크룰 링

정류 대수학에서 Krull 링 또는 Krull 도메인은 원시 인자화 이론이 잘 실행된 정류 링이다.그것들은 1931년 볼프강 크롤에 의해 소개되었다.^[1]그것들은 디데킨드 도메인의 고차원 일반화인데, 정확히 기껏해야 1차원의 Krull 도메인이다.

이 글에서, 반지는 서로 상응하고 통일성을 가지고 있다.

형식 정의

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 통합 영역으로 하고 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$을(를) 키 $1$의 A ${\displaystyle A}$의 모든 기본 이상, 즉 0이 아닌 프라임 이상(non-zero primary ide)을 적절하게 포함하는 모든 프라임 이상(primary ide)의 집합으로 설정하도록$$ 한다.그렇다면 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(는) Krull 링이다.

1. ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ${\$은(는) $모든{\displaystyle \mathfrak{}}$ p${\displaystyle p}$ P$${\$displaystyle${\$mathfrak{p}\in P}$에 대한 이산 평가 링입니다$.$
2. $[\displaystyle$ A$}$은(는) 이러한 이산 가치 평가 링의 교차점이다$$($A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A$}의 몫 필드의 하위 링으로 간주됨).$$
3. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 0이 아닌 요소는 키 1의 기본 이상에 한정되어 있을 뿐이다$$.

또한 Krull 링의 특성은 오직 가치 평가의 수단으로만 가능하다.^[2]

통합 도메인 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은${\displaystyle {(}_{}}$는) A ${\displaystyle A}$의 $분수{\displaystyle }$ K ${\displaystyle K}$ 필드에서 이산형 평가$$ {v_${$ 패밀리 {${\displaystyle v_{}}$}이(가) 있는 경우 Krull 링이며$$, 다음과 같은$$ 경우:

1. x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle x\in K\setminus \{0\}}$ 및 모든$$ i ${\displaystyle i}$에 대해$,$ 한정된 개수를 제외하고, v ${\displaystyle i_{}x}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle v_{i}(x)=0$
2. $모든{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K\setminus \{0\}}$ ${\displaystyle x\in K\setminus \{0$ x ${\displaystyle$ x$}$는 $모든$ i ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle$ i}에 $대해$ ${\displaystyle v_{}}$$i$(${\displaystyle {}_{}x}$) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystystyle v_{i}(x)\$$geq$ $0}.$

$v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$의 평가를 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 필수 평가라고 한다$$$.$

:모든 p에 ∈ P{\displaystyle{\mathfrak{p}}\in P}다음과 같이 두 개념 사이의 링크, vp{\displaystyle v_{\mathfrak{p}}}K의{K\displaystyle}의 평가 반지는 한 p{\displaystyle A_{\mathfrak{p}}}.[3]그리고 그 세트 독특한 정규화 평가를 연결할 수 있습니다 v입니다.${\displaystyle =}${ v ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle {\}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathcal{V}}=\{v_{\mathfrak{p}\}}}$은(는) 등가정의 조건을 만족한다$$.Conversely, if the set ${\displaystyle {\mathcal {V}}'=\{v_{i}\}}$ is as above, and the ${\displaystyle v_{i}}$ have been normalized, then ${\displaystyle {\mathcal {V}}'}$ may be bigger than ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, but it must contain ${\displaystyle {\ma$$thcal {{V$ 즉, $V{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$은 등가 정의를 충족하는 정규화된 평가의 최소 집합이다$$.

크롤링을 소개하고 정의하는 다른 방법들이 있다.사실 크롤링 이론은 분신 이상 이론과 시너지 효과가 가장 잘 드러난다.그 주제에 대한 가장 좋은 참고자료 중 하나는 P. Samuel의 독특한 요소화 영역에 대한 강의다.

특성.

위의 공식을 사용하여 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ${\${p$}}$은(는) 평가 링 ${\displaystyle {A\mathfrak{}}_{}}$ ${\$ {$p},$U ${\displaystyle$ U}은$($는) A ${\$$displaystystyle A$$}$및$$K$}$의 인용부문의 단위 집합을 나타냄$$.

