일반화 함수 선형 모델

GFLM(Generalized Functional Linear Model)은 Generalized Linear Model(GLM; 일반화 기능 선형 모델)의 확장으로, 기능 예측 변수에서 다양한 유형(연속 또는 이산)의 일변량 반응을 회귀시킬 수 있으며, 이는 대부분 정사각형 적분 가능한 확률적 프로세스에 의해 생성된 랜덤 궤적이다.GLM과 마찬가지로, 링크 함수는 반응 변수의 기대값을 선형 예측 변수에 관련짓는다. GFLM의 경우, $\beta$ 매개변수 함수 $\beta$ β {\ $displaystyle$ \beta $\beta$ 와 $X$ 함께 랜덤 예측 $X$ 의 스칼라 곱을 형성하여 구한다.기능 선형 회귀, 함수 포아송중요한 기능 로지스틱 회귀 분석이 포함된 회귀 분석과 기능 이항 회귀 분석은 GFLM의 특수한 경우입니다.GFLM의 적용에는 확률적 프로세스와 기능 ^[1]데이터의 분류 및 식별이 포함된다.

개요

GFLM의 주요 측면은 보통 무한 차원 함수 예측 변수의 치수 축소에 의해 얻어지는 매끄러운 파라미터 $\beta$ β(\ $displaystyle\beta)$ 에 $\beta$ 대한 추정 및 추론이다.일반적인 방법은 예측 변수 함수 $(\displaystyle$ X $)$ 를 $X$ L공간의² 직교 기준, 즉 파라미터 함수의 동시 확장과 함께 제곱 적분 가능 함수의 힐버트 공간으로 확장하는 것이다.그런 다음 이 표현을 잘라내기 단계와 결합하여 유한한 수의 회귀 계수에 대한 선형 예측 변수의 매개변수 $\beta$ β {\ $displaystyle \beta}$ 의 $\beta$ 기여를 줄인다.Karhunen-Loéve 확장을 사용하는 기능적 주성분 분석(FPCA)은 이를 달성하기 위한 공통적이고 인색한 접근법이다.푸리에 확장 및 B-스플라인 확장과 같은 다른 직교 확장도 치수 감소 단계에 사용할 수 있습니다.AIC(Akaike Information Criteria)를 사용하여 포함된 구성 요소의 수를 선택할 수 있습니다.교차 검증 예측 오류의 최소화는 분류 애플리케이션에서 자주 사용되는 또 다른 기준이다.예측 프로세스의 치수가 감소하면 단순화된 선형 예측기를 사용하여 GLM 및 준우도 추정 기법을 사용하여 유한 차원 회귀 계수의 추정치를 얻을 수 있으며, 이는 GFLM에서 매개변수 $\beta$ β(\ $displaystyle \beta)$ 의 $\beta$ 추정치를 제공한다.

모델 컴포넌트

선형 예측 변수

예측 변수 $\textstyle X(t),t\in T$ X $\textstyle X(t),t\in T$ $\textstyle X(t),t\in T$ $(\$ X $(t), t\$ $in$ T $\beta (t),t\in T$ 는 일반적으로 실제 $구간$ T $(\$ $displaystyle$ T $)$ 에서 $T$ 정사각형 적분 가능한 확률 프로세스이며, 알 수 없는 평활 파라미터 $\beta (t),t\in T$ β $\beta (t),t\in T$ $\beta (t),t\in T$ T $(\$ $displaystyle$ \ $beta(t)$ 는 정사각형 적분 가능한 것으로 가정합니다. $T$ T{\ $displaystyle$ T $T$ 의 $실측도$ $dw$ {\ $displaystyle$ dw $}$ 가 $dw$ $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ 주어지면 선형 예측 변수는 $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ α + $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ X $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ ( $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ ) $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ β ( $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ ) $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ w ( $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ ) { d w ( t ) { $displaystyle \eta =$ \ $alpha +\beta$ ( $t)\beta$ ( t ) x ( $X^{c}(t)=X(t)-{\text{E}}(X(t))$ ) $X^{c}(t)=X(t)-{\text{E}}(X(t))$ ( t ) $X^{c}(t)=X(t)-{\text{E}}(X(t))$ $X^{c}(t)=X(t)-{\text{E}}(X(t))$ )로 주어진다.ered 프레딕터 $\alpha$ 및 α $(\displaystyle \alpha)$ 는 $\alpha$ 가로채기로 기능하는 스칼라입니다.

