진화하는 로컬 월드 네트워크 모델

진화하는 네트워크는 시간이 지남에 따라 변화하는 동적 네트워크입니다.각 $주기$ $t$ 에는 $t$ 네트워크에 연결되는 새 노드와 에지가 있고 이전 노드는 사라집니다.이러한 동적 동작은 전역 또는 로컬 범위에 관계없이 대부분의 실제 네트워크에서 특징적입니다.그러나 네트워크는 범위뿐만 아니라 토폴로지 구조도 다릅니다.다음을 구별할 수 있습니다.

랜덤 네트워크
자유 규모 네트워크
소규모 네트워크
로컬 월드 네트워크

네트워크를 차별화할 수 있는 주요 기능 중 하나는 네트워크의 진화 과정입니다.랜덤 네트워크에서 포인트는 완전히 랜덤한 방식으로 네트워크에서 추가 및 제거됩니다(Erdős 및 Rényi ^[1]모델).자유로운 규모의 네트워크의 진화는 이미 많은 수의 링크를 보유한 노드에 노드가 연결되는 우선적인 연결을 기반으로 합니다.결과적으로 허브(가장 많은 에지가 있는 노드)가 생성되고 네트워크는 분포의 멱함수 법칙(Barabasi 및 Albert's^[2] 모델)을 따릅니다.반대로 소규모 네트워크에는 허브가 없으며 노드는 다소 평등하며 소규모 클러스터로 로컬 그룹화되어 있습니다.이러한 종류의 네트워크는 Watts and Strogatz([3]WS) 모델에 의해 설명됩니다.위에서 언급한 모든 모델은 새로 추가된 포인트가 전체 네트워크에 대한 글로벌 정보를 가지고 있다고 가정합니다.그러나 대규모 시스템의 경우 그러한 지식은 다소 희귀합니다.이는 노드의 연결 선택 가능성을 크게 제한합니다.결과적으로, 링크에 대한 결정은 전체 네트워크가 아닌 로컬 세계에서 이루어집니다.이 지역성을 고려하는 네트워크는 로컬 월드 네트워크라고 하며 Li 및 Chen 모델(2003)에 의해 처음 설명되었습니다.지역 세계 모델은 특히 Gardénes and Moreno(2004), Sen 및 ^[4]Zhong, Wen ^[5]등에 의해 확장되었습니다.또는 Xuan 등.^[6]

세계적으로 진화하는 Li과 Chen의 네트워크 모델 (2003)

모델은 작은 수의 $m_{0}$ $m_{0}$ $m0m_{0}$ 과 $m_{{0}}$ 작은 수의 에지 $({{$ 0 $e_{0}$ 으로 시작합니다.전체 글로벌 네트워크에서 무작위로 선택된 M개의 노드가 있어 새로운 노드를 위한 소위 "로컬 월드"를 구성합니다.따라서, 가장자리가 있는 모든 새로운 노드는 로컬 세계의 기존 노드에만 연결되고 글로벌 시스템에 있는 노드와 연결되지 않습니다(BA 모델과의 주요 차이점).이 경우 연결 확률은 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

P_{local}'(k_{i})=P'(i\in Local-World){\frac {k_{i}}{\sum _{j\in Local}k_{i}^{}}}

여기서 P $P'(i\in Local-World)={\frac {M}{m_{0}+t^{}}}$ $P'(i\in Local-World)={\frac {M}{m_{0}+t^{}}}$ $P'(i\in Local-World)={\frac {M}{m_{0}+t^{}}}$ $P'(i\in Local-World)={\frac {M}{m_{0}+t^{}}}$ $P'(i\in Local-World)={\frac {M}{m_{0}+t^{}}}$ ) $=$ $P'(i\in Local-World)={\frac {M}{m_{0}+t^{}}}$ $P'(i\in Local-World)={\frac {M}{m_{0}+t^{}}}$ + $P'(i\in Local-World)={\frac {M}{m_{0}+t^{}}}$ ${{{\in Local-World}=nvfrac {M}{m_{0}+t^{}}}$ 이며 $P'(i\in Local-World)={\frac {M}{m_{0}+t^{}}}$ , "Local-World" 용어는 해당 시점에 새로 추가된 노드에 관심이 있는 모든 노드를 나타냅니다.따라서 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.