• An element ${\displaystyle x\in K}$ belongs to ${\displaystyle U}$ if, and only if, ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=0}$ for every ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$. Indeed, in this case, ${\displaystyle x\not \in A_{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}}$ forevery ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$, hence ${\displaystyle x^{-1}\in A_{\mathfrak {p}}}$; by the intersection property, ${\displaystyle x^{-1}\in A}$. Conversely, if ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle x^{-1}}$ are in ${\displaystyle A}$, then ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(xx^{-1})=v_{\mathfrak {p}}(1)=0=v_{\mathfrak {p}}(x)+v_{\mathfrak {p}}(x^{-1})}$, hence ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=v_{\mathfrak {p}}(x^{-1})=0}$, since두 숫자 모두 $\ge {\displaystyle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \geq$ 0$}$이어야 한다$.$
• An element ${\displaystyle x\in A}$ is uniquely determined, up to a unit of ${\displaystyle A}$, by the values ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)}$, ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$. Indeed, if ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)=v_{\mathfrak {$$p}}(y)}$ for every ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in P}$, then ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(xy^{-1})=0}$, hence ${\displaystyle xy^{-1}\in U}$ by the above property (q.e.d).This shows that the application ${\displaystyle x\ {\rm {mod}}\ U\mapsto \left(v_{\mathfrak {p}}(x)\right)_{{\mathfrak {p}}\in P}}$ is well defined, and since ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}(x)\not =0}$ for only finitely many ${\displaystyle {\ma$$thfrak{p$ $P{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ A$^{\times$를 P {\$displaystyle P}$의 요소에 의해 생성된 자유 아벨리안 그룹에 내장한$$ 것이다$.$Thus, using the multiplicative notation "${\displaystyle \cdot }$" for the later group, there holds, for every ${\displaystyle x\in A^{\times }}$, ${\displaystyle x=1\cdot {\mathfrak {p}}_{1}^{\alpha _{1}}\cdot {\mathfrak {p$$}}_{2}^{\alpha _{2}}\cdots {\mathfrak {p}}_{n}^{\alpha _{n}}\ {\rm {mod}}\ U}$, where the ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ are the elements of ${\displaystyle P}$ containing ${\displaystyle x}$, and ${\displaystyle \alpha _{i}=v_{{\mathfrak {p}}_{i}}(x)}$.
• ${\displaystyle {v\mathfrak{}}_{}}$ ${\$의 평가는 쌍으로 독립적이다$$.^[4]그 결과, theorem,[5]은 중국인의 나머지 정리의 동족체:만약 p1, 쭉 펼쳐져 pn{\displaystyle{\mathfrak{p}}_{1},\ldots{\mathfrak{p}}P{P\displaystyle}의 _{n}}는 별개의 요소, x1,…)n{\displaystyle x_{1},\ldots}x_{n}은 소위 약한 근사 보유하고 있다.$K {\displaystyle$ K$}($resp). ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ${\$ $$및 1 , ${\displaystyle ...n_{}}$ ${\$은(는) $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 자연수이며, 그 $다음{\displaystyle }$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystystyle x\in$ K$}($resp)가 있다. ${\displaystyle }$${\displaystyle {x_{}}_{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ${\$${\displaystyle {mathfrak}_{}}$$p$${\displaystyle \}\}\}<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; x\backslash in\; A\_\{\backslash mathfrak\; \{p\}\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/755b967dea8526e1e3c4282641823f37f651425c"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:6.968ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="182">}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ i${\$가 $모든{\displaystyle }$ i$${\$displaystystyle$i$$}$$.
• 만약 v()){\displaystyle v_{\mathfrak{p}}())p 2요소){A\displaystyle}의{\displaystyle)}및 y{이\displaystyle}}과v p(y){\displaystyle v_{\mathfrak{p}}(y)}이 아닌 둘 다>모든 p에 0{\displaystyle>0}∈ P{\displaystyle{\mathfrak{p}coprime 있다.}\in P$\}\}.$ 평가의 기본 속성은 좋은 동일성 $이론$이 A ${\displaystyle A}$에 들어 있음을 암시한다$.$
• $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 모든 기본 이상에는 $P{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$의 요소가 포함되어$$ 있다$.$^[6]
• 지수 필드가 동일한 Krull 도메인의 유한 교차점은 다시 Krull 도메인이다.^[7]
• $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 하위 필드인$$ 경우 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \cap }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A\cap L}$은(는) Krull 도메인이다$.$^[8]
• $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S\subset A}$이(가) 0을 ${\displaystyle {}^{}}$하지 않는 승수적으로 닫힌 집합이라면$$, $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ A ${\displaystyle$ S$^{-1A}$의 링은 다시 Krull 도메인이다$$.실제로 $S{\displaystyle {}^{}}$- 1 ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle S^{-1}A}$의 필수 평가값은 ${\displaystyle \mathrm{이러한}}$ 평가 $v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {p\mathfrak{}}_{}}$ ${\$$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K$이며, $P{\displaystyle \mathfrak{}}$= ${\mathfrak {p}cap$ S$=\emiteset }$이다$.$^[9]
• $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이(가) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 유한 대수적 확장이고$,$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$이(가) $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$에서 A ${\displaysty A}$의 일체형 닫힘인 경우$,$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystystyle$ B$}$은 Krumber이다.^[10]