반응 변수 및 분산 함수

$결과$ Y(\ $displaystyle$ Y $)$ 는 $Y$ 일반적으로 연속형 또는 이산형인 실제 값 랜덤 변수입니다.예측 변수 프로세스가 주어진 Y $(\style$ Y $)$ 의 $Y$ 분포는 지수 패밀리 내에서 지정되는 경우가 많습니다. $단$ ${\rm {{E}(Y\mid X)=\mu }}$ 기능적 준우도 설정을 고려하는 것으로 충분합니다. ${\rm {{E}(Y\mid X)=\mu }}$ 서 응답의 분포 대신 ${\rm {{Var}(Y\mid X)=\sigma ^{2}(\mu )}}$ ${\rm {{Var}(Y\mid X)=\sigma ^{2}(\mu )}}$ 함수를 지정하는 ${\rm {{Var}(Y\mid X)=\sigma ^{2}(\mu )}}$ a ${\rm {{Var}(Y\mid X)=\sigma ^{2}(\mu )}}$ r ( $Y$ 2 X ${\rm {{Var}(Y\mid X)=\sigma ^{2}(\mu )}}$ ) $=$ \ $display$ style { { Var } ( Y \ $mid$ X ) = \ $sigma ^$ 2 ${\rm {{Var}(Y\mid X)=\sigma ^{2}(\mu )}}$ （ $mu$ ） ${\rm {{Var}(Y\mid X)=\sigma ^{2}(\mu )}}$ 。 $(\displaystyle {{E}(Y\mid$ X $)=\mu$ ${\rm {{E}(Y\mid X)=\mu }}$

링크 함수

링크 $함수$ g(\ $displaystyle$ g $)$ 는 $g$ 반응 ${\rm {{E}(Y\mid X)=\mu }}$ X ) $=$ {{ $E}(Y\mid$ X)=\ $mu$ })의 ${\rm {{E}(Y\mid X)=\mu }}$ 조건부 평균을 선형 예측 변수 $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ + $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ x X $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ ( $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ ) $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ ( $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)$ ) \alpha style $=$ d ( $t$ styledisplay style = t \ ） \ display ) \ 。관계는 $\mu =g(\eta )$ $\mu =g(\eta )$ ( $\mu =g(\eta )$ ) $\mu =g(\eta )$ ) { $displaystyle \mu = g$ ( \ $eta )$ } 입니다.

공식화

필요한 치수 감소를 실시하기 위해 중심 예측 $X^{c}(t)$ X $X^{c}(t)$ ( $X^{c}(t)$ ) \ $displaystyle$ X $^{c}(t)$ 및 $X^{c}(t)$ 파라미터 $\beta (t)$ β ( $)$ \ $displaystyle$ \ $beta (t)$ 를 $\beta (t)$ 다음과 같이 확장한다.

X^{c}(t)=\sum _{j=1}^{\infty}\xi _{j}\rho _{j}(t){\text{및}}\sum (t)={j=1}^{\infty }\sum _{j}\sum _{j}\rho {j}(t

여기서 $\rho _{j},j=1,2,\ldots$ $\rho _{j},j=1,2,\ldots$ , $\rho _{j},j=1,2,\ldots$ $\rho _{j},j=1,2,\ldots$ , 2 $...$ { $L^{2}(dw),$ $\rho _$ { $j$ $\rho _{j},j=1,2,\ldots$ } , $j$ $=$ 1, 2, \ldots $\rho _{j},j=1,2,\ldots$ } 는 함수 $L^{2}(dw),$ $L^{2}(dw),$ 2 $L^{2}(dw),$ ( $L^{2}(dw),$ d $L^{2}(dw),$ ) , { $dw$ } 의 직교 정규 기준이며, $\int _{T}\rho _{j}(t)\rho _{k}(t)\,dw(t)=\delta _{jk}$ T $\int _{T}\rho _{j}(t)\rho _{k}(t)\,dw(t)=\delta _{jk}$ ( $\int _{T}\rho _{j}(t)\rho _{k}(t)\,dw(t)=\delta _{jk}$ ) $\int _{T}\rho _{j}(t)\rho _{k}(t)\,dw(t)=\delta _{jk}$ $\int _{T}\rho _{j}(t)\rho _{k}(t)\,dw(t)=\delta _{jk}$ $display$ $style$ $\int _{T}\rho _{j}(t)\rho _{k}(t)\,dw(t)=\delta _{jk}$ $\int _{T}\rho _{j}(t)\rho _{k}(t)\,dw(t)=\delta _{jk}$ ( t $\int _{T}\rho _{j}(t)\rho _{k}(t)\,dw(t)=\delta _{jk}$ ) $j$ $= k이면$ { $displaystyle _{jk$ $}=1$ $},$ $0$ 않으면0 { $displaystyle$ 0 $}$ 을 $j=k$ $0$ 클릭합니다 $.$

