클레인 고정점 정리

질서와 격자 이론의 수학적 영역에서는 미국의 수학자 스티븐 콜 클레네의 이름을 딴 클레인 고정점 정리에서는 다음과 같이 기술하고 있다.

클레인 고정점 정리.$({\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$ ,${\displaystyle ⊑}$) ${\displaystyle (L,\sqsubseteq )}$이(가) 최소 요소를 가진 지시-완전한 부분 순서(dcpo)라고$$ 가정하고 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle L}$→ L ${\displaystyle f:$$L\to L}$은(는) 스콧 연속함수(따라서 단조함수)이다$$.그러면 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$은(는$)$ f. {\$displaystyle f$의 오름차순 클라인 체인의 우월성인 최소 고정점을 갖는다$$$.$$}$

f의 상승 클레인 체인은 체인이다.

$\displaystyle \sqsubseteq f(\bot )\sqsubseteq f(f(\bot )\sqsubseteq \cdots \sqsubseteq f^{n}(\bot )\sqsubsubseteq \cdots}}}}}$

L.의 최소요소 on에 대해 f를 반복하여 획득. 공식으로 표현하면, 정리에서는 다음과 같이 기술하고 있다.

${\displaystyle {\textrm {lfp}(f)=\supp \왼쪽(\f^{n})(\bot )\mid n\in \mathb {N}\right\}\right)}$

여기서 ${\displaystyle \text{lfp}}$ ${\$은(는) 가장 덜 고정된 지점을 가리킨다$$.

비록 타르의 고정된 포인트 정리 어떻게 고정된 점 일부 씨앗(또한, 이것 monotone 기능에 대한 완전한 lattices에 포함)에서 f를 반복 적용하여 계산할 수 있는지 고려하지 않을 경우, 이 결과 종종 타르 스키는 첨가제 기능을 위해 게다가[1], 클레이니 Fixed-Point 정리 monotone 기능까지 확대할 수 있은 그것을 증명하기 때문으로 풀이된다.우리인크린트 ^[2]트랜스피니트 반복

증명^[3]

$우리$는 먼저 f ${\displaystyle f}$의 오름차순 클라인 $체인$이 L$${\$displaystyle L$}에$$ 존재한다는 것을 보여줘야 한다$.$ 이를 위해 다음을 증명한다.

보조정리. $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$이($가{\displaystyle }$) 최소 요소를 가진 dcpo이고 ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle L}$→ L ${\displaystyle f:$$L\to L}$은(는) Scott-연속적이다. 그 ${\displaystyle \mathrm{다음}}$, ${\displaystyle f^{}\mathrm{(\perp }}$ )${\displaystyle ⊑}$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$+ 1 ${\displaystyle (\perp )}$, n ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$ ),$n\in \mathb {N} _{0$} _{0$}$

증거. 유도법을 사용한다.

• n = 0이라고 가정하십시오.그 $다음{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {f\mathrm{}}^{}}$ 0${\displaystyle {}^{}\mathrm{})}$) =${\displaystyle \mathrm{}}$f${\displaystyle {}^{}}$ f ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ (${\displaystyle \mathrm{})}$) ,$${\$displaystyle$ f$^{0}(\bot )=\bot \subseteq f^{1}(\bot }),$${\displaystystyle \bot$}}}}이$$(가$$)이(가 가장 작은 요소임).
• n > 0이라고 가정한다.Then we have to show that ${\displaystyle f^{n}(\bot )\sqsubseteq f^{n+1}(\bot )}$. By rearranging we get ${\displaystyle f(f^{n-1}(\bot ))\sqsubseteq f(f^{n}(\bot ))}$. By inductive assumption, we know that ${\display$$스타일 f^{n-1}(\bot )\sqsubseteq f^{n}(\bot )}$ hold$$, f는 모노톤(Scott-연속 함수의 속성)이기 때문에 결과도 hold이다.

Lemma의 코롤러리로서 우리는 다음과 같은 방향의 Ω체인을 가지고 있다.

${\displaystyle \mathb {M} =\\\bot,f(\bot ),f(\bot ),\ldots \}.}$

dcpo의 정의에서 $M{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$은(는)$m{\displaystyle }$. {\$displaystyle m$$.}$이$(가)$ 가장 덜 고정된 $지점임$을 보여주는 것이다.

First, we show that ${\displaystyle m}$ is a fixed point, i.e. that ${\displaystyle f(m)=m}$. Because ${\displaystyle f}$ is Scott-continuous, ${\displaystyle f(\sup(\mathbb {M} ))=\sup(f(\mathbb {M} ))}$, that is ${\displaystyle f(m)=\sup$$(f(\mathbb {M} ))}$. Also, since ${\displaystyle \mathbb {M} =f(\mathbb {M} )\cup \{\bot \}}$ and because ${\displaystyle \bot }$ has no influence in determining the supremum we have: ${\displaystyle \sup(f(\mathbb {M} ))=\sup(\mathbb {M} )}$. It follows that ${\displaystyle f(m)=}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f(m)=m$ $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$을(를) $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 고정 점으로 만든다$$$.$

$m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$이(가) $사실{\displaystyle \mathbb{}}$ 최소 고정점이라는 증거는 M ${\$의 어떤 요소도 $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle f}$의 고정점보다 작다는$$$$ 것을 보여줌으로써 수행할 수 있다($$우월성의 속성에 의해, $집합{\displaystyle }$ D${\displaystyle }${ ${\displaystyle L}${\$displaysty$ D$\subseteq$L}).$L{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $L}$의 nt과 ${\displaystyle sup}$(${\displaystyle D}$) ${\displaystyle \sup(D)}$이(가$) L$의 동일한 요소보다 작다$$.$$이 작업은 유도에 의해 수행된다.Assume ${\displaystyle k}$ is some fixed-point of ${\displaystyle f}$. We now prove by induction over ${\displaystyle i}$ that ${\displaystyle \forall i\in \mathbb {N} :f^{i}(\bot )\sqsubseteq k}$. The base of the induction ${\displaystyle (i=0)}$ obviously holds: ${\displaystyle f^{}}$${\displaystyle f^{0}(\bot )=\bot \sqsubseteq k,}$ since ${\displaystyle \bot }$ is the least element of ${\displaystyle L}$. As the induction hypothesis, we may assume that ${\displaystyle f^{i}(\bot )\sqsubseteq k}$. We now do the induction step:From the induction hypothesis and the monotonicity of ${\displaystyle f}$ (again, implied by the Scott-continuity of ${\displaystyle f}$), we may conclude the following: ${\displaystyle f^{i}(\bot )\sqsubseteq k~\implies ~f^{i+1}(\bot )\sqsubseteq f(k).$$}$ ${\displaystyle k}$이(가) $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle$ f$,}$의 고정점이라고 가정하면$$ $f{\displaystyle (}$k${\displaystyle }$) = $,$ {\$displaystyle$ $f$$(k)=k,}$을(를) 알 수 있으며$$, 여기서 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i^{}}$+ ${\displaystyle 1^{}}$(${\displaystyle \mathrm{}\perp )⊑.}$ ${\displaystyle$ f$^{i+1}(\subqseteq.$

참고 항목

• 기타 고정점 정리

참조