예

1. 모든 고유한 요인화 도메인은 Krull 도메인이다.반대로 Krull 도메인은 키 1의 모든 주요 이상이 주 이상일 경우(그리고 만일 그럴 경우에만) 고유한 요인화 도메인이다.^[11][12]
2. 통합적으로 폐쇄된 모든 노에테리아 도메인은 크롤 도메인이다.^[13]특히 디데킨드 도메인은 크롤 도메인이다.반대로 Krull 도메인은 통합적으로 폐쇄되므로, 통합적으로 폐쇄된 경우에만 Noetherian 도메인이 Krull이다.
3. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) Krull 도메인인$$ 경우 $다항식{\displaystyle }$링 A [$]$ {\$displaystyle A[$x$$$]}$과(와) 공식 파워 $시리즈{\displaystyle }$링 A [${\displaystyle x]}$ ${\displaystystyle A[x]}$이$($^[14]가) 모두 해당된다.
4. 고유한 인자화 도메인 $R{\displaystyle }$ ${\displaystyle R[$${\displaystyle {x1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ,${\displaystyle ]}$에 대한 무한히 많은 변수의$$ 다항 링 $R[x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ]}$은(는) 노메트리안이 아닌 Krull 도메인이다$$.
5. Let ${\displaystyle A}$ be a Noetherian domain with quotient field ${\displaystyle K}$, and ${\displaystyle L}$ be a finite algebraic extension of ${\displaystyle K}$. Then the integral closure of ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle L}$ is a Krull domain (Mori–Nagata theorem).^[15]이것은 위의 숫자 2에서 쉽게 따라온다.
6. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 자리스키 반지(예: 로컬 노메트리안 반지)로$$ 한다.완료 A ${\displaystyle \stackrel{}{^}}$ ${\$이(가) Krull 도메인인 경우, $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$은(모리) Krull 도메인이다.^[16][17]
7. $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) Krull 도메인으로 하고$$, $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$을(를) P${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p\\in$ A$}$의 권한으로 구성된 승법적으로 닫힌 집합으로$$ 한다$.$ 그러면 $S{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystystyle S^{-1A}$은 Krull 도메인(나가타)이다$$.^[18]

크롤링의 디비저 클래스 그룹

$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) Krull 도메인이고 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 해당$$ 지수 필드라고 가정하십시오.$A{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle A}$의 소수점(prime divisor)은$$ $A{\displaystyle }$ {\$displaystyle A}$의 상위 1 이상이다$.$후속편에서$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 소수점 세트는 $P{\displaystyle }$( ${\displaystyle A}$ )${\displaystyle P(A)}$로 표시된다$$.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 A(Weil) 디비저는 프라임 디비저의 공식 적분 선형 조합이다$$.They form an Abelian group, noted ${\displaystyle D(A)}$. A divisor of the form ${\displaystyle div(x)=\sum _{p\in P}v_{p}(x)\cdot p}$, for some non-zero ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle K}$, is called a principal divisor.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 주 구분자는 디비저 그룹의 하위 그룹을 형성한다$$(이 그룹이 $A{\displaystyle {}^{}U}$ ${\displaystyle A^{\times }/U}$에 대해 이형성이라는 것이 위에 나와 있다$).$ 여기서 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $U$$}$은 $A$의 단일성 그룹이다$$.$$주격분할체의 부분군에 의한 구분자 집단의 지수를 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$의 구분자 등급 집단이라고 하는데$,$ 보통 $C{\displaystyle }$(${\displaystyle A}$ ) ${\displaystyle$ C$(A)}$로 표시된다$.$