랜덤 변수 $\xi _{j}$ j $\xi _{j}$ \ $displaystyle$ \ $xi$ _ { j $\xi _{j}$ } $\xi _{j}=\int X^{c}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ $\xi _{j}=\int X^{c}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ c ( $\xi _{j}=\int X^{c}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ ) $\xi _{j}=\int X^{c}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ j ( $\xi _{j}=\int X^{c}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ ) $\xi _{j}=\int X^{c}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ w $\xi _{j}=\int X^{c}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ ( $\xi _{j}=\int X^{c}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ $){$ $display$ style \ $xi$ $\xi _{j}=\int X^{c}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ _ { j }= $\int$ X $^{c}(t)\rho$ _ ${j}(t$ rho $\beta _{j}$ ${$ j}, $display$ $(t)$ $\beta _{j}$ jdisplay style $\beta _{j}$ $\beta _{j}=\int \beta (t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ { $\beta _{j}=\int \beta (t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ $}$ }}} j \ \ \ \ \ j j j \ j j j j j j j j j j j j $\rho$ _ ${j}($ $j=1,2,\ldots$ $),$ j $j=1,2,\ldots$ , $j=1,2,\ldots$ , $...$ { $displaystyle$ j $= 1$ , 2 $,$ $\ldots$ 。

E(ξ j)=1∞ β j2<∞{\displaystyle \sum_{j=1}^{\infty}\beta _{j}^{2}<, \infty}과σ j2을 나타내는 표시)바르(ξ j))E({\displaystyle \sigma_{j}^{2}={\text{바르}}(\xi_{j})={\text{E}}(\xi_{j}^{2})}, 그렇게∑ j=10{\displaystyle{\text{E}}(\xi_{j})=0}과∑ j 일고 있다. ∞ $∞display$ $^{2},syslog(t)$ <\ $infty$

기저함수 $\rho _{j}$ j {\ $displaystyle \rho$ _ ${j$ 에서 $\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ X $\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ ( $\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ ) $\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ d $\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ ( $\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ ) $\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ = $j$ $\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ $\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ β j $\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ j { $displaystyle \int$ X $^{c}(t)\beta (t)\sumfty =$ { $1}^{$ j}가 된다.

그러면 핵심 단계는 $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\alpha +\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\alpha +\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\alpha +\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ + $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\alpha +\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ X $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\alpha +\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ ( $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\alpha +\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ ) $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\alpha +\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ β ( $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\alpha +\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ ) $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\alpha +\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ w ( $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\alpha +\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ ) $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\alpha +\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ + $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\alpha +\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ j $\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\alpha +\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}$ j { $display \eta =$ \ $alpha$ + \ $int$ X $^{c}(t)\beta (t),$ =\ $alpha +\sum$ _ ${jfty =1$ \fty } $^{\$ fty }에 가깝다. $적절한$ 절단 $\eta \approx \alpha +\sum _{j=1}^{p}\beta _{j}\xi _{j}$ 지점 $p\displaystyle$ p $p$ 에 대해 }을 $($ 를) 선택합니다.

FPCA는 고유함수 기반이 다른 기저함수 세트보다 더 많은 변동을 설명하므로 주어진 수의 기저함수에 대한 선형 예측기의 가장 근소한 근사치를 제공한다.

유계 1차 도함수를 갖는 미분 링크 함수의 경우 $,$ $p$ {\ $displaystyle$ p $}$ -display $p$ 모델의 근사 오차, 즉 첫 $번째$ p {\ $displaystyle$ p} 성분의 $p$ 합계로 잘린 선형 예측 변수는 Var ${\text{Var}}(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j})={\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}$ θ ${\text{Var}}(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j})={\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}$ ${\text{Var}}(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j})={\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}$ + ${\text{Var}}(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j})={\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}$ j ${\text{Var}}(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j})={\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}$ j) ${\text{Var}}(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j})={\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}$ ${\text{Var}}(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j})={\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}$ θ ${\text{Var}}(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j})={\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}$ ${\text{Var}}(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j})={\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}$ + ${\text{Var}}(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j})={\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}$ )의 상수 배수이다. ${\text{Var}}(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j})={\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}$ $E}}\left(\sum$ _ ${j=p+1}^{\infty}\filter_{j}\xi _{j}\right)^{$ 2}\ $sum$ _{ $j=p+1}^{\infty}\filter_{j}\filter_{j}\filter_$ j}}.

