = $p=p_{V}$ V ${\$ 또는 $p=p_{V}$ $p=p_{\mathrm {eq} }$ = $p=p_{\mathrm {eq} }$ $p=p_{\mathrm {eq} }$ $p=p_{\mathrm {eq} }$ ${\$ 을 얻으면서 그 값을 조정한다. 이 두 가지 변수를 손에 들고서 얻은 압력 값을 뿌리 방정식(위)으로 다시 대체하여 세 근을 얻을 수 있다.

맥스웰 구조는 방정식의 해법이 필요하다(두 개의 루프 아래의 영역을 서로 동등한 값과 반대 값으로 만드는 것으로 파악됨).

{\frac {8}T_{r}}{3}}\ln \left({\frac {3v_{r_{\ell }-1}{3v_{r_}1}{g:1}}-8)-8T_{r}\left({\frac {v_{r_{\ell }}}{3v_{r_{\ell }}-1}}-{\frac {v_{r_{g}}}{3v_{r_{g}}-1}}\right)+{\frac {6}{v_{r_{\ell }}}}-{\frac {6}{v_{r_{g}}}}=0

고정된 감소된 온도와 용액에 따라 선택한 변수에 따라 압력이 감소되고, 이는 감소된 증기 압력이 된다. 불행히도 이 방정식은 분석적으로 풀 수 없으며, 수치적 평가가 필요하다. 이 방정식의 첨자는 $\ell \equiv smallest$ $\ell \equiv smallest$ $\ell \equiv smallest$ $\ell \equiv smallest$ l $\ell \equiv smallest$ $\ell \equiv smallest$ $\ell \equiv small$ 이고 $\ell \equiv smallest$ $g\equiv largest$ a g g $g\equiv largest$ $g\equiv largest$ $g\equiv largest$ ${\displaysty g\equiv big}$ 이며, 이 뿌리 자체는 입방체의 두 루트를 사용해야 하는 것을 명확히 하기 위해 변경되었다 $g\equiv largest$ . 이러한 뿌리 자체는 (위) 앞의 방정식에 따라 달라지며, 축소된 프레스를 포함한다.상기와 같이 취급하는 요소와 온도

뿌리를 내리지 않는 대안적 접근법

일부 타이 라인과 등가선을 보여주는 반 데르 발스 유체에 대한 유사 3D p-v-T 다이어그램

판데르발스 유체의 맥스웰 시공

반데르 발스(van der Waals) 공존의 액체 가스 평형 위치, 즉 증기 압력 대 어금니 볼륨

p-v Isotherm에 불연속성이 있는 두 권에 해당하는 압력을 동일화함으로써 압력과 무관한 온도에 대한 표현을 얻는다.

T={\v_{3}{v_{g}^{2}}-{\frac {3}{v_{\ell }^{2}}:{\frac {8}{3v_{g-1}-{\frac}{8}{3v_{}-1}\1}오른쪽)}}

그래서 이전 방정식에서 온도를 제거할 수 있다.

그 해결책은 복잡하지만, 마침내

v_{g}={\frac {f(d)e^{d}+1}{3}}}

, 그리고

v_{\ell }={\frac {f(d)e^{-d}+1}{3}}}

어디에

f(d)={\frac {1}{1}:{2d}-e^{4d}+1}{d(e^{3d}+e^{d}-e^{d}}}}{3d}+e^{d}}}}}}}.

반데르발스액에 대한 유사 3D p $p_{r}-v_{r}-T_{r}$ - v $p_{r}-v_{r}-T_{r}$ - $p_{r}-v_{r}-T_{r}$ $p_{r}-v_{r}-T_{r}$ ${\$ 도표는 $p_{r}-v_{r}-T_{r}$ 첨부된 그림에 나와 있다. 자세한 내용은 코네티컷 대학의 강의, 88조, 93조, 95조, 특히 96조를 참조한다.^[2]

맥스웰 구조는 기체의 자유 에너지와 액체가 공존할 때 깁스가 같아야 한다는 조건에서 도출되는 경우가 드물다. 그러나 이 조건이 충족됨을 알 수 있다. $P$ $P$ 과 $P$ V $V$ 이 $V$ (가) 다른 쌍의 결합 변수로 대체되는 다른 열역학 시스템(예: 자기장과 자기화 또는 화학적 전위 및 입자 수)에도 기본적으로 동일하게 적용된다.

공통 접선 구조 및 레버 규칙

맥스웰 구조는 공통 접선 구조와^[3]^[4] 레버 규칙과 관련이 있다.^[5]

참고 항목

참조

^ 데이비드, 칼 W, "2015년 반 데르 발스 방정식" 화학 교육 자료. 종이 88. http://digitalcommons.uconn.edu/chem_educ/88
^ 코네티컷 대학교에서 판데르 발스 유체의 증기압을 찾는데 있어서 입방정식을 피하는 것.
^ Wales, David; Wales (2003). Energy Landscapes: Applications to Clusters, Biomolecules and Glasses. Cambridge University Press. p. 444. ISBN 9780521814157.
^ "First order phase transitions and the dynamics of spinodal decomposition". www.mhkoepf.de. Retrieved 2019-11-12.
^ Kondepudi, Dilip; Prigogine, Ilya (2014-12-31). Modern Thermodynamics: From Heat Engines to Dissipative Structures. John Wiley & Sons. ISBN 9781118371817.

Maxwell, J. C. (1875). "On the Dynamical Evidence of the Molecular Constitution of Bodies". Nature. 11 (279): 357–359. Bibcode:1875Natur..11..357C. doi:10.1038/011357a0.

Reichl, L. E. (2009). A Modern Course in Statistical Physics (3rd ed.). New York, NY USA: Wiley-VCH. ISBN 9783527407828.

[1] 데이비드, 칼 W, "2015년 반 데르 발스 방정식" 화학 교육 자료. 종이 88. http://digitalcommons.uconn.edu/chem_educ/88

[2] 코네티컷 대학교에서 판데르 발스 유체의 증기압을 찾는데 있어서 입방정식을 피하는 것.

[3] Wales, David; Wales (2003). Energy Landscapes: Applications to Clusters, Biomolecules and Glasses. Cambridge University Press. p. 444. ISBN 9780521814157.

[4] "First order phase transitions and the dynamics of spinodal decomposition". www.mhkoepf.de. Retrieved 2019-11-12.

[5] Kondepudi, Dilip; Prigogine, Ilya (2014-12-31). Modern Thermodynamics: From Heat Engines to Dissipative Structures. John Wiley & Sons. ISBN 9781118371817.

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증기 압력을 얻기 위한 입방체 해결

뿌리를 내리지 않는 대안적 접근법

공통 접선 구조 및 레버 규칙

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