그리드 브레이싱

구조 강성의 수학에서 격자 브레이싱은 사각 격자에 교차 브레이싱을 추가하여 강체 구조로 만드는 문제다.초당적 그래프의 연결성에 관한 그래프 이론의 문제로 번역하면 최적으로 해결할 수 있다.^[1][2][3]

문제명세서

$문제$는 r ${\displaystyle r}$ 행과$$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$ 열로 구성된 사각 격자$$ 형태의 프레임워크를 고려한다.격자에는 $r{\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{c}}$+ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+${\displaystyle }$( r${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle \mathrm{c}}$ ${\displaystyle r(c+1)+(r+$1)+(r+$1)c}$개의$$ 가장자리가 있는데, 각각 단위 길이를 가지며, 유클리드 평면 내에서 연속적으로 이동할 수 있지만 길이를 변경할 수는 없다.이 막대들은 그리드의 (${\displaystyle r}$+ 1${\displaystyle }$) ${\displaystyle (c}$+ ${\displaystyle 1}$) $(\디스플레이$ 스타일 $(r+1)$ $(c+1)}$ 정점에서$$ 유연한 이음매에 의해 서로 부착된다.이 프레임워크의 유효한 연속 동작은 동일한 길이와 동일한 부착물을 유지하되 사각형을 형성할 필요는 없는 방법으로 가장자리와 관절의 평면 배치를 지속적으로 변화시키는 방법이다.대신에 격자의 각 사각형은 변형되어 광맥을 형성할 수 있으며, 전체 격자는 그림에서와 같이 얼굴 각각에 대해 다른 모양을 가진 불규칙한 구조를 형성할 수 있다.^[1][2][3]

정사각형과 달리, 강체 로드와 유연한 이음매로 만들어진 삼각형은 모양을 바꿀 수 없다: 길이가 같은 두 개의 삼각형은 일치해야 한다(이것은 SSS 가정법이다).정사각형이 대각선 중 하나를 또 하나의 단단한 막대기로 추가하여 교차대각형인 경우 대각선은 그것을 비슷하게 형체를 바꿀 수 없는 두 개의 삼각형으로 나누기 때문에, 정사각형은 교차대각형 골격의 어떤 연속적인 움직임을 통해서도 정사각형을 유지해야 한다.(동일한 틀은 두 개의 t를 접음으로써 다른 방법으로 평면에 배치될 수도 있다.공유된 대각선 위로 서로 리앙글하지만, 이 접힌 위치는 연속적인 움직임으로 얻을 수 없다.)마찬가지로, 주어진 그리드의 모든 정사각형이 동일한 방식으로 교차 브레이싱된 경우 그리드는 형태를 바꿀 수 없다. 그리드의 유일한 연속적인 동작은 그것을 회전시키거나 하나의 단단한 몸체로 번역하는 것이다.그러나, 모든 사각형에 교차 브레이스를 추가하여 그리드를 단단하게 만드는 이 방법은 필요 이상으로 훨씬 더 많은 교차 브레이스를 사용한다.그리드 브레이싱 문제는 전체 프레임워크를 경직되게 만드는 것과 동일한 효과를 갖는 교차 브레이스의 최소 집합에 대한 설명을 요구한다.^[1][2][3]