잘라내기 전략의 경험적 동기는 E ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ ( ( ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ + ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ j ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ j ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ j ) ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ = p + ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ j ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ 2 ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ j ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ + ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ 2 ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ + 1 ${\text{E}}\left(\left(\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\xi _{j}\right)^{2}\right)=\sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}\sigma _{j}^{2}\leq \sum _{j=p+1}^{\infty }\beta _{j}^{2}\ \sum _{j=p+1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ j 2 = p + ${$ j $display$ ({text $})$ 에서 유래한다. $E}}\left(\sum$ _ ${j=p+1}^{\infty}\infty)=\sum _{j=p+1}^{\infty}\$ infty}\ $sum _{j}\leq \sum$ _ ${j=p+1$ }^{\infty}^{\infty}\infty}^{{\infty}\infty $}\$ inft}\infty}_{{\ $infty_$ {j}_{j}_{\infty}\infty}_{{\ $∞$ $\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}^{2}$ = $\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}^{2}$ j 2 $（$ \ $sum$ _ ${j=$ 1}^{\ $infty } betabeta$ j $\sum _{j=1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ = $\sum _{j=1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ ∞ $\sum _{j=1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ 2 { $displaystyle$ _ $sum$ _ ${j=$ 1 $}^{\$ infty $p\rightarrow \infty$ $\sum _{j=1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ } } $\sum _{j=1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ $\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}^{2}$ both both both $p\rightarrow \infty$ $j$ { $displaystyle$ _ sum _ { $j$ = 1 }^{ j $}^{\infty$ $p\rightarrow \infty$ } } } $\sum _{j=1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ ^2 $\sum _{j=1}^{\infty }\beta _{j}^{2}$ $\sum _{j=1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$ ^{{ displaysty } } } } } } } both $\sum _{j=1}^{\infty }\sigma _{j}^{2}$

고유함수 기준의 특수한 경우 시퀀스 $\sigma _{j}^{2},j=1,2,\ldots$ j $\sigma _{j}^{2},j=1,2,\ldots$ , $\sigma _{j}^{2},j=1,2,\ldots$ $\sigma _{j}^{2},j=1,2,\ldots$ , 2 $…(\$ $displaystyle$ $\display_$ {j $}^{2},j=1,2,\ldots})$ 는 $\sigma _{j}^{2},j=1,2,\ldots$ 공분산 $G(s,t)={\text{Cov}}(X(s),X(t)),\ s,t\in T$ G $G(s,t)={\text{Cov}}(X(s),X(t)),\ s,t\in T$ $G(s,t)={\text{Cov}}(X(s),X(t)),\ s,t\in T$ $G(s,t)={\text{Cov}}(X(s),X(t)),\ s,t\in T$ $G(s,t)={\text{Cov}}(X(s),X(t)),\ s,t\in T$ ( $G(s,t)={\text{Cov}}(X(s),X(t)),\ s,t\in T$ $G(s,t)={\text{Cov}}(X(s),X(t)),\ s,t\in T$ $G(s,t)={\text{Cov}}(X(s),X(t)),\ s,t\in T$ $G(s,t)={\text{Cov}}(X(s),X(t)),\ s,t\in T$ $G(s,t)={\text{Cov}}(X(s),X(t)),\ s,t\in T$ ), Tstyle, T $,$ tyle $G(s,t)={\text{Cov}}(X(s),X(t)),\ s,t\in T$ 의 고유값 시퀀스에 해당합니다.

n{ $displaystyle$ $n$ $}$ $n$ .i.d 관측치가 있는 $n$ 의 경우, $\xi _{j}^{0}=1$ j $\xi _{j}^{0}=1$ $=$ 1 { $displaystyle$ \ $xi$ $\xi _{j}^{0}=1$ _ { $j$ $0$ } $= α$ $\xi _{j}^{i}=\int X_{i}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ $\xi _{j}^{i}=\int X_{i}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ i $\xi _{j}^{i}=\int X_{i}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ ∫ $\xi _{j}^{i}=\int X_{i}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ Xi ( $\xi _{j}^{i}=\int X_{i}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ ) $\xi _{j}^{i}=\int X_{i}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ $\xi _{j}^{i}=\int X_{i}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ $\xi _{j}^{i}=\int X_{i}(t)\rho _{j}(t)\,dw(t)$ $t$ ）（ $displaystyle$ ） _ xi = { $xi$ }{ $xi$ }로 설정합니다. $\mu _{i}=g(\eta _{i})$ i $\eta _{i}=\sum _{j=0}^{p}\beta _{j}\xi _{j}^{i},i=1,2,\ldots ,n$ $\eta _{i}=\sum _{j=0}^{p}\beta _{j}\xi _{j}^{i},i=1,2,\ldots ,n$ j = $\eta _{i}=\sum _{j=0}^{p}\beta _{j}\xi _{j}^{i},i=1,2,\ldots ,n$ $\eta _{i}=\sum _{j=0}^{p}\beta _{j}\xi _{j}^{i},i=1,2,\ldots ,n$ $\eta _{i}=\sum _{j=0}^{p}\beta _{j}\xi _{j}^{i},i=1,2,\ldots ,n$ j $\eta _{i}=\sum _{j=0}^{p}\beta _{j}\xi _{j}^{i},i=1,2,\ldots ,n$ $\eta _{i}=\sum _{j=0}^{p}\beta _{j}\xi _{j}^{i},i=1,2,\ldots ,n$ , i $1$ , $\eta _{i}=\sum _{j=0}^{p}\beta _{j}\xi _{j}^{i},i=1,2,\ldots ,n$ 2, $...$ , $\eta _{i}=\sum _{j=0}^{p}\beta _{j}\xi _{j}^{i},i=1,2,\ldots ,n$ { { $displaystyle$ \ $eta$ _ { $i}$ = \ $sum$ _ { j $\eta _{i}=\sum _{j=0}^{p}\beta _{j}\xi _{j}^{i},i=1,2,\ldots ,n$ } { $j }$ \ $xi _$ { $j }$ 、 $\mu _{i}=g(\eta _{i})$ 1, 2 $,$ $\ldots$ , n $\mu _{i}=g(\eta _{i})$ } 로 $\mu _{i}=g(\eta _{i})$ 된다 $\mu _{i}=g(\eta _{i})$