P_{local}'(k_{i})=displayfrac {M_{}}{m_{0}+t}{\frac {k_{i}}{\sum_{j\in Local}k_{i}^{}}

역학은 다음과 같습니다.

표시({style {\frac {\frac k_{i}}{\frac t}={mM_{0}+t}{\frac {k_{i}}{\sum _{j\in Local}k_{i}^{}}}}

매번 t에서 m $m\leqslant M\leqslant m_{0}+t$ $m\leqslant M\leqslant m_{0}+t$ $m\leqslant M\leqslant m_{0}+t$ 0 $m\leqslant M\leqslant m_{0}+t$ + $m\leqslant M\leqslant m_{0}+t$ t \ $displaystyle$ m\ $leqslant m_{0}+$ t $m\leqslant M\leqslant m_{0}+t$ 두 개의 코너 솔루션이 가능하다는 것은 $M=m$ 입니다. M $M=m_{0}+t$ $M=m$ $M=m_{0}+t$ { $displaystyle$ M $m\leqslant M\leqslant m_{0}+t$ $=$ $M=m$ $M=m_{0}+t$ { $0}$ + $M=m_{0}+t$ t { $displaystyle$ M = $m$ _ {0 $M=m_{0}+t$ + $t$

그림 1. M = m = 3인 하한 사례의 로그-로그 척도에서의 정도 분포 비교와 M = 4 및 m = 3인 로컬 세계 진화 네트워크.네트워크의 길이는 N = 10,000입니다.삽입물이 동일한^[7] 곡선의 로그 선형 척도에 있습니다.

사례 A. 하한 $M=m$ M $=$ {\ $displaystyle$ M = $m$ }

새 노드는 처음에 선택한 로컬 월드 M의 노드에만 연결됩니다.이는 네트워크 확장 프로세스에서 우선 첨부 파일(PA) 선택이 효율적이지 않음을 나타냅니다.이 경우는 PA 없이 네트워크가 확장되는 BA 스케일 프리 모델과 동일합니다.i번째 노드의 학위 변화율은 다음과 같은 방식으로 기록될 수 있습니다.

표시({style {\frac {\frac k_{i}}{\frac t}={m_{0}+t}{\frac {k_{i}}{\sum _{j\in Local}k_{i}^{}}}}

따라서, 위는 하한 솔루션에서 네트워크가 기하급수적으로 감소하는 정도 분포를 가지고 있음을 증명합니다: $P(k)\sim e^{-k/m}$ ( $P(k)\sim e^{-k/m}$ ~ $P(k)\sim e^{-k/m}$ - $P(k)\sim e^{-k/m}$ / $P(k)\sim e^{-k/m}$ \{\ $displaystyle P(k$ )\ $sim$ ^{- $k/m$ 그림 1)

사례 B: $M=m_{0}+t$ 한계 $M=m_{0}+t$ $=$ $M=m_{0}+t$ 0 $M=m_{0}+t$ + t ({ $displaystyle M$ = $m_$ {0 $}+t$ )

이 경우 로컬 월드는 글로벌 네트워크와 동일한 방식으로 작동합니다.시간이 지남에 따라 진화합니다.따라서 LW 모델은 Barabasi-와 비교될 수 있습니다.알버트 스케일 프리 모델과 'ith' 노드의 정도 변화율은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

display{style {\flac k_{i}{\flac t}=flac {k_{i}{2t}}}

이 동일성은 상한 솔루션에서 LW 모델이 멱함수의 정도 분포를 따른다는 것을 나타냅니다: $P(k)\sim 2m^{2}/k^{3}$ ~ $P(k)\sim 2m^{2}/k^{3}$ $P(k)\sim 2m^{2}/k^{3}$ $P(k)\sim 2m^{2}/k^{3}$ {{ $displaystyle$ P $(k)\sim$ 2m $^{2}/k^{3}}($ 그림 2).
따라서 A와 B로부터 코너 솔루션 중 Li과 Chen의 모델은 지수와 멱함수 사이의 정도 분포에 대한 전환을 나타내는 것을 알 수 있습니다(그림 3).

