일반 시간 및 전달 상수 분석

일반 시간 및 전송 상수(TTC) 분석은^[1] Cochran-Grabel(^[2]CG) 방법의 일반화 버전이며, 그 자체는 제로 값 시간 상수(ZVT)의 일반화 버전이며, 이는 다시 개방 회로 시간 상수법(OCT)^[3]의 일반화 버전이다.언급된 다른 방법들은 임의 전달 함수의 분모에 대한 다양한 항만을 제공하지만, TTC는 분자와 분모의 모든 항을 결정하기 위해 사용될 수 있습니다.분모 항은 시간 상수(Rosenstark^[4] 표기법에서 표현될 때)로 언급될 때 Cochran-Grabel 방법과 동일하다.그러나 분자 항은 전달 상수와 시간 상수의 조합을 사용하여 결정됩니다. 여기서 시간 상수는 CG 방법과 동일합니다.전송 상수는 다른 개방 및 단락 활성 요소에서 입력 변수에 대한 출력 변수의 저주파수 비율입니다.

일반적으로 전송 함수(입력 및 출력 변수의 선택에 따라 게인, 어드미턴스, 임피던스, 트랜스 임피던스 등을 특성화할 수 있음)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

H(s)=secfrac {a_{0}+a_{1}s+a_{2}s^{2}+b_{m}s^{m}{1+b_{1}s+b_{2}s^{2}+\ldots+b_{n}s^{n}}}}

분모항

첫 번째 분모 ${\textstyle b_{1}}$ ${\textstyle b_{1}}$ 1 $({$ 은 ${\textstyle b_{1}}$ 제로값 시간 상수(ZVT)의 합으로 나타낼 수 있습니다.

b_{1}=\sum _{i=1}^{N}\tau _{i}^0

여기서 ${\textstyle \tau _{i}^{0}}$ i $(\$ })은 다른 모든 소스가 0일 때 $요소$ i(\ $textstyle$ i $)$ 와 ${\textstyle i}$ 관련된 시간 상수입니다(위 첨자 '0' 포함).캐패시터 값을 0으로 설정하면 개방 회로에 해당하는 반면, 제로 값 인덕터는 단락 회로입니다.따라서 ${\textstyle \tau _{i}^{0}}$ i 0 $(\textstyle$ \ $tau _{$ i}^ $0$ 의 계산에서는 다른 모든 캐패시터는 개방되고 다른 인덕터는 단락됩니다.이것이 캐패시터만 있으면 OCT로 줄어드는 ZVT 방식의 본질입니다.또한 모든 독립 소스는 시간 상수 계산 중에 0 값이 됩니다(전압 소스 단락 및 전류 소스 개방).이 경우 문제의 요소( ${\textstyle i}$ i $\textstyle$ i ${\textstyle i}$ 가 캐패시터일 경우 시간 상수는 다음과 같습니다.

\displaystyle _{i}^0}=R_{i}^{0}C_{i}

$요소$ i $($ 텍스트 ${\textstyle i}$ 스타일 i)가 인덕터일 경우 다음과 같이 지정됩니다.

\tau _{i}^{0}=L_{i}/R_{i}^{0}

i 0

\tau _{i}^{0}=L_{i}/R_{i}^{0}

=

\tau _{i}^{0}=L_{i}/R_{i}^{0}

\tau _{i}^{0}=L_{i}/R_{i}^{0}

/

\tau _{i}^{0}=L_{i}/R_{i}^{0}

0 ( \

displaystyle

\

sparam _

{

i

}^0} =

L

_ { i } / R

_

{

i }^

0

\tau _{i}^{0}=L_{i}/R_{i}^{0}

)

두 경우 모두 ${\textstyle R_{i}^{0}}$ ${\textstyle R_{i}^{0}}$ 0(\ $textstyle R_{i$ }^{0 ${\textstyle R_{i}^{0}}$ 은 다른 모든 요소가 제로 값(위첨자로 표시됨)일 때 ${\textstyle i}$ i(\ $textstyle$ i)(\ ${\textstyle i}$ textstyle i)(\textstyle i)(\textstyle i $)($ 첨자로 표시됨)에 나타나는 저항입니다.