견적

주요 목적은 파라미터 $(\displaystyle\beta$ 를 추정하는 것입니다.

$p$ {\ $displaystyle$ p $}$ 가 $p$ 고정되면 p{\ $displaystyle$ p $}$ -display $p$ $p$ 에 표준 GLM 및 준우도 방법을 사용하여 ${\boldsymbol {\beta }}^{T}=(\beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{p})$ T $=$ ( $β$ 0 ${\boldsymbol {\beta }}^{T}=(\beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{p})$ ${\boldsymbol {\beta }}^{T}=(\beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{p})$ 1, ${\boldsymbol {\beta }}^{T}=(\beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{p})$ p ${\boldsymbol {\beta }}^{T}=(\beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{p})$ ) ${\boldsymbol {\beta }}^{T}=(\beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{p})$ { $displaystyle {boldsymbol }$ =(\ $beta _0},$ \ $displaystyle _{1},$ {1}, {1}) 해결 ${\boldsymbol {\beta }}^{T}=(\beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{p})$ $방법을 사용$ 할 수 있습니다 $.$ 점수 $U(\beta )=0.$ U $U(\beta )=0.$ $=$ $.$ {\ $displaystyle$ U(\ $beta$ )= $0.$ $}$

벡터값 점수 함수는 U $U(\beta )=\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu _{i})g'(\eta _{i})\xi _{i}/\sigma ^{2}(\mu _{i})$ $U(\beta )=\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu _{i})g'(\eta _{i})\xi _{i}/\sigma ^{2}(\mu _{i})$ $U(\beta )=\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu _{i})g'(\eta _{i})\xi _{i}/\sigma ^{2}(\mu _{i})$ $U(\beta )=\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu _{i})g'(\eta _{i})\xi _{i}/\sigma ^{2}(\mu _{i})$ $U(\beta )=\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu _{i})g'(\eta _{i})\xi _{i}/\sigma ^{2}(\mu _{i})$ - $U(\beta )=\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu _{i})g'(\eta _{i})\xi _{i}/\sigma ^{2}(\mu _{i})$ ) $U(\beta )=\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu _{i})g'(\eta _{i})\xi _{i}/\sigma ^{2}(\mu _{i})$ δ ( $U(\beta )=\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu _{i})g'(\eta _{i})\xi _{i}/\sigma ^{2}(\mu _{i})$ ) $U(\beta )=\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu _{i})g'(\eta _{i})\xi _{i}/\sigma ^{2}(\mu _{i})$ i / $U(\beta )=\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu _{i})g'(\eta _{i})\xi _{i}/\sigma ^{2}(\mu _{i})$ i ( $U(\beta )=\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu _{i})g'(\eta _{i})\xi _{i}/\sigma ^{2}(\mu _{i})$ i ) $U(\beta )=\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu _{i})g'(\eta _{i})\xi _{i}/\sigma ^{2}(\mu _{i})$ ® { $displaystyle$ U ( \ $beta$ ) = \ $sum$ _ { $i }^{n}(Y_{i}-\mu$ _ g $'i)$ 로 $U(\beta )=\sum _{i=1}^{n}(Y_{i}-\mu _{i})g'(\eta _{i})\xi _{i}/\sigma ^{2}(\mu _{i})$ 되었습니다 $.$ $tyle \mu }$ 및 $\mu$ $"\display \eta$ 입니다.