센과 중의 새로운 로컬 세계 진화 네트워크 모델 (2009)

이 모델은 글로벌 네트워크에 대한 정보를 가진 노드와 그렇지 않은 노드를 나누는 의미에서 LM 모델의 확장입니다.이러한 다양화를 제어하기 위해 매개 변수 $\delta$ \ $delta$ 가 $\delta$ 도입되었습니다.글로벌 네트워크에 대한 정보를 얻는 노드 수와 전체 노드 수의 비율을 $\delta$ \ $delta$ 라고 $\delta$ 합니다. $\delta$ \ $delta$ 는 $\delta$ 비율이기 때문에 $\delta \in \left[0,1\right]$ [ $\delta \in \left[0,1\right]$ 1 ] $\delta \in \left[0,1\right]$ right $\delta \in \left[0,1\right]$ 이어야 합니다. $=$ 0 {\ $displaystyle$ \ $displaysyle =$ 0}일 $\delta =0$ 때 글로벌 정보와 NLW 모델을 소유하는 노드가 없습니다.차례로, $δ =$ 1 \ delta = $1$ 은 $\delta =1$ 각 노드가 네트워크에 대한 글로벌 정보를 가지고 있다는 것을 의미하며, 이는 NLW 모델을 BA 모델과 동일하게 만듭니다.
NWL 모델은 LW와 동일한 방식으로 시작합니다. 즉, 작은 수의 노드 m_0과 작은 수의 에지 $({{$ 이 있습니다.전체 글로벌 네트워크에서 무작위로 선택되어 새로운 노드를 위한 "로컬 월드"를 구축한 M개의 노드가 있습니다.그러나 NLW 모델에서는 가장자리가 있는 모든 새 노드를 글로벌 또는 로컬 시스템에 연결할 수 있습니다.결정은 수신된 정보에 따라 달라집니다.새 노드가 전체 네트워크에 대한 정보를 얻는 경우 노드 i와 연결될 확률은 해당 노드의 정도 ki에 따라 달라집니다.

P_{global}(k_{i})=tftfrac {k_{i}}{\sum _{j}k_{j}}}

또한 노드가 글로벌 정보에 제공되지 않고 로컬 세계만 알고 있는 경우에는 다음과 같은 확률로 이 시스템의 노드와만 연결됩니다.

P_{local}'(k_{i})=P'(i\in Local-World){\frac {k_{j}}{\sum _{j\in Local}k_{j}^{}}}

따라서 새로운 로컬 세계 모델의 일반적인 확률은 다음과 같이 기록될 수 있습니다.

표시 스타일 P_{all}'(k_{i})==\delta{{frac{k_{i}}{\sum_{j}}+(1-\local-World에서)P'(i\frac{k_{i}}{\sum_{j}}}}

여기서 $δ$ \delta는 $\delta$ 새로운 노드가 글로벌 네트워크에 대한 지식을 가질 확률입니다.LW 모델과 마찬가지로 NLW 모델은 로컬 월드 선택의 세 가지 경우를 구분합니다.

m=M

M=m_{0}+t

m=M

({

displaystyle m=

m\ll M\ll m_{0}+t

m=M

m\ll M\ll m_{0}+t

m\ll M\ll m_{0}+t

m\ll M\ll m_{0}+t

0

m\ll M\ll m_{0}+t

+

m\ll M\ll m_{0}+t

({

displaystyle

m\

ll m_{0}+t

M=m_{0}+t

M =

M=m_{0}+t

0 +

M=m_{0}+t

({

displaystyle

M=

m_{0}+t)

상한 사례(Case C)는 로컬 월드 모델과 동일합니다.

