히크시안 디맨드 함수

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미시경제학에서 소비자의 힉시안 수요 함수 또는 재화에 대한 보상 수요 함수는 고정된 수준의 효용성을 제공하면서 모든 재화에 대한 지출을 최소화하기 위한 해결책의 일부로 요구된 수량이다. 본질적으로, 히크시안 수요 함수는 재화의 가격 변동에 대해 경제적 대리인이 어떻게 반응할지를 보여준다. 만일 대리인의 수입이 재화의 가격 변동에 앞서 대리인에게 동일한 효용을 보장하도록 보상되었다면, 대리인은 g의 가격 변동을 전후하여 동일한 무관심 곡선을 유지하게 될 것이다.우드. 함수의 이름은 존 힉스의 이름을 따서 지어졌다.

수학적으로,^[1]

${\displaystyle h(p,{\bar {u})=\arg \min _{x}\sum _{i}p_{i}x_{i}}}}}}}}}$

${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ ${\displaystyle \mathrm{b}}$ ${\displaystyle \mathrm{j}}$ e ${\displaystyle \mathrm{c}}$ ${\displaystyle \text{t}\mathrm{}}$ t ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle (}$x )$u$ ${\displaystyle u\stackrel{}{}}$u u u${\$rm ${subject~to}\ \u(x)\geq {\bar {u$

여기서 h(p,u)는 가격 벡터 p와 유틸리티 수준 $'{\$에서 요구되는 힉시안 수요함수 또는 상품다발이다$.$ 여기서 p는 가격의 벡터(vector)이며, x는 수요량의 벡터(vector)이므로 모든 px의_ii 합은 모든 상품에 대한 총지출이다. (주: 주어진 효용에 대한 지출을 최소화하는 수량의 벡터가 둘 이상일 경우, 우리는 함수보다는 히크시안 수요 대응책을 가지고 있다.)

히크시안 수요 함수는 아래에서 설명한 바와 같이 소비자 실질소득이 가격 상승에 의해 감소되는 효과와 결합하는 마셜 수요 함수와 대조적으로 상품의 수요량에 대한 상대적 가격의 영향을 분리하는 데 유용하다.

다른 기능과의 관계

히크시안 수요 함수는 소득이나 부를 대표할 필요가 없기 때문에 수학 조작에 편리한 경우가 많다. 또한 최소화할 함수는 ${\displaystyle x_{}}$ $i{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에서 선형이며$,$ 이는 보다 간단한 최적화 문제를 제공한다. 그러나 주어진 가격 p와 ${\displaystyle w}$을(를) 설명하는$$ $x{\displaystyle (p}$ ,${\displaystyle w}$)$${\$displaystyle x(p,w)}$ 형식의 마샬리언 요구 함수는 직접 관측하기가 더 쉽다$$. 두 사람은 에 의해 연관되어 있다.

${\displaystyle h(p,u)=x(p,e(p,u)),\ }$

여기서 $e{\displaystyle (p}$ ,${\displaystyle u}$) ${\displaystyle e(p,u)}$은 지출 함수(특정 효용 수준에 도달하는 데 필요한 최소 부를 제공하는 함수)이며$$, 다음을 통해

${\displaystyle h(p,v(p,w)=x(p,w)\}$

여기서 $v{\displaystyle }$( ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle w}$) ${\displaystyle v(p,w)}$은 간접 효용 함수(고정 가격 체제 하에서 주어진 부를 갖는 효용 수준을 제공한다). 그들의 파생상품은 슬루츠키 방정식에 의해 보다 근본적으로 연관되어 있다.

마샬의 요구는 유틸리티 최대화 문제에서 나오는 반면, 히크시안 요구는 지출 최소화 문제에서 나온다. 두 문제는 수학적인 이중성이며, 따라서 이중성 정리는 위에서 설명한 관계를 증명하는 방법을 제공한다.

히크시안 수요 함수는 지출 함수와 밀접하게 관련되어 있다. 소비자의 효용 함수 $u{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle u(x)}$이(가) 국소적으로 비매칭되고 엄격히 볼록한 경우$$, Shephard의 보조정리기로 $h{\displaystyle (p}$ ,${\displaystyle u}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}(p}$ ,${\displaystyle u).}$ ${\displaysty h(p,u)=\nabla _{p}e($p,$u)$가 사실이다$.$$}$

히크시안 수요 및 보상 가격 변동

마샬의 수요곡선은 수요량에 대한 가격변화의 영향을 보여준다. 보통 재화의 가격이 상승하면, 그 재화의 수요량은 감소하겠지만, 모든 경우에 그렇지는 않다. 물가 상승은 대체효과와 소득효과가 모두 있다. 대체 효과는 예산 제약의 경사를 변경하지만 소비자는 동일한 무관심 곡선(즉, 동일한 수준의 효용)에 놓이게 되는 가격 변화로 인한 수요량 변화다. 대체 효과는 항상 그 상품을 덜 사는 것이다. 소득효과는 가격변동이 소비자의 총 구매력에 미치는 영향에 따른 수요량 변화다. 마샬의 수요 기능은 소비자의 명목소득이 일정하게 유지되기 때문에, 가격이 상승하면 실질소득이 감소하고 그가 더 가난해진다. 문제가 된 상품이 정상적인 상품이고 가격이 오르면 구매력 하락에 따른 소득 효과는 대체 효과를 강화한다. 재화가 열등재라면 소득효과는 대체효과와 어느 정도 상쇄된다. 굿이 기펜 굿이라면 소득 효과가 워낙 강해 가격이 오르면 마셜이 요구하는 수량이 늘어난다.

힉시안 수요 함수는 소비자가 동일한 무관심 곡선에서 일부 묶음을 구입할 수 있는 가격 상승 후 정확히 충분한 추가 수입으로 보상받는다고 가정하여 대체 효과를 격리한다.^[2] 히크시안 수요 함수가 마샬의 수요보다 더 가파르면, 상품은 정상적인 상품이고, 그렇지 않으면 상품이 열등하다. 힉시안적 요구는 항상 기울어진다.

수학적 특성

소비자의 유틸리티 함수 $u{\displaystyle (x}$) ${\displaystyle u(x)}$이(가) 연속적이고 로컬로 비매칭 선호 관계를 나타내는 경우, 힉시안 요구 대응 h${\displaystyle (}p{\displaystyle }$ ,${\displaystyle u}$) ${\displaystyle h(p,u)}$은 다음 속성을 만족한다$$.

p에서 나 균일성 정도의 0:모든 a>로 0{\displaystyle a>0}, h(는 p,마))h(p,마){\displaystyle h(ap,u)=h(p,u)}. 왜냐하면 최소화한다 같은 x∑ 나는 p 나는 x 나는{\displaystyle \sum_{나는}p_{나는}x_{나는}}또한 ∑을 최소화시켜 나는 나는 x 나는{\displaystyle \sum_{나는}ap_{나는}x_{나는}}s이것은ubject 같은 ^[3]제약으로

ii. 초과 수요 없음: 제약조건 $u{\displaystyle (h}$ x $'{\$는 엄격하게 동등하게 유지되며$$, $u{\displaystyle (x}$) = ${\$ 이것은 효용 함수의 연속성에서 온다. 비공식적으로, 그들은 유틸리티가 정확히 $''{\$이(가) 될 때까지 지출을 줄일 수 있었다$.$

참고 항목

• 마셜 요구 함수
• 볼록스 선호도
• 지출 최소화 문제
• 슬루츠키 방정식
• 이중성(최적화)

참조

• Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael & Green, Jerry (1995). Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1.