호비츠톰슨 추정기

통계학에서 호비츠는...Daniel G의 이름을 딴 Thompson 추정기.호비츠와 도노반 J.톰슨(^[1]Thompson)은 계층화된 표본에서 의사 모집단의 총합과^[2] 평균을 추정하는 방법입니다.역확률 가중치는 대상 모집단의 계층 내 관측치의 다른 비율을 설명하기 위해 적용된다.더 호비츠-톰슨 추정기는 조사 분석에 자주 적용되며, 결측 데이터뿐만 아니라 불평등한 선택 확률의 많은 출처를 설명하는 데 사용될 수 있다.

방법

공식적으로,${\displaystyle {}_{}{Y}_{}}$ ${\displaystyle i}$, ${\displaystyle \mathrm{i}}$ ${\displaystyle =1}$,${\displaystyle }$2, $…,$ ${\displaystyle n}$ {\$displaystyle Y_{i$},$i=1,2,\ldots,$n$$}을 공통 평균 μ를 갖는 N µn 구별 계층의 n으로부터 독립된 표본이라고 $하자{\displaystyle {}_{}}$.${\displaystyle {또한}_{}}$ § i$\$ _${i}$가 슈퍼 모집단에서 무작위로 샘플링된 개체가 ith 지층에 속할 확률이라고 가정합니다.Hansen and Hurwitz(1943)의 총 추정치는 다음과 ^{[3]: 51} 같다.

${\displaystyle\hat {Y}}_{HT=\sum _{i=1}^{n}\pi _{i}^{-1}Y_{i}}$

그리고 호비츠-톰슨 평균 추정치는 다음과 같습니다.

$디스플레이 스타일HT}=N^{-1}{\hat {Y}}_{HT}=N^{-1}\sum_{i=1}^{n}\pi_{i}^{-1}Y_{i}}$

베이지안 확률론적 ${\displaystyle {프레임워크}_{}}$에서 i$\$ _${i}$는 ih 지층에 속하는 대상 모집단에서 개인의 비율로 간주된다.${\displaystyle {따라서}_{}^{}}$ §${\displaystyle {}_{}^{}}$i - ${\displaystyle {}_{}^{}{}_{}}$ ${\displaystyle {Yi}_{}}$\ $displaystyle$\$pi$_ { $i$}^{ - $1$}$Y_{i}}$는 ih 지층 내 전체 표본의 추정치라고 생각할 수 있다.더 호비츠-톰슨 추정치는 또한 평균의 가중 부트스트랩 재샘플링 추정치의 한계로 표현될 수 있다.이는 다중 귀속 ^[4]접근법의 특수한 경우로도 볼 수 있다.

포스트스트레이티드 스터디 설계의 $경우{\displaystyle }$, $†$ {$displaystyle \pi$$}$ 및 μ${\displaystyle$ \$mu{\displaystyle }$ $}$의 추정이 구별되는 단계로 이루어집니다.이 경우 ${\displaystyle {\mu }_{}}$^ ${\displaystyle H_{}}$T {\ $displaystyle${\$hat$ { mu }} $_${$HT}$는 간단하지 않습니다.부트스트랩이나 잭나이프와 같은 재샘플링 기술을 적용하여 Horvitz의 분산에 대한 일관된 추정치를 얻을 수 있습니다.톰슨 추정자.^[5]R을 위한 "조사" 패키지는 Horvitz를 사용하여 사후 계층화 데이터를 분석한다.톰슨 추정자.^[6]

Horvitz-Thompson 평균 치우침 추정의 증명

더 호비츠-톰슨 추정기는 Horvitz-의 기대치를 평가할 때 편견이 없는 것으로 나타날 수 있다.톰슨 추정기, $E{\displaystyle \mathbf{}}$ X${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}^{}x{\stackrel{}{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle n_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ { $displaystyle$\ $mathbf${ $E }$ { $bar$ {$X } _$ { $n$}^{$HT$ 다음과 같습니다.

${\displaystyle \mathbf {E} {\bar {X}}_{n}^{HT=\mathbf {E}({frac {1}{N})\sum _{i=1}^{n}{\frac {mathbf {X}_{I_{i}}}{\pi _{I_{i}}}}}}$

${\displaystyle =\mathbf {E} {{N}} \sum _{i=1}^{N} {\frac {X_{i}} {\pi _{i}}1_{i\in D_{n}}}}$

${\displaystyle =\sum _{b=1}^{B(b)}P(D_{n}^{(b)})\left[{\frac {1}{N}{\frac {X_{i}}{\pi _{i}}1_{i\in D_{n}^{n}(오른쪽}}}}}}\}}}}\sum$

${\displaystyle = specfrac {1}{N}\sum _{i=1}^{N}{\pi _{i}}\sum _{b=1}^{B}1_{i\in D_{n}^{(b)}}}}P(D_{n}^{n}^{n})}$

${\displaystyle = flac {1}{N}\sum _{i=1}^{N}\left({\flac {X_{i}}}\right)\pi _{i}}}\pi _{i}}}\pi _{i}}\pi _{i}}$

${\displaystyle = flac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}$

${\displaystyle {where}~D_{n}=\{x_{1},x_{2},...x_{n}\}$

Hansen-Hurwitz(1943)는 Horvitz보다 열등한 것으로 알려져 있다.다수의 IPPS(Inclusion Probabilities Problities to Size) 표본 추출 절차와 관련된 ^[7]Thompson(1952) 전략.

레퍼런스

외부 링크

• R용 설문조사 패키지 웹사이트