사례 A 하한 $M=m$ M $=$ {{ $displaystyle$ M = $m$ }

하한에서는 전체론적 우선 부착 요구 사항을 충족하는 노드가 몇 개 되지 않는 반면, 대부분은 새 에지를 무작위로 연결합니다.게다가, 지역 세계의 누적 정도는 무작위 선택에 달려 있습니다.이 경우 시스템의 역학은 다음과 같이 설명됩니다.

표시({style {\frac k_{i}}{\fac t}={fac k_{i}+2(1-\fac)m}{2t}}

다음과 같은 가정으로: $\sum _{j\in local}k_{j}=M\left\langle k_{i}\right\rangle =m\left\langle k_{i}\right\rangle \approx mk_{i}$ $\sum _{j\in local}k_{j}=M\left\langle k_{i}\right\rangle =m\left\langle k_{i}\right\rangle \approx mk_{i}$ $\sum _{j\in local}k_{j}=M\left\langle k_{i}\right\rangle =m\left\langle k_{i}\right\rangle \approx mk_{i}$ $\sum _{j\in local}k_{j}=M\left\langle k_{i}\right\rangle =m\left\langle k_{i}\right\rangle \approx mk_{i}$ $\sum _{j\in local}k_{j}=M\left\langle k_{i}\right\rangle =m\left\langle k_{i}\right\rangle \approx mk_{i}$ k $\sum _{j\in local}k_{j}=M\left\langle k_{i}\right\rangle =m\left\langle k_{i}\right\rangle \approx mk_{i}$ = M $\sum _{j\in local}k_{j}=M\left\langle k_{i}\right\rangle =m\left\langle k_{i}\right\rangle \approx mk_{i}$ $\sum _{j\in local}k_{j}=M\left\langle k_{i}\right\rangle =m\left\langle k_{i}\right\rangle \approx mk_{i}$ $\sum _{j\in local}k_{j}=M\left\langle k_{i}\right\rangle =m\left\langle k_{i}\right\rangle \approx mk_{i}$ $k = m ≈$ $\sum _{j\in local}k_{j}=M\left\langle k_{i}\right\rangle =m\left\langle k_{i}\right\rangle \approx mk_{i}$ ⟩ $k$ k $\sum _{j\in local}k_{j}=M\left\langle k_{i}\right\rangle =m\left\langle k_{i}\right\rangle \approx mk_{i}$ _ { $j}= M\left\langle$ k_{ $i}\right\rangle k_{i}\right\langle \langle mk_{i$ }}
이 경우, 네트워크의 정도 분포는 저출력 분포를 따르고, 스케일 프리 네트워크 $(\sigma )$ $\delta$ $)(\sigma)$ 의 $(\sigma)$ 지수는 1 $1+{\frac {\delta }{2}}$ + $1+{\frac {\delta }{2}}$ $({\$ 1 $+{\frac{delta$ }{ $2}}$ 이므로 $1+{\frac {\delta }{2}}$ , 작은 δ \ $delta$ 에 $\delta$ 대한 초기 가정은 네트워크의 저출력 지수가 높은 값에 도달함을 나타냅니다.

사례 B. m $m\ll M\ll m_{0}+t$ $m\ll M\ll m_{0}+t$ ≪ $m\ll M\ll m_{0}+t$ 0 + $m\ll M\ll m_{0}+t$ \ $displaystyle m\ll M_{0}+t}$

시간이 지나면 m $m_{0}+t$ + $m_{0}+t$ ({ $displaystyle m_{0}+t$ 노드가 $m_{0}+t$ 오는 노드에 글로벌 네트워크에 대한 정보가 없으면 로컬 시스템의 i $M=m_{0}+t$ 에 $M=m_{0}+t$ M $=$ m 0 + t({ $displaystyle M$ =m_ $M=m_{0}+t$ 0}+t)로 연결됩니다.따라서 역학은 다음과 같이 기록될 수 있습니다.

