크룰 링
Krull ring정류 대수학에서 Krull 링 또는 Krull 도메인은 원시 인자화 이론이 잘 실행된 정류 링이다.그것들은 1931년 볼프강 크롤에 의해 소개되었다.[1]그것들은 디데킨드 도메인의 고차원 일반화인데, 정확히 기껏해야 1차원의 Krull 도메인이다.
이 글에서, 반지는 서로 상응하고 통일성을 가지고 있다.
형식 정의
을(를) 통합 영역으로 하고 을(를) 키 의 A 의 모든 기본 이상, 즉 0이 아닌 프라임 이상(non-zero primary ide)을 적절하게 포함하는 모든 프라임 이상(primary ide)의 집합으로 설정하도록 한다.그렇다면 은(는) Krull 링이다 .
- 은 (는) p P{\{\에 대한 이산 평가 링입니다
- A은(는) 이러한 이산 가치 평가 링의 교차점이다( }의 몫 필드의 하위 링으로 간주됨).
- 의 0이 아닌 요소는 키 1의 기본 이상에 한정되어 있을 뿐이다.
또한 Krull 링의 특성은 오직 가치 평가의 수단으로만 가능하다.[2]
통합 도메인 은는) A 의 K 필드에서 이산형 평가 {v_ 패밀리 {}이(가) 있는 경우 Krull 링이며, 다음과 같은 경우:
- x 및 모든 i 에 대해 한정된 개수를 제외하고, v )=
- x x x는 i i}에 ()
의 평가를 의 필수 평가라고 한다
:모든 p에 ∈ P{\displaystyle{\mathfrak{p}}\in P}다음과 같이 두 개념 사이의 링크, vp{\displaystyle v_{\mathfrak{p}}}K의{K\displaystyle}의 평가 반지는 한 p{\displaystyle A_{\mathfrak{p}}}.[3]그리고 그 세트 독특한 정규화 평가를 연결할 수 있습니다 v입니다.{ v 은(는) 등가정의 조건을 만족한다.Conversely, if the set is as above, and the have been normalized, then may be bigger than , but it must contain 즉, 은 등가 정의를 충족하는 정규화된 평가의 최소 집합이다.
크롤링을 소개하고 정의하는 다른 방법들이 있다.사실 크롤링 이론은 분신 이상 이론과 시너지 효과가 가장 잘 드러난다.그 주제에 대한 가장 좋은 참고자료 중 하나는 P. Samuel의 독특한 요소화 영역에 대한 강의다.
특성.
위의 공식을 사용하여 {p은(는) 평가 링 {U U}은는 ) A 및K의 인용부문의 단위 집합을 나타냄.
- An element belongs to if, and only if, for every . Indeed, in this case, forevery , hence ; by the intersection property, . Conversely, if and are in , then , hence , since두 숫자 모두 0이어야 한다
- An element is uniquely determined, up to a unit of , by the values , . Indeed, if for every , then , hence by the above property (q.e.d).This shows that the application is well defined, and since for only finitely many A를 P {\의 요소에 의해 생성된 자유 아벨리안 그룹에 내장한 것이다Thus, using the multiplicative notation "" for the later group, there holds, for every , , where the are the elements of containing , and .
- 의 평가는 쌍으로 독립적이다.[4]그 결과, theorem,[5]은 중국인의 나머지 정리의 동족체:만약 p1, 쭉 펼쳐져 pn{\displaystyle{\mathfrak{p}}_{1},\ldots{\mathfrak{p}}P{P\displaystyle}의 _{n}}는 별개의 요소, x1,…)n{\displaystyle x_{1},\ldots}x_{n}은 소위 약한 근사 보유하고 있다. Kresp). 및 1 , 은 (는) 자연수이며, 그 x Kresp)가 있다. = i가 i{\i}.
