마르코프 체인 중앙 한계 정리

무작위 과정의 수학 이론에서 마르코프 연쇄 중앙 한계 정리(CLT)는 확률 이론의 고전적 중심 한계 정리(ClT)와 다소 유사한 형태로 결론이 나지만 고전적 CLT의 분산이 가져가는 역할의 수량은 보다 복잡한 정의를 가지고 있다. 비엔에이메의 정체성의 일반적인 형태도 보라.

성명서

다음과 같이 가정합시다.

• 일부 집합의 임의 원소의 X$$ ${1\mathrm{}}_{}$,${}_{}{}_{}$ ${2\mathrm{}}_{}$,${}_{}{X\mathrm{}}_{}$ ${}_{}$,$$… ${\textstyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ 순서는 일정한 확률 분포를 갖는 마르코프 체인이다.
• ${프로세스}_{}$의 초기 분포, 즉 $X{}_{}$ 1 ${\$$1$}의 분포는 고정 분포로, $X{}_{}$ ${1\mathrm{}}_{}$,${}_{}$X ${2\mathrm{}}_{}$,${}_{}$X ${3\mathrm{}}_{}$,$$… ${\textstyle X_{1}, X_{2}, X_{3},\ldots }$이(가) 동일하게$$ 분포한다. 고전적인 중앙 한계 정리에서는 이러한 무작위 변수가 독립적이라고 가정할 수 있지만 여기서는 공정이 마르코프 속성을 가지고 있다는 더 약한 가정만을 가지고 있다.
• $g$ ${\textstyle g}$은(는) ( )<+ ${\textstyle \operatorname {var}(g(X_{1})<+\inflt.}$에 대한 일부(측정 가능한) 실제 값 함수다$$.

자, 자자

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\operatorname {E} (g(X_{1})),\\\sigma ^{2}&=\operatorname {var} (g(X_{1}))+2\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {cov} (g(X_{1}),g(X_{1+k})),\\{\widehat{\mu }_{n}&={\frac {1}{n}\sum _{k=1}^{ng(X_{k})\end{정렬}}}$

그리고 $나서$n → $\mathrm{\infty }$, ${\textstyle n\to \ft ,}$이(가) 있다$$^[1].

${\displaystyle {\hat {\mu }_{n}\trawth \operatorname {Normal} \left(\mu, {\frac, {\sigma ^{2}}{n}\오른쪽),}$

더 정확히 말하자면

${\displaystyle {\sqrt{n1}-\mu )}{\\xrightarrow {\mathcal {D}\\text{Normal}}}(0,\sigma ^{2}),}$

여기서 장식된 화살표는 분포의 수렴을 나타낸다.

몬테카를로 세팅

마르코프 체인 중앙 한계 정리는 특정 조건 하에서 일반 국가 공간 마르코프 체인의 기능성에 대해 보장될 수 있다. 특히 몬테카를로 설정에 초점을 맞춰 할 수 있다. MCMC(Markov Chain Monte Carlo) 설정에서 응용 프로그램의 예는 다음과 같다.

그리드의 단순한 딱딱한 구체 모델을 생각해 보십시오. X = {1, . . . , n 1 } × {1, . . . , n 2 2 Z 2 . X에 대한 적절한 구성은 각각의 점을 흰색이나 인접한 두 점이 없는 방식으로 검정색 또는 흰색으로 색칠하는 것으로 구성된다. X는 X , N X (n 1, n 2 )에 대한 모든 적절한 구성의 집합을 나타내며, π 각 적절한 구성이 동일한 가능성이 있도록 X에 대한 균일한 분포가 되도록 한다. 우리의 목표가 적절한 구성에서 일반적인 백색 점의 수를 계산하는 것이라고 가정합시다. 즉, W(x)가 x x X의 백색 점의 수라면 우리는 다음 값을 원한다.

${\displaystyle E_{\pi }W=\sum _{x\epsilon \mathrm {X}}={\frac {w{\bigl (}x{\bigr )}{N_{n_{1}{2}\bigr}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{x\x\x\mathron_{{{{{big$

n1과 n2가 심지어 적당히 크면 우리는 E to W에 대한 근사치를 의지해야 할 것이다. X에 있는 다음 마르코프 체인을 생각해 보라. p ∈(0, 1)을 수정하고 X 0 = x 0을 설정하십시오. 여기서 x 0 ∈ X는 임의의 적절한 구성이다. 임의로 점(x, y) ∈ X를 선택하고 U ~ 균일(0, 1)을 독립적으로 그린다. u ≤ p와 인접한 모든 점이 검정색이면 다른 모든 포인트는 그대로 두고 색상(x, y) 흰색이 된다. 그렇지 않으면 색(x, y)을 검정색으로 하고 다른 모든 점은 그대로 둔다. 결과 구성 X 1을 호출하십시오. 이 패션을 계속하면 inv을 불변 분포로 사용하는 Harris 에르고딕 마코프 체인 {X_0 , X_1, X_2 , .}이(가) 생성된다. 이제 w̄n으로 E π W를 추정하는 것은 간단한 문제가 되었다. 또한 X가 유한하기 때문에(아마도 크겠지만) X가 π에 기하급수적으로 빠르게 수렴할 것이라는 것은 잘 알려져 있는데, 이는 CLT가 w̄ n을 유지한다는 것을 의미한다.

시사점

상관관계(예: 마르코프 체인 몬테카를로 시뮬레이션의 직렬 상관)에서 비롯되는 분산의 추가 항을 고려하지 않으면 표본 평균에 대한 신뢰 구간을 계산할 때 유사 구문제의 문제가 발생할 수 있다.

참조

원천

• 고딘, M. I.와 리프시치, B. A. (1978년) "정지된 마르코프 공정에 대한 중앙 한계 정리." 소련 수학, 독레이디 19, 392–394. (러시아 원문의 영어 번역)
• 가이어, 찰스 J(2011년). "MCMC 소개" S. P. Brooks, A. E. Gelman, G. L. Jones, X. L. Meng이 편집한 Markov Chain Monte Carlo 핸드북에서. 채프먼 & 홀/CRC, 보카 라톤, 페이지 3-48.