동질적 연결성

대수적 위상에서 호몰로지 연결은 호몰로지 그룹에 기초하여 위상학적 공간을 설명하는 속성이다.이 속성은 그래프 연결 및 위상 연결의 속성보다 관련되지만 더 일반적이다.위상학적 공간 X의 동질적 연결성에 대한 많은 정의가 있다.^[1]

정의들

기본 정의

X는 0번째 호몰로지 그룹이 Z와 같을 경우, 즉 동질학적으로 연결되어 있다. $H_{0}(X)\cong \mathbb {Z}$ $H_{0}(X)\cong \mathbb {Z}$ ( $H_{0}(X)\cong \mathbb {Z}$ ) $H_{0}(X)\cong \mathbb {Z}$ Z ${\$ 또는 동등하게 0번째 감소된 호몰로지 그룹은 사소한 것이다. ${\tilde {H_{0}}}(X)\cong 0$ . When X is a graph and its set of connected components is C, $H_{0}(X)\cong \mathbb {Z} ^{ C }$ and ${\tilde {H_{0}}}(X)\cong \mathbb {Z} ^{ C -1}$ (자세한 내용은 그래프 호몰로지 참조).따라서 동역학적 연결성은 그래프에 연결된 단일 구성요소가 있는 것과 동일하며, 이는 그래프 연결과 동일하다.그것은 연결된 공간의 개념과 비슷하다.

, 만약 그것이 homologically-connected Xhomologically고, 게다가 그1-th 호몰 로지군 하찮은 것, 즉 ≅ vertex-set V와 X는 연결된 그래프와 edge-set 0{\displaystyle H_{1}(X)\cong 0}일 경우 .[1]E, H1H1(X)(X)≅ ZE− V+1{\displaystyle H_{1}(X)\cong \mathbb{Z}^{E1-connected은 -V $+1}}$ .따라서 동질 1 연결성은 그래프가 나무인 것과 같다.비공식적으로 X에 1차원 '구멍'이 없는 것에 해당하는데, 이는 단순히 연결된 공간의 개념과 유사하다.

일반적으로, 어떤 정수 k에 대해 X는 그 축소된 호몰로지 그룹이 모두 0, 1, ..., k이면 동질적으로 k 연결된다.감소된 호몰로지 그룹은 1,..., k에 대한 호몰로지 그룹과 같다는 점에 유의하십시오(0번째 감소된 호몰로지 그룹만 다름).

conn_H(X)으로 표시된 X의 동질적 연결은 X가 동질적으로 k로 연결된 가장 큰 k이다.X의 모든 감소된 호몰로지 그룹이 사소한 것이라면 conn_H(X)은 무한대로 정의된다.반면에, 모든 감소된 동종학 집단이 비종교적이라면, conn_H(X)은 -1로 정의된다.

변형

일부 저자는 2, 즉 $\eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2$ $\eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2$ ( $\eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2$ ) $\eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2$ $\eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2$ $\eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2$ ( $\eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2$ ) $\eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2$ + 2 $\eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2$ 만큼 이동된 동질적 연결을 정의한다 $\eta _{H}(X):={\text{conn}}_{H}(X)+2$ ^[2]

기본 정의에서는 정수 계수를 갖는 동종학 그룹을 고려한다.다른 계수를 가진 동종학 그룹을 고려하는 것은 연결의 다른 정의로 이어진다.예를 들어, X는₂ F의 계수를 가진 첫 번째 호몰로지 그룹(크기 2의 순환계수)이 사소한 경우, 즉 다음과 같은 경우 F-호몰리학적으로₂ 1-연결된다. $H_{1}(X;\mathbb {F} _{2})\cong 0$ $H_{1}(X;\mathbb {F} _{2})\cong 0$ ( $H_{1}(X;\mathbb {F} _{2})\cong 0$ ; $H_{1}(X;\mathbb {F} _{2})\cong 0$ 2 $H_{1}(X;\mathbb {F} _{2})\cong 0$ ) $H_{1}(X;\mathbb {F} _{2})\cong 0$ $H_{1}(X;\mathbb {F} _{2})\cong 0$ ${\displaystyle H_{1}(X;\mathb {F} _{2}\cong 0$

특정 공간의 동질적 연결성

단순 복합체의 동질학적 연결에 대해서는 단순 동질학을 참조한다.다음을 포함한 다양한 공간에 대해 동질적 연결이 계산되었다.

