카이저 창

카이저-베셀 창으로도 알려진 카이저 창은 벨 연구소의 제임스 카이저에 의해 개발되었다. 유한 임펄스 응답 필터 설계 및 스펙트럼 분석에 사용되는 창 기능의 1-모수 제품군이다. 카이저 창은 주엽의^[1] 에너지 농도를 최대화하지만 계산이 어려운 DPSS 창과 근사하다.^[2]

정의

카이저 창과 그것의 푸리에 변환은 다음을 통해 주어진다.

${\displaystyle w_{0}(x)\triangleq \좌측\{\begin{array}{ccl}{\tfrac {1}{{1}{{L}}}}{\pi \nalpha {1-\좌측(2x/L\rig)^{2}}\우측]}}}{I_{0}[\pi \alpha ]}},\quad &\left x\right \leq L/2\\0,\quad &\left x\right >L/2\end{array}}\right\}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad {\frac {\sin {\bigg (}{\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\pi \alpha )^{2}}}{\bigg )}}{I_{0}(\pi \alpha )\cdot {\sqrt {(\pi Lf)^{2}-(\pi \alpha )^{2}}}},}$ ^[3][A]

여기서:

• 난₀ 제롯 주문 변형 베셀 함수야
• L은 윈도우 지속시간이고,
• α는 음이 아닌 실수로 창문의 모양을 결정한다. 주파수 영역에서는 주-로브 폭과 측엽 레벨 사이의 트레이드오프를 결정하는데, 이는 윈도우 설계에서 중심적인 결정이다.
• 때로는 카이저 창이 β에 의해 파라메트리되기도 하는데, 여기서 β = βα이다.

디지털 신호 처리를 위해 함수는 다음과 같이 대칭적으로 샘플링할 수 있다.

$w[n]=L\cdot w_{0}\좌({\tfrac {L}{N})(n-N/2)\우)={\frac {I_{0}\좌(\pi \pi \pi \pi \sqrt {1-\1-좌({\frac {2}}-1\우)^{2}}\\우]\우]}}}}{I_{0}[\pi \alpha ]},\quad 0\leq n\leq N,}$

여기서 창의 길이는 ${\displaystyle \mathrm{N}}$+ 1,${\displaystyle N+1,}$이고 N은 짝수 또는 홀수일 수 있다. (창 기능 목록 참조)

In the Fourier transform, the first null after the main lobe occurs at ${\displaystyle f={\tfrac {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}{L}},}$ which is just ${\displaystyle {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}}$ in units of N (DFT "bins"). α가 증가하면 주엽은 폭이 커지고 측엽은 진폭이 감소한다. α = 0은 직사각형 창에 해당한다. 큰 α의 경우 카이저 창(시간과 주파수 영역 모두)의 모양은 가우스 곡선을 그리는 경향이 있다. 카이저 창은 주파수 $.$ {\$displaystyle 0.}$ 주위에 피크 농도가 있다는 점에서 거의 최적이다.

카이저-베셀 파생(KBD) 창

관련 창 기능은 카이저-베셀 유래(KBD) 창으로, 수정된 이산 코사인 변환(MDCT)과 함께 사용하기에 적합하도록 설계되었다. KBD 창 함수는 길이 N+1의 카이저 창 단위로 다음 공식으로 정의된다.

${\displaystyle d_{n}={\begin{case}{\sqrt {\frrac {\i=0}^{nw[i]}{\sum _{i=0}^{N}w[]}}}}{{\mbox{{}}}}}{{{i=0}^{2N-1-n}w[i]}{\sum _{i=0}^{N}w[i]}}{{i=0}w[i]}}}}}}}}}&{\mbox{{}}{{}}N\leq n\leq 2N-1\\\0&{\mbox{otherwise}}}.\\end{case}}$

이는 길이 2N의 창을 정의하며, 여기서 시공 d는_n MDCT에 대한 프린센-브래들리 조건(w_N−n = w_n): d_n² + (d_n+N)² = 1(n과 n + N modulo 2N)을 만족한다. 또한 KBD 창은 MDCT: d_n = d에_2N−1−n 대해 적절한 방식으로 대칭적이다.

적용들

KBD 창은 Advanced Audio Coding 디지털 오디오 형식에서 사용된다.

메모들

참조

추가 읽기

• Harris, Fredric J. (Jan 1978). "On the use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform" (PDF). Proceedings of the IEEE. 66 (1): 73 (eq 46b). CiteSeerX 10.1.1.649.9880. doi:10.1109/PROC.1978.10837.
• Kaiser, James F.; Schafer, Ronald W. (1980). "On the use of the I₀-sinh window for spectrum analysis". IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing. 28: 105–107. doi:10.1109/TASSP.1980.1163349.
• Smith, J.O. (2011). "Spectral Audio Signal Processing, Kaiser and DPSS Windows Compared". ccrma.stanford.edu. Retrieved 2016-04-13.
• "Kaiser Window, R2018b". www.mathworks.com. Mathworks. Retrieved 2019-03-20.