등시성

동적 시스템의 수학적 이론에서 등시성은 모두 동일한 장기적 행동을 유발하는 시스템의 초기 조건 집합이다.^[1][2]

수학 등시성

소개 예

시간에 따라 진화하는$$ $솔루션{\displaystyle }$ y${\displaystyle }$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle y(t)}$에 대한 일반적인 미분 방정식을 고려하십시오.

${\dplaystyle {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}+{\frac {dy}{dt}=1}$

This ordinary differential equation (ODE) needs two initial conditions at, say, time ${\displaystyle t=0}$. Denote the initial conditions by ${\displaystyle y(0)=y_{0}}$ and ${\displaystyle dy/dt(0)=y'_{0}}$ where ${\displaystyle y_{0}}$ and ${\di$$splaystyle y'_{0}}$은(는) 일부 파라미터다. 다음 인수는 이 시스템의 이등시기가 여기에 있다는 것을 보여준다 y $0{\displaystyle {}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}{y\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ =${\displaystyle \text{상수}}$ ${\$ y_{$0}+$y'$_{0}={\mbox{constant$

상기 ODE의 일반적인 해결책은

${\displaystyle y=t+A+B\exp(-t)}$

이제, $시간$이 증가함에 따라${\displaystyle ,}$ t →${\displaystyle \mathrm{}}$∞ ${\displaystyle t\$t\$to \infit$ $\},$ 지수 용어는 매우 빠르게 0으로 감소한다(exponental decusion). 따라서 ODE의 모든 솔루션은 $y{\displaystyle }$→ ${\displaystyle t}$+ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle y\to t+A}$에 빠르게 접근한다$.$ 즉, 동일한 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 사용하는 모든 솔루션은 동일한 장기적 진화를 가진다$$. $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle }$- ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle B\exp(-t)}$ 용어의$$ 기하급수적인 붕괴는 동일한 장기적 진화를 공유하기 위한 다수의 해결책을 불러온다. 동일한 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$을(를) 갖는 초기 조건에 대해 답변하여 등시성을 찾으십시오$.$

At the initial time ${\displaystyle t=0}$ we have ${\displaystyle y_{0}=A+B}$ and ${\displaystyle y'_{0}=1-B}$. Algebraically eliminate the immaterial constant ${\displaystyle B}$ from these two equations to deduce that all initial conditions ${\disp$$레이스타일 y_{0}+y'_{0}=1+$$A}$은(는) $동일$한 A ${\displaystyle A}$을$($를) 가지므로$$ 동일한 장기적 진화를 가지며, 따라서 등시성을 형성한다.

정확한 예측에는 등시성이 필요하다.

등시성의 개념에 대한 좀 더 흥미로운 적용으로 돌아갑시다. 등시성은 동적 시스템 모델로부터 예측을 예측하려고 할 때 발생한다. 두 개의 결합된 일반 미분 방정식의 장난감 시스템을 고려하십시오.

${\dplaystyle {\frac {dx}{dt}=-xy{\text{} 및 }{{dt}}=-y+x^{2}:{2}}:$

기막힌 수학 수법은 정상적인 형태(수학) 변환이다.^[3] 여기서 원점 근처의 좌표 변환

${\displaystyle x=X+XY+\cdots {\text{ 및 }}y=Y+2Y^{2}+X^{2}+\cdots }$

새 변수$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$) ${\displaystyle(X,Y)}$을(를) 사용하여 동적 요소를 분리된 형태로 변환$$

${\dplaystyle {\frac {dX}{dt}}=-X^{3}+\cdots {\dY}{dt}}}=(-1-2X^{2}+\cdots )Y}$

따라서 원점 부근에 $있는{\displaystyle }$ Y ${\디스플레이$ 스타일 Y$}$의 방정식이 ${\displaystyle d}$ $Y{\displaystyle }$/ d ${\displaystyle t}$= ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle \text{마이너스})}$ ${\displaystyle Y}$ ${\디스플레이$ 스타일 $dY/dt=({\text{음성})$이므로 기하급수적으로 빠르게 0으로 해독된다$$.$Y}$. 따라서 장기적인 진화는 오로지 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 의해서만 결정된다$.$ $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$ 방정식이$$ 모델이다.

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$ 방정식을$$ 사용하여 미래를 예측해 봅시다. 원래 변수의 초기$$ 값$({\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle($${\displaystyle \mathrm{x\_}}$${0},y_{0}}})$을 지정할 경우: $X{\displaystyle }$( 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle X(0)}$에 대해 어떤 초기 값을 사용해야 하는가$?$ 답변: 동일한 장기적 진화를 가진$$ $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 위의 일반적인 형태에서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$과(와) 독립적으로 진화한다$.$ 따라서 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은$($는) 같지만 $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$은$($는) 다른 초기 조건들은 모두 동일한 장기적 진화를 가진다. $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) $수정$하고 Y ${\displaystyle Y}$을(를) 변경하면 $({\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$) ${\displaystyle(x,y)}$ 평면에서$$ 곡선 등시성을 얻을$$ 수 있다. For example, very near the origin the isochrons of the above system are approximately the lines ${\displaystyle x-Xy=X-X^{3}}$. Find which isochron the initial values ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ lie on: that isochron is characterised by some ${\displaystyle X_{0}}$; the i모델에서 항상 정확한 예측을 제공하는 질소 조건은 X${\displaystyle }$( ${\displaystyle 0}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ X$(0)=X_{0}}$이다$.$

당신은 인터랙티브 웹사이트를 통해 결정론적이고 확률론적인 일반 미분 방정식의 비교적 단순한 시스템에 대해 그러한 정상적인 형태 변환을 발견할 수 있을 것이다.[1]

참조