그룹 속도 분산

광학에서, 그룹 속도 분산(GVD)은 분산 매체의 특성으로, 매체가 그것을 통과하는 광학적 펄스의 지속시간에 어떻게 영향을 미치는지 결정하기 위해 가장 자주 사용된다.형식적으로, GVD는 각도 주파수와 관련하여 재료에서 빛의 그룹 속도 역의 파생물로 정의된다.^[1][2]

${\displaystyle {\textrm {GVD}(\omega _{0})\equiv {\frac \partial \partial \partial \}}{\frac {1}{v_{g}(\omega )}\\\\omega={0},},}$

여기서 $\Omega {\displaystyle }$ ${\displaystyle \omega }$ 및 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은 각도 주파수이며, 그룹 속도 ${\displaystyle v_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ (${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle }$) ${\displaystyle v_{g}(\$$omega$)${\displaystyle \Omega }$ / $∂$ $\omega {\displaystyle {}_{}}$ ω ${\displaystyle k}$ {\$displaystystylease v_{g}$로 정의된다$.$그룹 속도 분산 단위는 [시간]/[²거리]로, 종종 fs²/mm로 표현된다.

동등하게, 그룹 속도 분산은 다음에 따라$$ 중의존파 벡터 $k{\displaystyle }$(${\displaystyle \Omega }$ )${\displaystyle$ k$(\omega )}$의 관점에서 정의될 수 있다.

${\displaystyle {\textrm {GVD}(\omega _{0})\equiv \left({\frac {\partial ^{2}k}{\partial \omega ^{2}}\\오른쪽)_{\omega =\0},}}$

또는 다음과 같은$$ 굴절률 $n{\displaystyle }$ (${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle$ n$(\omega )}$의 측면에서

${\displaystyle {\textrm {GVD}}(\omega _{0})\equiv {\frac {2}{c}}\left({\frac {\partial n}{\partial \omega }}\right)_{\omega =\omega _{0}}+{\frac {\omega _{0}}{c}}\left({\frac {\partial ^{2}n}{\partial \omega ^{2}}}\right)_{\omega =\omega _{0}}.}$

적용들

그룹 속도 분산은 관심 물질을 통과한 후 빛의 맥박에 부과될 처마의 양을 추정하는 데 가장 일반적으로 사용된다.관련 표현은 다음과 같다.

${\displaystyle {\textrm {chirp}}=({\textrm {material}\,\,{\textrm {thickness})\,\time \, {\text {bandwidth}\, {\textwidth}).}$

파생

펄스 처프 결정에 GVD를 어떻게 사용할 수 있는지를 보여주는 간단한 그림은 두께 d의 평면적 매체를$$ 통과하는 지속시간$\sigma {\displaystyle }$ {\$displaystyle \sigma }$의 변환 제한 펄스의 효과를 보면 알 수 있다.매체를 통과하기 전에 모든 주파수의 위상 오프셋이 시간 내에 정렬되며, 맥박은 표현에 따른 시간의 함수로 설명할 수 있다.

$[\displaystyle E(t)=Ae^{-{\frac{t^{2}}:{4\sigma^{2}}:e^{-i\omega_{0}t}}}$

또는 식에 따른 빈도의 함수로서 동등하게

${\displaystyle E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0})^{2}}:{4(1/2\sigma )^{2}}:}$

(모수 A와 B는 정규화 상수임).매체를 통과하면 ${\displaystyle \Delta (\Omega }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (\Omega }$) d ${\displaystyle \Delta \phi(\omega )=k(\$omega )=k(\$omega )d}$이($$가)가 발생하므로, 중후 펄스는 다음과 같이 설명할 수 있다.

${\displaystyle E(\omega )=Be^{-{\frac {(w-w_{0}})^{2}}:{{4(1/2\sigma )^{2}}:e^{ik(\omega )d}.}$

In general, the refractive index ${\displaystyle n(\omega )}$, and therefore the wave vector ${\displaystyle k(\omega )=n(\omega )\omega /c}$, can be an arbitrary function of ${\displaystyle \omega }$, making it difficult to analytically perform the inverse Fourier transform back into the time d그러나 펄스의 대역폭이 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n$의 곡률에 비해 좁은 경우, 굴절률의 충격에 대한 좋은 근사를 k (${\displaystyle \Omega }$ $){\displaystyle k(\omega)}$를 ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 0$${\$displaystyle \omega_{0}$을 중심으로 테일러 팽창으로 교체하여 얻을 수 있다$.$

