가우스 등분포 부등식

수학에서 가우스 이등분포는 보리스 치렐슨과 블라디미르 수다코프에 의해 증명되었고,^[1] 후에 크리스터 보렐에 의해 독립적으로 증명되었으며,^[2] N차원 유클리드 공간에서 주어진 가우스 측도의 모든 세트 중에서 반공간은 가우스 경계 측정치를 최소로 가지고 있다고 기술하고 있다.

수학적 공식화

Let ${\displaystyle \scriptstyle A}$ be a measurable subset of ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {R} ^{n}}$ endowed with the standard Gaussian measure ${\displaystyle \gamma ^{n}}$ with the density ${\displaystyle {\exp(-\ x\ ^{2}/2)}/(2\pi )^{$$n/2$ 다음을 기준으로 표시

${\displaystyle A_{\barepsilon }=\왼쪽\{x\in \mathbf {R}\{n}\, \, \{\text{dist}}(x,A)\leq \varepsilon \right\}}$

A의 연장선그러면 가우스 이등분포는 다음과 같이 기술하고 있다.

${\displaystyle \liminf _{\varepsilon \to +0}\varepsilon ^{-1}\\gamma ^{n}(A_{\barepsilon }})-\n(A)}(A_{n)(A_{n)\gq \varphi ^{{-1}(A)}),$

어디에

${\displaystyle \varphi (t)={\frac {\exp(-t^{2}/2)}{\sqrt {2\pi }}}}\quad {\rm {and}\pi(t)=\int_{-\inft}\varphi(s)\ds.}}$

증명 및 일반화

수다코프, 티렐슨, 보렐의 원본 증거는 폴 레비의 구형 등거리 불평등에 바탕을 두고 있었다.

세르게이 밥코프는 특정한 "2점 분석적 불평등"^[3]으로부터 가우스 이등분식의 기능적 일반화를 증명했다.배크리와 레두스는 훨씬 추상적인 환경에서 작동하는 세미그룹 기법에 근거한 밥코프의 기능적 불평등에 대한 또 다른 증거를 제시했다.^[4]나중에 바트와 마우리는 브라운 운동을 이용하여 또 다른 증거를 제시했다.^[5]

가우스 이등분포는 에르하르트의 불평등에서도 나타난다.^[6][7]

참고 항목

• 측정 농도
• 보렐-TIS 불평등

참조