Assume that ${\displaystyle B}$ is a Krull domain containing ${\displaystyle A}$. As usual, we say that a prime ideal ${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$ of ${\displaystyle B}$ lies above a prime ideal ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ of ${\displaystyle A}$ if ${\displays$$tyle {\mathfrak{P}\cap A={\mathfrak{p$ 이것은 P ${\displaystyle p\mathfrak{}}$ ${\$로 약칭된다$.$

Denote the ramification index of ${\displaystyle v_{\mathfrak {P}}}$ over ${\displaystyle v_{\mathfrak {p}}}$ by ${\displaystyle e({\mathfrak {P}},{\mathfrak {p}})}$, and by ${\displaystyle P(B)}$ the set of prime divisors of ${\displaystyle B}$. Define the application${\displaystyle P}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle D}$( ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle P(A)\to D(B)}$ by$$ D(B)}

${\displaystyle j({\mathfrak{p}}}=\sum _{{\mathfrak{p}}},\\mathfrak {p},\mathfrak {p}e({\mathfrak {p}){\mathfrak {P}}}}}}}}}$

(위의 합은 ${\displaystyle 모든\mathfrak{}}$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ p ${\$이(가) P${\displaystyle }$($B)}$의 여러 요소에 포함되어 있으므로$$ 유한하다.$$Let extend the application ${\displaystyle j}$ by linearity to a linear application ${\displaystyle D(A)\to D(B)}$. One can now ask in what cases ${\displaystyle j}$ induces a morphism ${\displaystyle {\bar {j}}:C(A)\to C(B)}$. This leads to several results.^[19]예를 들어, 다음은 가우스의 정리를 일반화한다.

$어플리케이션{\displaystyle \stackrel{}{}}$ j의${\displaystyle }$: ${\displaystyle C}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle C}$( ${\displaystyle A}$[ X${\displaystyle ])}$ ${\displaystyle {\\j}:C(A)\to C(A[X])}$는 비주사적이다.특히 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) $고유$한 인수 도메인이라면 A${\displaystyle }$[ X ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle A[X]}$도 마찬가지다$.$^[20]

크롤링의 디비저 클래스 그룹은 또한 강력한 하강 방법, 특히 갈루아인 하강 방법을 설정하는 데 사용된다.^[21]

카르티에 디비소르

크롤 반지의 카르티에 디비저는 지역적으로 주요한 디비저다.카르티어 디비저는 주 디비저를 포함하는 디비저 그룹의 하위 그룹을 형성한다.주격차(Cartier divisors)에 의한 카르티어 divisors의 몫은 디비저 등급 그룹의 부분군이며, 스펙(A)에 있는 회전 불가능한 피카르 그룹과 이형이다.

예: 링 k[x,y,z]/(xy–z²)에서 디비저 클래스 그룹은 디비저 y=z에 의해 생성된 순서 2를 가지지만, Picard 하위 그룹은 사소한 그룹이다.^[22]

참조

• N. Bourbaki. Commutative algebra.
• "Krull ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Krull, Wolfgang (1931), "Allgemeine Bewertungstheorie", J. Reine Angew. Math., 167: 160–196^{[영구적 데드링크]}
• 마츠무라 히데유키, 정류 대수학.세컨드 에디션.수학 강의 노트 시리즈, 56.벤자민/쿠밍스 출판사, 주식회사, 리딩, 미사, 1980.xv+313 페이지ISBN 0-8053-7026-9
• 마쓰무라 히데유키, 교감 고리 이론.일본어에서 M이 번역했다.리드. 케임브리지 고등수학 연구, 8. 케임브리지 대학 출판부, 1986. xiv+320 pp.ISBN 0-521-25916-9
• Samuel, Pierre (1964), Murthy, M. Pavman (ed.), Lectures on unique factorization domains, Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, vol. 30, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0214579