- 만약 v()){\displaystyle v_{\mathfrak{p}}())p 2요소){A\displaystyle}의{\displaystyle)}및 y{이\displaystyle}}과v p(y){\displaystyle v_{\mathfrak{p}}(y)}이 아닌 둘 다>모든 p에 0{\displaystyle>0}∈ P{\displaystyle{\mathfrak{p}coprime 있다.}\in P 평가의 기본 속성은 좋은 동일성 이 A 에 들어 있음을 암시한다
- 의 모든 기본 이상에는 의 요소가 포함되어 있다[6]
- 지수 필드가 동일한 Krull 도메인의 유한 교차점은 다시 Krull 도메인이다.[7]
- 이(가) 의 하위 필드인 경우 은(는) Krull 도메인이다[8]
- 이(가) 0을 하지 않는 승수적으로 닫힌 집합이라면, - A S의 링은 다시 Krull 도메인이다.실제로 - 1 의 필수 평가값은 평가 이며 , = S이다[9]
- 이(가) 의 유한 대수적 확장이고 이 (가) 에서 A 의 일체형 닫힘인 경우 B은 Krumber이다.[10]
예
- 모든 고유한 요인화 도메인은 Krull 도메인이다.반대로 Krull 도메인은 키 1의 모든 주요 이상이 주 이상일 경우(그리고 만일 그럴 경우에만) 고유한 요인화 도메인이다.[11][12]
- 통합적으로 폐쇄된 모든 노에테리아 도메인은 크롤 도메인이다.[13]특히 디데킨드 도메인은 크롤 도메인이다.반대로 Krull 도메인은 통합적으로 폐쇄되므로, 통합적으로 폐쇄된 경우에만 Noetherian 도메인이 Krull이다.
- 이(가) Krull 도메인인 경우 링 A [ {\x과(와) 공식 파워 링 A [ 이[14]가) 모두 해당된다.
- 고유한 인자화 도메인 ,x , ,에 대한 무한히 많은 변수의 다항 링 은(는) 노메트리안이 아닌 Krull 도메인이다.
- Let be a Noetherian domain with quotient field , and be a finite algebraic extension of . Then the integral closure of in is a Krull domain (Mori–Nagata theorem).[15]이것은 위의 숫자 2에서 쉽게 따라온다.
- 을(를) 자리스키 반지(예: 로컬 노메트리안 반지)로 한다.완료 A 이 (가) Krull 도메인인 경우, 은 (모리) Krull 도메인이다.[16][17]
- 을(를) Krull 도메인으로 하고, 을(를) P A의 권한으로 구성된 승법적으로 닫힌 집합으로 한다 그러면 - 은 Krull 도메인(나가타)이다.[18]
크롤링의 디비저 클래스 그룹
이 (가) Krull 도메인이고 이(가) 해당 지수 필드라고 가정하십시오. 의 소수점(prime divisor)은 {\의 상위 1 이상이다후속편에서 의 소수점 세트는 ( )로 표시된다. 의 A(Weil) 디비저는 프라임 디비저의 공식 적분 선형 조합이다.They form an Abelian group, noted . A divisor of the form , for some non-zero in , is called a principal divisor. 의 주 구분자는 디비저 그룹의 하위 그룹을 형성한다(이 그룹이 에 대해 이형성이라는 것이 위에 나와 있다 여기서 은 의 단일성 그룹이다.주격분할체의 부분군에 의한 구분자 집단의 지수를 의 구분자 등급 집단이라고 하는데 보통 ( ) C로 표시된다
Assume that is a Krull domain containing . As usual, we say that a prime ideal of lies above a prime ideal of if 이것은 P 로 약칭된다
Denote the ramification index of over by , and by the set of prime divisors of . Define the application( )→ ( ) by D(B)}
(위의 합은 p 이(가) P(의 여러 요소에 포함되어 있으므로 유한하다.Let extend the application by linearity to a linear application . One can now ask in what cases induces a morphism . This leads to several results.[19]예를 들어, 다음은 가우스의 정리를 일반화한다.
j의: ( )→ ( [ X 는 비주사적이다.특히 이 (가) 한 인수 도메인이라면 A[ X 도 마찬가지다[20]
크롤링의 디비저 클래스 그룹은 또한 강력한 하강 방법, 특히 갈루아인 하강 방법을 설정하는 데 사용된다.[21]
카르티에 디비소르
크롤 반지의 카르티에 디비저는 지역적으로 주요한 디비저다.카르티어 디비저는 주 디비저를 포함하는 디비저 그룹의 하위 그룹을 형성한다.주격차(Cartier divisors)에 의한 카르티어 divisors의 몫은 디비저 등급 그룹의 부분군이며, 스펙(A)에 있는 회전 불가능한 피카르 그룹과 이형이다.