GLM과 마찬가지로 $U(\beta )=0$ $=$ $(\$ $displaystyle$ U $(\beta$ )= $0$ ${\boldsymbol {\hat {\beta }}}$ 은 $U(\beta )=0$ 뉴턴-라프슨(NR) 또는 피셔 스코어링(FS) 또는 반복 재가중 최소제곱(IWLS)과 같은 반복 방법을 사용하여 ${\boldsymbol {\hat {\beta }}}$ β(\ $displaystyle hatmbol)$ 의 추정치를 구한다.파라미터 ${\hat {\beta }}(t)={\hat {\beta }}_{o}+\sum _{j=1}^{p}{\hat {\beta }}_{j}\rho _{j}(t)$ ^ ${\hat {\beta }}(t)={\hat {\beta }}_{o}+\sum _{j=1}^{p}{\hat {\beta }}_{j}\rho _{j}(t)$ ( t ) ${\hat {\beta }}(t)={\hat {\beta }}_{o}+\sum _{j=1}^{p}{\hat {\beta }}_{j}\rho _{j}(t)$ ^ ${\hat {\beta }}(t)={\hat {\beta }}_{o}+\sum _{j=1}^{p}{\hat {\beta }}_{j}\rho _{j}(t)$ o + ${\hat {\beta }}(t)={\hat {\beta }}_{o}+\sum _{j=1}^{p}{\hat {\beta }}_{j}\rho _{j}(t)$ ${\hat {\beta }}(t)={\hat {\beta }}_{o}+\sum _{j=1}^{p}{\hat {\beta }}_{j}\rho _{j}(t)$ ${\hat {\beta }}(t)={\hat {\beta }}_{o}+\sum _{j=1}^{p}{\hat {\beta }}_{j}\rho _{j}(t)$ ${\hat {\beta }}(t)={\hat {\beta }}_{o}+\sum _{j=1}^{p}{\hat {\beta }}_{j}\rho _{j}(t)$ ^ ${\hat {\beta }}(t)={\hat {\beta }}_{o}+\sum _{j=1}^{p}{\hat {\beta }}_{j}\rho _{j}(t)$ t $）$ = $displaystyle$ { $hat } +$ \ $sum$ _ { j ${\hat {\beta }}(t)={\hat {\beta }}_{o}+\sum _{j=1}^{p}{\hat {\beta }}_{j}\rho _{j}(t)$ = $1$ }{ $p$ }{ $hat }{ p$ }{\ $hat$ { $j$ } { $rho$ { p } ( $t$ ){ p } ${\hat {\beta }}(t)={\hat {\beta }}_{o}+\sum _{j=1}^{p}{\hat {\beta }}_{j}\rho _{j}(t)$ } } } {\ rho { p } { p} } } } } } } {\ hat { p } } } } （ t } }

결과는 p $p\rightarrow \infty$ ${\$ { $displaystyle$ p $\$ $rightarrow \infty }$ 로서 $p$ $p\rightarrow \infty$ p \ $displaystyle$ p → {\ { $displaystyle$ p\infty } $p$ 의 문헌에서 구할 수 있으며, 실제 파라메트릭 함수에서 추정된 파라메트릭 함수의 편차에 대한 점근적 추론을 제공하고 회귀 효과와 점근적 신뢰 영역에 대한 점근적 테스트도 제공한다.

지수 패밀리 응답

$X_{i}\in L^{2}(T)$ $Y_{i}$ ${\$ $X_{i}\in L^{2}(T)$ ( T $X_{i}\in L^{2}(T)$ ) { $displaystyle$ X $_$ { $i$ \ $in$ L $^$ { 2 $（$ T $X_{i}\in L^{2}(T)$ ） } x x parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter （ T ） parameter parameter parameter parameter y y parameter parameter parameter parameter parameter parameter parameter y parameter parameter parameter parameter parameter parameter $parameter$ parameter parameter parameter parameter parameter parameter

f(y_{i}\mid X_{i}=\exp \leftfrac {y}\theta _{i}-b(\theta _{i}){\phi }}}+c(y_{i},\phi)\right

일부 $함수$ b $(\displaystyle$ b $)$ $c$ 및 $b$ $c$ (\ $displaystyle$ $\theta_{i$ })의 경우 $\phi$ i $(\$ $displaystyle$ \theta_{i})는 표준 파라미터이고 ${\$ {\displaystyle $\phi$ }는 $\theta _{i}$ $\phi$ 일반적으로 양수로 간주되는 분산 파라미터입니다.

정규 설정에서 $\eta _{i}=\alpha +\int X_{i}^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\theta _{i}$ i $\eta _{i}=\alpha +\int X_{i}^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\theta _{i}$ + $\eta _{i}=\alpha +\int X_{i}^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\theta _{i}$ $\eta _{i}=\alpha +\int X_{i}^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\theta _{i}$ i $\eta _{i}=\alpha +\int X_{i}^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\theta _{i}$ ( $\eta _{i}=\alpha +\int X_{i}^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\theta _{i}$ ) $\eta _{i}=\alpha +\int X_{i}^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\theta _{i}$ ( $\eta _{i}=\alpha +\int X_{i}^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\theta _{i}$ ) $\eta _{i}=\alpha +\int X_{i}^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\theta _{i}$ w $\eta _{i}=\alpha +\int X_{i}^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\theta _{i}$ ( $\eta _{i}=\alpha +\int X_{i}^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\theta _{i}$ ) $\eta _{i}=\alpha +\int X_{i}^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\theta _{i}$ $\eta _{i}=\alpha +\int X_{i}^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\theta _{i}$ i { $displaystyle \eta$ _ {i} = \alpha + \ $int$ X _ { $i}$ { $c}$ ( $t)$ \ $beta (t),$ = \ $theta _{i$ } {i $\eta _{i}=\alpha +\int X_{i}^{c}(t)\beta (t)\,dw(t)=\theta _{i}$ } ential ential ential ential ential ential ential ential ential 、 ential ential ential ential ential ential ential ential ential ential ential ential ential ential ential ential 、 ential 、、