2차 분모 항은 다음과 같습니다.

b_{2}=\sum _{i=1}^{N-1}\sum _{j=i+1}^{N}\tau _{i}^0}\tau _{j}^{i}=\sum _{i}^{1\leqslant i}\sum _{j}^{{i}\tau _{i}^0}\tau _{j}^{i}^{i}\sum _{i

여기서 두 번째 형식은 순열을 반복하지 않는 합계에 대해 자주 사용되는 약식 표기법입니다(예: ${\textstyle \tau _{i}^{0}\tau _{j}^{i}}$ ${\textstyle \tau _{j}^{0}\tau _{i}^{j}}$ i ${\textstyle \tau _{i}^{0}\tau _{j}^{i}}$ $i$ j ${\textstyle \tau _{i}^{0}\tau _{j}^{i}}$ i { $textstyle$ \ } ${i}$ {j $} {i}$ { ${\textstyle \tau _{j}^{0}\tau _{i}^{j}}$ }} 및 ${\textstyle \tau _{j}^{0}\tau _{i}^{j}}$ ${\textstyle \tau _{j}^{0}\tau _{i}^{j}}$ 0 ${\textstyle \tau _{j}^{0}\tau _{i}^{j}}$ i { $textstyle \$ } { $j}$ {{j} { $i$ {i $}$ ））。

두 번째 순서 시간 상수인 ${\textstyle \tau _{i}^{j}}$ i ${\textstyle \tau _{i}^{j}}$ \ textstyle \ $tau _$ { i }^{ $j$ 는 단순히 반응 ${\textstyle j}$ 요소 ${\textstyle i}$ \ $textstyle$ i ${\textstyle i}$ （ 여기서 첨자는 항상 해당 요소의 인덱스를 나타냄)와 관련된 시간 상수이며, ${\textstyle j}$ j \ $textstyle$ j }는 무한값입니다.이 표기법에서 상위첨자는 항상 무한히 값이 매겨진 요소의 인덱스를 나타내며, 상위첨자 0은 모든 요소가 0이 된다는 것을 의미합니다.무한값 캐패시터는 단락 회로이고 무한값 인덕터는 개방 회로입니다.

일반적으로 모든 분모 항은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

{\displaystyle b_{n}=\sum _{i}^{j}^{j<k}\sum _{k\cdots}^{\ldots \leqslant N}\ldots \{i}\display_{j}^{i}^{k\dots} } } 。

여기서 ${\textstyle \tau _{i}^{jkl\ldots }}$ ${\textstyle \tau _{i}^{jkl\ldots }}$ ${\textstyle \tau _{i}^{jkl\ldots }}$ ${\textstyle \tau _{i}^{jkl\ldots }}$ l $...$ ( \ $textstyle$ \ $time$ _ { i } ^{ $jkl$ \ l \ldots ${\textstyle \tau _{i}^{jkl\ldots }}$ $}$ )는 ${\textstyle i}$ i(\ $textstyle$ i ${\textstyle i}$ } )와 관련된 시간 상수이며, ${\textstyle jkl\ldots }$ 표기에 ${\textstyle jkl\ldots }$ 가 있는 모든 요소(\ $textstyle jkl \ldots$ ${\textstyle jkl\ldots }$ )는 무한값(짧은 캐패시터 및 열린 컨덴서)입니다.일반적으로 고차 시간 상수는 계산 중에 무한대 값 요소가 더 많이 포함되므로 계산이 더 간단해집니다.

분자항

Cochran-Grabel 방법에 대한 TTC의 주요 추가 사항은 ${\textstyle H^{ijk\ldots }}$ 상수와 함께 분모 계산에 사용되는 동일한 시간 상수를 사용하여 유사한 방식으로 모든 분자 항을 계산할 수 있다는 것입니다 ${\textstyle H^{ijk\ldots }}$ $전달 상수$ 는 ${\textstyle H^{ijk\ldots }}$ ${\textstyle H^{ijk\ldots }}$ 이득 $(또는$ 출력 대 입력 변수의 일반적인 비율)의 경우 0과 무한의 값을 갖는 반응성 요소의 다양한 조합에서 발생합니다.표기법에서는 동일한 규칙을 사용하여 인덱스가 H $(\textstyle$ H ${\textstyle H}$ 의 위첨자에 표시되는 모든 요소는 무한값(단축 캐패시터 및 개방된 인덕터)이며 목록에 없는 모든 요소는 0값입니다.0차 전송 ${\textstyle H^{0}}$ ${\textstyle H^{0}}$ 0 $(\$ H $^{0})$ 은 ${\textstyle H^{0}}$ 모든 요소가 제로 값(따라서 상위 첨자 0)일 때 출력과 입력의 비율을 나타냅니다.