예: 링 k[x,y,z]/(xy–z2)에서 디비저 클래스 그룹은 디비저 y=z에 의해 생성된 순서 2를 가지지만, Picard 하위 그룹은 사소한 그룹이다.[22]
참조
- ^ 볼프강 크롤(1931년).
- ^ P. Samuel, Unique Factorization Domain, Organization 3.5에 대한 강의.
- ^ 이산 평가 은 ( )= N 일 경우 정상화된다고 하며 여기서 O 는 의 평가 링입니다 따라서 등가격 이산 평가의 모든 클래스는 고유한 정규화된 평가를 포함하고 있다.
- ^ If and were both finer than a common valuation of , the ideals and해당 평가 반지의 p2p2{\displaystyle A_{{\mathfrak{p}}_{2}}{\mathfrak{p}}_{2}}}그러므로 p 1{\displaystyle{\mathfrak{p}}_{1}}을 제대로 총리 이상 pw){)∈ K:w())>0},{\displaystyle{\mathfrak{p}}_{w}=\{x\in K:\와 같이 w())>, 0\}, 있을 것이다. _2}}:정의상A _의 이상 p를 할 수 있다
- ^ A에서 Hilbertian 필드의 국소 대수확장 교차점 Moshe Jarden을 참조한다.Barlotti 등, 그룹 및 기하학적 구조의 생성자 및 관계, Dordrecht, Kluwer, coll, NATO ASI 시리즈 C (no 333), 1991년, 페이지 343-405.온라인 읽기: 아카이브, 페이지 17, 프롭 4.4, 4.5 및 Rmk 4.6.
- ^ P. Samuel, Lemma 3.3의 고유한 요소화 영역에 대한 강의.
- ^ Idem, Prop 4.1 및 Corollary (a).
- ^ Idem, Prop 4.1 및 Corollary (b).
- ^ 이뎀, 프로펠러 4.2.
- ^ 이뎀, 프로펠러 4.5.
- ^ P. Samuel, Thm. 5.3 요인 반지에 대한 강의.
- ^ "Krull ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994], retrieved 2016-04-14
- ^ P. Samuel, Unique Factorization Domains에 대한 강의, Organization 3.2.
- ^ Idem, 발의안 4.3과 4.4.
- ^ Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006-10-12). Integral Closure of Ideals, Rings, and Modules. Cambridge University Press. ISBN 9780521688604.
- ^ 부르바키, 7.1, 10번, 발의안 제16호
- ^ P. Samuel, Thm. 6.5의 고유한 요소화 영역에 대한 강의.
- ^ P. Samuel, Thm. 6.3의 고유한 요소화 영역에 대한 강의.
- ^ P. Samuel, 독특한 요소화 영역에 대한 강의, 페이지 14-25.
- ^ 아이뎀, 6.4.
- ^ P. Samuel, P. 45-64의 고유 요소화 도메인에 대한 강의를 참조하십시오.
- ^ Hartshorne, GTM52, 사례 6.5.2, 페이지 133 및 사례 6.11.3, 페이지 142.
- N. Bourbaki. Commutative algebra.
- "Krull ring", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Krull, Wolfgang (1931), "Allgemeine Bewertungstheorie", J. Reine Angew. Math., 167: 160–196[영구적 데드링크]
- 마츠무라 히데유키, 정류 대수학.세컨드 에디션.수학 강의 노트 시리즈, 56.벤자민/쿠밍스 출판사, 주식회사, 리딩, 미사, 1980.xv+313 페이지ISBN 0-8053-7026-9
- 마쓰무라 히데유키, 교감 고리 이론.일본어에서 M이 번역했다.리드. 케임브리지 고등수학 연구, 8. 케임브리지 대학 출판부, 1986. xiv+320 pp.ISBN 0-521-25916-9
- Samuel, Pierre (1964), Murthy, M. Pavman (ed.), Lectures on unique factorization domains, Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics, vol. 30, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0214579