그래프 이론적 해법

Ethan Bolker와 Henry Breaking 문제(1977)가 원래 관찰한 바와 같이, 그리드 브레이싱 문제는 주어진 그리드의 각 행과 열에 꼭지점, 그리드의 각 교차 브레이싱 사각형에 가장자리가 있는 비간접적인 양분 그래프를 고려함으로써 그래프 이론에서 문제로 번역될 수 있다.그들은 이 초당적 그래프가 연결된 경우에만 교차 브레이스 그리드가 견고하다는 것을 증명했다.따라서 그리드의 최소 교차 브레이싱은 그래프의 모든 정점을 연결하는 트리에 해당하며, $정확히{\displaystyle }$r +${\displaystyle \mathrm{c}}$ - 1$${\$displaystyle r+c-1}$ 교차$$ 브레이싱된 사각형을 가지고 있다.오버브레이되지만 경직된 크로스브레이싱(교차브레이싱 사각형의 수가 이 수보다 많음)은 그래프의 스패닝 트리를 찾음으로써 최소 크로스브레이싱으로 줄일 수 있다.보다 일반적으로 교차 브레이싱 그리드 형태의 자유도는 양분 그래프의 연결된 성분의 개수에서 1을 뺀 값과 같다.부분 브레이싱 그리드를 더 많은 정사각형으로 교차 브레이싱하여 경직되게 만들려면 교차 브레이싱해야 하는 추가 정사각형의 최소 개수는 이 자유도이며, 이 개수의 정사각형을 가진 해결책은 이 개수의 모서리를 초당 그래프에 추가하여 연결된 구성요소의 쌍을 연결함으로써 얻을 수 있다.덧셈 후에 모자만 남는다.^[1][2][3][4]

문제의 또 다른 버전은 대각선 중 하나를 제거하더라도 경직된 상태를 유지할 수 있을 정도로 충분히 중복된 크로스 브레이싱 세트인 "이중 브레이싱"을 요구한다.이 버전은 단일 사각형의 대각선을 모두 사용할 수 있도록 허용하지만, 그렇게 할 필요는 없다.이 버전에서 격자의 이중 브레이싱은 연결되고 브리지가 없는 비간접적인 양분 다중 글램과 같은 방식으로 대응된다(모든 가장자리는 적어도 하나의 사이클에 속한다).이중 브레이싱에 필요한 최소 대각선 수는 ${\displaystyle 최소(}$2 ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle 2}$ c${\displaystyle }$) ${\displaystyle \min(2r,2c)}$이다$.$^[1] 행과 열의 수가 같은 그리드의 특별한 경우, 이 최소 크기의 유일한 이중 브레이싱은 해밀턴 사이클이므로 더 큰 브레이싱 내에 존재하는지를 결정하는 것은 NP-완전이다.그러나 일정한 근사비 내에서 주어진 가새의 최소 이중 가새 부분집합에 근사치를 적용할 수 있다.^[5]

지시된 그래프를 사용한 유사한 이론이 제니 바글리보와 잭 그리버(1983)에 의해 발견되었는데, 이 이론은 사각형이 단단한 막대 대신 전선이나 끈으로 고정되어 있다(초기 길이를 지나 확장될 수는 없지만 더 짧은 길이로 구부러지거나 붕괴될 수 있다).이런 식으로 단 하나의 사각형을 단단하게 만들기 위해서는 대각선 하나만이 아니라 대각선 둘 다 버팀목 역할을 할 필요가 있다.이러한 브레이싱은 양경사 대각선으로 그 행과 열의 공유 정사각형이 맞으면 행 정점에서 열 정점으로, 그리고 공유 정사각형이 음경사선 대각선으로 맞으면 열 정점에서 행 정점으로 향하는 가장자리가 있는 양립자 그래프로 다시 나타낼 수 있다.브레이스 구조는 결과 그래프가 강하게 연결된 경우에만 경직된다.^[1][2]그렇지 않을 경우 강하게 연결된 구성 요소를 함께 연결하기 위해 브레이싱을 추가해야 한다.추가할 최소한의 추가 교정기 세트를 찾는 문제는 강력한 연결 증대의 한 예로서, 선형 시간 내에 해결할 수 있다.^[6]로빈스의 정리에 따르면, 가장자리를 지시함으로써 강하게 연결될 수 있는 비방향 그래프는 정확히 브릿지리스 그래프다; 이 정리를 격자 브레이싱의 관점에서 재해석하면, 강체 로드에 의한 브레이싱은 와이어로 대체될 수 있는 경우에만 이중 브레이싱을 형성한다(아마도 사각형의 다른 대각선 상에서).경직된 긴장감을 조성한다.^[7]

참조

외부 링크

• Whitty, Robin, "A theorem on rectangular tensegrities" (PDF), Theorem of the day