표시({style {\frac {\frac k_{i}}{\frac t}=\left[{\frac {1+\frac}{1-\frac }{1-\frac}{\right]{\frac {k_i}{t}}}}

다음과 같은 가정으로: $\sum _{j\in local}k{j}=\sum _{j\in local}k_{j}=\left[\delta \left\langle k_{i}\right\rangle +(1-\delta )m\right]M$ $\sum _{j\in local}k{j}=\sum _{j\in local}k_{j}=\left[\delta \left\langle k_{i}\right\rangle +(1-\delta )m\right]M$ ∈ $\sum _{j\in local}k{j}=\sum _{j\in local}k_{j}=\left[\delta \left\langle k_{i}\right\rangle +(1-\delta )m\right]M$ $\sum _{j\in local}k{j}=\sum _{j\in local}k_{j}=\left[\delta \left\langle k_{i}\right\rangle +(1-\delta )m\right]M$ k $\sum _{j\in local}k{j}=\sum _{j\in local}k_{j}=\left[\delta \left\langle k_{i}\right\rangle +(1-\delta )m\right]M$ $\sum _{j\in local}k{j}=\sum _{j\in local}k_{j}=\left[\delta \left\langle k_{i}\right\rangle +(1-\delta )m\right]M$ $\sum _{j\in local}k{j}=\sum _{j\in local}k_{j}=\left[\delta \left\langle k_{i}\right\rangle +(1-\delta )m\right]M$ $\sum _{j\in local}k{j}=\sum _{j\in local}k_{j}=\left[\delta \left\langle k_{i}\right\rangle +(1-\delta )m\right]M$ $\sum _{j\in local}k{j}=\sum _{j\in local}k_{j}=\left[\delta \left\langle k_{i}\right\rangle +(1-\delta )m\right]M$ $\sum _{j\in local}k{j}=\sum _{j\in local}k_{j}=\left[\delta \left\langle k_{i}\right\rangle +(1-\delta )m\right]M$ j $=$ [ $δ$ $\sum _{j\in local}k{j}=\sum _{j\in local}k_{j}=\left[\delta \left\langle k_{i}\right\rangle +(1-\delta )m\right]M$ k + (1 $δ$ $\sum _{j\in local}k{j}=\sum _{j\in local}k_{j}=\left[\delta \left\langle k_{i}\right\rangle +(1-\delta )m\right]M$ $\sum _{j\in local}k{j}=\sum _{j\in local}k_{j}=\left[\delta \left\langle k_{i}\right\rangle +(1-\delta )m\right]M$ ] M ${\displaystyle \sum$ _{ $j\in$ local} k ${j}=\$ left $[\$ displaystyle \ $j\$ in local $k{i}\right\rangle +(1$ - $）m]M$
그러나 이전의 경우와 마찬가지로 진화하는 네트워크는 4 ${\frac {4+\delta +\delta ^{2}}{2-\delta -\delta ^{2}}}$ + ${\frac {4+\delta +\delta ^{2}}{2-\delta -\delta ^{2}}}$ + ${\frac {4+\delta +\delta ^{2}}{2-\delta -\delta ^{2}}}$ 22 ${\frac {4+\delta +\delta ^{2}}{2-\delta -\delta ^{2}}}$ δ - ${\frac {4+\delta +\delta ^{2}}{2-\delta -\delta ^{2}}}$ 2와 같은 더 큰 ${\frac {4+\delta +\delta ^{2}}{2-\delta -\delta ^{2}}}$ 지수를 갖는 멱함수 분포를 갖습니다. {\displaystyle ${4+\delta ^{2}}{2-\$ delta - $\delta ^{2}}}$
$\delta$ 비율이 $\delta$ 새 모델의 무척도 지수의 유일한 매개 변수임을 알 수 있습니다.따라서, 모델의 상당한 개선은 전역 네트워크에 대한 정보를 보유하는 노드를 추가하거나 제거함으로써 네트워크의 위상 구조를 제어할 수 있는 $δ$ \delta의 $\delta$ 도입에서 비롯됩니다.