시간 상수와 전달 상수를 사용하여 분자의 모든 항을 계산할 수 있습니다.특히:

a_{0}=H^{0}

모든 요소가 0 값일 때의 전달 상수(예: dc 게인)입니다.

1차 분자 항은 1차 전달 ${\textstyle H^{i}}$ $(\$ H $^{i})$ 와 ${\textstyle H^{i}}$ 관련된 0값 시간 상수 δ ${\textstyle \tau _{i}^{0}}$ (\ $textstyle \tau$ _ ${i}^0$ 의 곱으로 나타낼 수 있다.

a_{1}=\sum _{i=1}^{N}\tau _{i}^0}H^{i}

여기서 전송 상수 $(\$ H $^{i$ 는 ${\textstyle i}$ i(\ $textstyle$ i $)$ 가 ${\textstyle i}$ 무한값이고 다른 모든 요소가 0값일 때 입력에 대한 출력 비율입니다.마찬가지로, 2차 분자 항은 다음과 같이 주어진다.

a_{2}=\sum _{i}^{j}^{<j\leqslant N}\tau _{i}^{0}\tau _{j}^{i}H^{ij}

여기서도 전달 상수 ${\textstyle H^{ij}}$ j(\ $textstyle$ H^{ $ij$ 는 ${\textstyle H^{ij}}$ ${\textstyle i}$ i(\ $textstyle$ i $)$ 와 ${\textstyle i}$ j $(\textstyle$ j $)$ 가 ${\textstyle j}$ 모두 무한값일 때 전달 상수입니다(다른 모든 값은 0).

$일반적$ 으로 n $\$ textstyle $n번째$ 분자 항은 다음과 같이 지정됩니다.

({displaystyle a_{n}=\sum _{i}^{j}^{j<k}\sum _{k\cdots}^{\ldots \leqslant N}\ldots _{i}\ldots _{j}^{i}\ldots _{k}^{i}^{i})HOTs

이를 통해 위의 식을 사용하여 충분한 수의 분자와 분모 항을 생성함으로써 전달 함수를 어느 정도의 정확도로도 완전히 계산할 수 있습니다.

레퍼런스

^ Hajimiri, A. (June 2010), "Generalized Time- and Transfer-Constant Circuit Analysis" (PDF), IEEE Trans. Circuit and Systems—I, 57 (6): 1105–1121, doi:10.1109/TCSI.2009.2030092, S2CID 1912322
^ Cochran, B.L.; Grabel, A. (January 1973), "A method for the determination of the transfer function of electronic circuits", IEEE Trans. Circuit Theory, CT-20 (1): 16–20, doi:10.1109/TCT.1973.1083615
^ Thornton, R. D.; Searle, C. L. (1965), "Multistage Transistor Circuits", New York: Wiley
^ Rosenstark, S. (1986), "Feedback Amplifier Principles", New York:MacMillan

[1] Hajimiri, A. (June 2010), "Generalized Time- and Transfer-Constant Circuit Analysis" (PDF), IEEE Trans. Circuit and Systems—I, 57 (6): 1105–1121, doi:10.1109/TCSI.2009.2030092, S2CID 1912322

[2] Cochran, B.L.; Grabel, A. (January 1973), "A method for the determination of the transfer function of electronic circuits", IEEE Trans. Circuit Theory, CT-20 (1): 16–20, doi:10.1109/TCT.1973.1083615

[3] Thornton, R. D.; Searle, C. L. (1965), "Multistage Transistor Circuits", New York: Wiley

[4] Rosenstark, S. (1986), "Feedback Amplifier Principles", New York:MacMillan

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