연결 펑커에 대한 공식 기준

Freyd의 부호화 펑터^[1] 정리 — $Let{\displaystyle G}$: ${\displaystyle B\mathcal{}}$ → A$${\$displaystyle$$G:{\mathcal{B$}\to$${\$mathcal{$A}}}이(가) $완료$되는 범주 간의 펑터가$$ 된다.그 다음 사항은 동일하다(set-theetic 문제를 무시하는 단순성을 위해).

1. G는 왼쪽 연줄이 있다.
2. ${\displaystyle G}$ preserves all limits and for each object x in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, there exist a set I and an I-indexed family of morphisms ${\displaystyle f_{i}:x\to Gy_{i}}$ such that each morphism ${\displaystyle x\to Gy}$ is of the form ${\displaystyle G(y_i\to y)\circ f_{}}$${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 일부 형태주의 $y{\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y_{i}\to y$ .

좌편향의 존재에 대한 Kan 기준 — $G{\displaystyle }$: ${\displaystyle B\mathcal{}}$→ A ${\$을 범주 간 functor로 한다$$.그렇다면 다음과 같다.

1. G는 왼쪽 연줄이 있다.
2. G는 $한계$를 보존하고, A ${\$ ${\mathcal {A}$의 각 객체 x에 대해 ${\displaystyle 한계}$ 림${\displaystyle (}$ ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle \downarrow }$ ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle B}$) ${\displaystyle \lim({(x\downarrow$ G$)\to${\$mathcal {B}}}}}$에 제한값이 있다$$$.$^[2]
3. G를 따라$$ ID $펑터{\displaystyle {}_{}}$ $1{\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ B ${\$$displaystyle G_{!}1_{\mathcal{B}}$의 오른쪽 Kan 확장자 G${\displaystyle {!}_{}}$ 1 ${\displaystyle {B\mathcal{}}_{}}$ ${\$$displaystyle 1_{\mathcal{B}}$가 존재하며 G에 의해 보존된다.

또한, 이러한 경우 G의 왼쪽 연장은 왼쪽 Kan 확장을 사용하여 계산할 수 있다.^[2]