그래프의 독립성 복합체;^[3]^[4]
무작위 2차원 단순 복합체;^[1]
무작위 k-차원 단순 복합체;^[5]
무작위 하이퍼그래프;^[6]
무작위 치치 콤플렉스.^[7]

참고 항목

메술람의 게임은 G 그래프에서 하는 게임으로 G의 독립성 복합체의 동질적 연결성에 대한 하한을 계산하는 데 사용할 수 있다.

참조

^ ^a ^b ^c Linial*, Nathan; Meshulam*, Roy (2006-08-01). "Homological Connectivity Of Random 2-Complexes". Combinatorica. 26 (4): 475–487. doi:10.1007/s00493-006-0027-9. ISSN 1439-6912. S2CID 10826092.
^ Aharoni, Ron; Berger, Eli; Kotlar, Dani; Ziv, Ran (2017-10-01). "On a conjecture of Stein". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 87 (2): 203–211. doi:10.1007/s12188-016-0160-3. ISSN 1865-8784. S2CID 119139740.
^ Meshulam, Roy (2003-05-01). "Domination numbers and homology". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 102 (2): 321–330. doi:10.1016/s0097-3165(03)00045-1. ISSN 0097-3165.
^ Adamaszek, Michał; Barmak, Jonathan Ariel (2011-11-06). "On a lower bound for the connectivity of the independence complex of a graph". Discrete Mathematics. 311 (21): 2566–2569. doi:10.1016/j.disc.2011.06.010. ISSN 0012-365X.
^ Meshulam, R.; Wallach, N. (2009). "Homological connectivity of random k-dimensional complexes". Random Structures & Algorithms. 34 (3): 408–417. arXiv:math/0609773. doi:10.1002/rsa.20238. ISSN 1098-2418. S2CID 8065082.
^ Cooley, Oliver; Haxell, Penny; Kang, Mihyun; Sprüssel, Philipp (2016-04-04). "Homological connectivity of random hypergraphs". arXiv:1604.00842 [math.CO].
^ Bobrowski, Omer (2019-06-12). "Homological Connectivity in Random Čech Complexes". arXiv:1906.04861 [math.PR].

[:0-1] Linial*, Nathan; Meshulam*, Roy (2006-08-01). "Homological Connectivity Of Random 2-Complexes". Combinatorica. 26 (4): 475–487. doi:10.1007/s00493-006-0027-9. ISSN 1439-6912. S2CID 10826092.

[2] Aharoni, Ron; Berger, Eli; Kotlar, Dani; Ziv, Ran (2017-10-01). "On a conjecture of Stein". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 87 (2): 203–211. doi:10.1007/s12188-016-0160-3. ISSN 1865-8784. S2CID 119139740.

[:02-3] Meshulam, Roy (2003-05-01). "Domination numbers and homology". Journal of Combinatorial Theory, Series A. 102 (2): 321–330. doi:10.1016/s0097-3165(03)00045-1. ISSN 0097-3165.

[4] Adamaszek, Michał; Barmak, Jonathan Ariel (2011-11-06). "On a lower bound for the connectivity of the independence complex of a graph". Discrete Mathematics. 311 (21): 2566–2569. doi:10.1016/j.disc.2011.06.010. ISSN 0012-365X.

[5] Meshulam, R.; Wallach, N. (2009). "Homological connectivity of random k-dimensional complexes". Random Structures & Algorithms. 34 (3): 408–417. arXiv:math/0609773. doi:10.1002/rsa.20238. ISSN 1098-2418. S2CID 8065082.

[6] Cooley, Oliver; Haxell, Penny; Kang, Mihyun; Sprüssel, Philipp (2016-04-04). "Homological connectivity of random hypergraphs". arXiv:1604.00842 [math.CO].

[7] Bobrowski, Omer (2019-06-12). "Homological Connectivity in Random Čech Complexes". arXiv:1906.04861 [math.PR].

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