${\displaystyle {\frac {n(\omega )\omega }{c}}=\underbrace {\frac {n(\omega _{0})\omega _{0}}{c}} _{k(\omega _{0})}\quad +\quad \underbrace {\left[{\frac {n(\omega _{0})+n'(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\right]} _{k'(\omega _{0})}(\omega -\omega _{0})\quad +\quad {\frac {1}{2}}\underbrace {\left[{\frac {2n'(\omega _{0})+n''(\omega _{0})\omega _{0}}{c}}\\right]} _{\textrm {GVD}(\omega -\omega _{0}^{2}\quad +\quad...}$

이 식을 잘라서 중간 주파수 영역 이후 식에 삽입하면 다음 중간 시간 도메인 식이 생성된다.

${\$$A_{post}\exp \left[-{\frac {(t-k')(\omega _{0}d)$$^{2}}:{2}(\sigma ^{2}-i\,{\textrm {GVD}\,d/2)}}}}\ri[k(\omega _{0}d-\omega _{0}t$

균형 상태에서 펄스는 다음 강도 표준 편차 값으로 연장된다.

${\displaystyle \sigma _{post}={\sqrt {\sigma ^{2}+\left[d\,\time\{GVD}(\omega _{0})\,\time \,\time\, \{\frac{1}{2\sigma \rigma \오른쪽)^2}}$

따라서 초기 식을 검증한다.변환 제한 펄스 σσ_tt = 1/2이므로 1/(2_t()을 대역폭으로 식별하는 것이 적절하다는 점에 유의하십시오.

대체 파생

GVD가 역군 속도의 파생에 의해 정의될 수 있는 이유를 보다 즉각적으로 보여주는 펄스 짹짹과 GVD의 관계를 대체적으로 도출하는 방법은 다음과 같이 요약할 수 있다.초기에 중복되는 반송파 주파수 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 및$$ ${\displaystyle {\Omega \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}의 변환 제한 펄스를 고려하십시오$.$이 두 펄스는 매체를 통과한 후, 다음과 같은 방법으로 각 펄스-엔벨로브 중심 사이의 시간 지연을 나타낸다.

${\deltayle \D=d\left({\frac {1}{v_{g})(\omega_{2})}-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1}}}}}\오른쪽).}$

그 표현은 테일러 팽창으로 대략 추정할 수 있으며,

${\displaystyle \Delta T=d\left({\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}+{\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {1}{v_{g}(\omega ')}}\right)_{\omega '=\omega _{1}}(\omega _{2}-\omega _{1})-{\frac {1}{v_{g}(\omega _{1})}}\right),}$

또는

${\displaystyle \Delta T=d\,\time \,{\textrm {GVD}(\omega _{1})\,\time \,\time \,(\omega _{2}-\omega _{1}).}$

여기서 이 표현을 두 개의 펄스로 무한히 많은 펄스로 스케일링하는 것을 상상할 수 있다.주파수 차이 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ -${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$1}은 대역폭으로 대체되어야 하며$$, 시간 지연 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta$ T$}$은 유도 처프(chirp)로 진화한다$$.

그룹 지연 분산

밀접하지만 독립적인 수량은 그룹 지연 분산(GDD)으로, 그룹 속도 분산은 단위 길이당 그룹 지연 분산으로 정의된다.GDD는 일반적으로 레이어드 미러 특성화에 매개변수로 사용되는데, 여기서 그룹 속도 분산은 특별히 잘 정의되어 있지 않지만 거울에서 튕겨 나간 후 유발되는 처림은 잘 특징지어질 수 있다.그룹 지연 산포의 단위는 [시간]이며,² 종종² fs로 표현된다.

광소자의 그룹지연분산(GDD)은 각도 주파수에 관한 그룹지연의 파생상품이며, 광상에서의 두 번째 파생상품이기도 하다.${\displaystyle D_{2}(\omega )=-{\frac {\partial T_{g}}{d\omega }}={\frac {d^{2}\phi }{d\omega ^{2}}}}$. It is a measure of the chromatic dispersion of the element.GDD는 다음과 같이$$ 총 $산포{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{파라미터}}_{}}$ D ${\displaystyle t_{}}$o t {\$displaystyle D_${tot$}$와 관련이 있다.

외부 링크

• 온라인 굴절률 데이터베이스: [1]
• RP Photonics 백과사전: [2]
• 백색광 간섭계에 의한 상업용 광분산 측정

참조