(\displaystyle \mu _{i}=b', (\theta _{i} 등), (\text {}}\mu _{i}=b', (\eta _{i}).}

$따라서$ b는링크 함수로서 기능하며 표준 링크 함수라고 불립니다 $.$

${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ ( ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ ) ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ b ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ ( $i$ i ) ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ b ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ ( ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ i ) ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ g ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ i ） $= ϕ$ g ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ （ ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ - ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ i ${\text{Var}}(y_{i})=\phi b''(\theta _{i})=\phi b''(\eta _{i})=\phi g'(\eta _{i})=\phi g'(g^{-1}(\mu _{i})))$ ） style ${ var$ }( $y_{i$ }) = \ $phi$ b" ("i") _ phi $"$ ter.

특수한 경우

FLR(함수 선형 회귀)

함수 데이터 분석의 가장 유용한 도구 중 하나인 함수 선형 회귀 분석은 반응 변수가 연속형이고 정규 분포를 갖는 것으로 간주되는 GFLM의 한 예입니다.분산 함수는 상수 함수이고 링크 함수는 항등식입니다.이러한 전제하에서 GFLM은 FLR로 감소합니다.

\mu =\operatorname {E}(Y\mid X)=\eta =\alpha +\int X^{c}(t)\beta(t),\operatorname {E

정규성 가정이 없으면 상수 분산 함수는 준정규 기법의 사용 동기를 부여합니다.

함수 이항 회귀 분석

반응 변수가 0 또는 1과 같은 2진수 결과를 갖는 경우, $\mu _{i}=P(Y_{i}=1\mid X_{i})$ 으로 분포는 Bernouli로 선택된 다음 $\mu _{i}=P(Y_{i}=1\mid X_{i})$ i $\mu _{i}=P(Y_{i}=1\mid X_{i})$ ( $Y$ i $=$ $\mu _{i}=P(Y_{i}=1\mid X_{i})$ † $\mu _{i}=P(Y_{i}=1\mid X_{i})$ ) { $displaystyle \mu$ _ ${i$ } = $1 \mid$ X_ ${i}$ $\mu _{i}=P(Y_{i}=1\mid X_{i})$ 。일반 링크 함수는 로그의 역함수 expit입니다.함수(함수 프로빗 회귀)입니다.모든 누적 분포 함수 F는 이항 평균의 범위인 범위 [0,1]를 가지므로 연결 함수로 선택할 수 있습니다.이 컨텍스트의 다른 링크 함수는 상보적인 log-log 함수입니다.이것은 비대칭 링크입니다.이진 데이터의 분산 함수는 Var $\operatorname {Var} (Y_{i})=\phi \mu _{i}(1-\mu _{i})$ ( $\operatorname {Var} (Y_{i})=\phi \mu _{i}(1-\mu _{i})$ i ) $\operatorname {Var} (Y_{i})=\phi \mu _{i}(1-\mu _{i})$ $\operatorname {Var} (Y_{i})=\phi \mu _{i}(1-\mu _{i})$ i ( $\operatorname {Var} (Y_{i})=\phi \mu _{i}(1-\mu _{i})$ - $\operatorname {Var} (Y_{i})=\phi \mu _{i}(1-\mu _{i})$ i ) ( 1 - μ i ) $= \phi \mu$ _ ${i}$ ( $1-\mu$ _{ $i})$ 로 $\operatorname {Var}(Y_{i})=\phi \mu _{i}(1-\mu _{i})$ , 분산 파라미터 $\phi$ \ $display$ style \ $phi }$ (1-\mu _{i})가 $\phi$ 1 또는 준접근법으로 사용된다.

함수 포아송 회귀 분석

GFLM의 또 다른 특수한 경우는 결과가 카운트될 때 발생하므로 반응의 분포는 포아송으로 가정됩니다. $\mu _{i}$ $(\displaystyle$ \ $mu _{$ i $\mu _{i}$ $\eta _{i}$ })는 보통 로그 링크를 통해 선형 프레딕터 $(\$ _ ${i$ })에 링크됩니다.이것은 표준 링크이기도 합니다.분산함수는 Var $\operatorname {Var} (Y_{i})=\phi \mu _{i}$ ( $\operatorname {Var} (Y_{i})=\phi \mu _{i}$ ) $= μ$ i \ $operatorname {Var$ } ( $Y_{i$ })=\ $phi \mu$ _ ${i$ 입니다.분산 파라미터 ${\$ \ $displaystyle \phi }$ 는 $\phi$ 데이터가 오버오버될 수 있는 경우(준 Poisson 접근법 사용시)를 제외하고 1입니다.