레퍼런스

^ Erdős, P. 그리고 A.레니 (1961).랜덤 그래프의 진화에 대해, Publ.수학. Inst.헝. 카드.과학, Vol.5, 17-61페이지
^ 앨버트, 알.알.알.알.바라바시(2000).물리 검토 서신, Vol.85, No.24, 5234 페이지
^ 와트, J.D., H.S.스트로가츠 (1998).'작은 세상' 네트워크의 집단 역학, Nature, Vol.393, p.440-442
^ Sen, Q., D.G.중 ()중국 물리학 B, 18권, 2번, 383페이지
^ 웬, 지, 지Duan, G.첸지와 엑스.Geng (2011).물리학 A, Vol.390, 4012페이지
^ 쉬안, 큐, 와이.리와 티.Wu(2007).물리학 A, Vol.378, 561페이지
^ 리, 엑스, 그리고 G.R.첸 (2003).물리학 A, 권 328, 274페이지

원천

바오, Z, Y.Cao (2008).저장 대학 과학 A 저널, Vol.9, No.10, 1336 페이지
루, 제이, 에이치렁과 지.첸 (2004).연속, 이산 및 충격 시스템의 역학 시리즈 B: 응용과 알고리즘, Vol.11a, p.70

[1] Erdős, P. 그리고 A.레니 (1961).랜덤 그래프의 진화에 대해, Publ.수학. Inst.헝. 카드.과학, Vol.5, 17-61페이지

[2] 앨버트, 알.알.알.알.바라바시(2000).물리 검토 서신, Vol.85, No.24, 5234 페이지

[3] 와트, J.D., H.S.스트로가츠 (1998).'작은 세상' 네트워크의 집단 역학, Nature, Vol.393, p.440-442

[4] Sen, Q., D.G.중 ()중국 물리학 B, 18권, 2번, 383페이지

[5] 웬, 지, 지Duan, G.첸지와 엑스.Geng (2011).물리학 A, Vol.390, 4012페이지

[6] 쉬안, 큐, 와이.리와 티.Wu(2007).물리학 A, Vol.378, 561페이지

[7] 리, 엑스, 그리고 G.R.첸 (2003).물리학 A, 권 328, 274페이지

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세계적으로 진화하는 Li과 Chen의 네트워크 모델 (2003)

사례 A. 하한 $M=m$ M $=$ {\ $displaystyle$ M = $m$ }

사례 B: $M=m_{0}+t$ 한계 $M=m_{0}+t$ $=$ $M=m_{0}+t$ 0 $M=m_{0}+t$ + t ({ $displaystyle M$ = $m_$ {0 $}+t$ )

센과 중의 새로운 로컬 세계 진화 네트워크 모델 (2009)

사례 A 하한 $M=m$ M $=$ {{ $displaystyle$ M = $m$ }

사례 B. m $m\ll M\ll m_{0}+t$ $m\ll M\ll m_{0}+t$ ≪ $m\ll M\ll m_{0}+t$ 0 + $m\ll M\ll m_{0}+t$ \ $displaystyle m\ll M_{0}+t}$

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세계적으로 진화하는 Li과 Chen의 네트워크 모델 (2003)

사례 A. 하한 한계 M = m {\displaystyle M = m}

사례 B: 하한 한계 M = m 0 + t ({displaystyle M = m_{0}+t)

센과 중의 새로운 로컬 세계 진화 네트워크 모델 (2009)

사례 A 하한 한계 M = m {{displaystyle M = m}

사례 B. m ≪ M ≪ m 0 + t \ displaystyle m\ll M_{0}+t}

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사례 A. 하한 $M=m$ M $=$ {\ $displaystyle$ M = $m$ }

사례 B: $M=m_{0}+t$ 한계 $M=m_{0}+t$ $=$ $M=m_{0}+t$ 0 $M=m_{0}+t$ + t ({ $displaystyle M$ = $m_$ {0 $}+t$ )

사례 A 하한 $M=m$ M $=$ {{ $displaystyle$ M = $m$ }

사례 B. m $m\ll M\ll m_{0}+t$ $m\ll M\ll m_{0}+t$ ≪ $m\ll M\ll m_{0}+t$ 0 + $m\ll M\ll m_{0}+t$ \ $displaystyle m\ll M_{0}+t}$