내선번호

다중 예측 ^[2]함수가 있는 경우 GFLM의 확장이 제안되었다.또 다른 일반화는 SPQR(^[1]Semi Parametric Qui-우도 회귀 분석)이라고 불리며, 링크와 분산 함수를 알 수 없는 상황을 고려하고 데이터에서 비모수적으로 추정됩니다.이 상황은 SIR(Sliced Inverse Regression)과 같은 단일 또는 여러 인덱스 모델로 처리할 수도 있습니다.

이 영역의 또 다른 확장은 기능적 일반화 가법 모델(FGAM)^[3]로, GAM(Generalized Additive Model)의 일반화이다.

(\displaystyle g^{-1}(\operatorname {E}(Y\mid X))=\alpha +\sum _{j=1}^{p}f_{j}(\xi _{j})},

여기서 $\xi _{j}$ j({ $displaystyle \xi$ _ ${j})$ 는 $\xi _{j}$ 랜덤 예측 $변수$ X $({displaystyle$ X})의 $X$ 확장 계수이고, $f_{j}$ $({$ ${j$ })는 $f_{j}$ 추정해야 하는 알 수 없는 평활 함수이며, ${\text{E}}(f_{j}(\xi _{j}))=0.$ 서 E $θ$ j ${\text{E}}(f_{j}(\xi _{j}))=0.$ $=$ 0 $.$ { $displaystyle({E}({xi})({j$

일반적으로 FGAM의 추정에서는 IWLS와 백피팅을 조합할 필요가 있습니다.그러나 팽창 계수가 기능적 주성분으로 얻어지는 경우(예: 가우스 예측기 $함수$ X {\ $displaystyle$ X}) $X$ 에는 이러한 계수는 독립적이며, 백핏이 필요하지 않으며, 알려지지 않은 매개변수 $f_{j}$ $f_{j}$ \ $display$ 를 추정하기 위해 널리 사용되는 스무딩 방법을 사용할 수 있다 $.$ $스타일 f_{j$

어플

처음 25일 동안 약쟁이들의 산란 궤적

기능 데이터 분석 영역의 여러 분석에 사용된 인기 있는 데이터 세트는 지중해 초파리 1000마리(또는 줄여서 메드파리가 죽을 때까지 매일 낳는 달걀 수로 구성된다[1][2].이 플롯은 약 600마리의 암컷 약 25일 동안 알을 낳는 궤적을 보여준다.빨간색 곡선은 남은 알의 중앙 수보다 적게 낳는 파리에 속하고 파란색 곡선은 25세 이후 남은 알의 중앙 수보다 많이 낳는 파리에 속합니다.GFLM과^[1] 함께 초기 산란 궤적을 예측 변수로, 이후 반응으로 파리의 수명을 기준으로 약파리를 장수 또는 단명으로 분류하는 관련 문제를 연구했다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b ^c Muller and Stadtmuller (2005). "Generalized Functional Linear Models". The Annals of Statistics. 33 (2): 774–805. arXiv:math/0505638. doi:10.1214/009053604000001156.
^ James (2002). "Generalized linear models with functional predictors". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 64 (3): 411–432. CiteSeerX 10.1.1.165.1333. doi:10.1111/1467-9868.00342.
^ Muller and Yao (2008). "Functional Additive Models". Journal of the American Statistical Association. 103 (484): 1534–1544. doi:10.1198/016214508000000751.

[Muller1-1] Muller and Stadtmuller (2005). "Generalized Functional Linear Models". The Annals of Statistics. 33 (2): 774–805. arXiv:math/0505638. doi:10.1214/009053604000001156.

[James-2] James (2002). "Generalized linear models with functional predictors". Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 64 (3): 411–432. CiteSeerX 10.1.1.165.1333. doi:10.1111/1467-9868.00342.

[3] Muller and Yao (2008). "Functional Additive Models". Journal of the American Statistical Association. 103 (484): 1534–1544. doi:10.1198/016214508000000751.

[1]

[2]

[3]

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일반화 함수 선형 모델

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목차

개요

모델 컴포넌트

선형 예측 변수

반응 변수 및 분산 함수

링크 함수

공식화

견적

지수 패밀리 응답

특수한 경우

FLR(함수 선형 회귀)

함수 이항 회귀 분석

함수 포아송 회귀 분석

내선번호

어플

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