파일 역학

파일 역학이라는 용어는 좁은 채널에서 많은 입자의 움직임이다.null

과학에서: 화학, 물리학, 수학 및 관련 분야에서 파일 역학(일명, 단일 파일 역학)은 길이가 L(L → quasi)인 준 1차원 채널에서 동일한 브라운 하드 구체의 N(N → ∞)를 확산시켜 구들이 다른 구들 위로 한 개씩 뛰지 않도록 하며 평균 입자의 밀도는 대략적으로 나타난다.고정. 이 프로세스의 가장 유명한 통계적 특성은 파일에 있는 입자의 평균 제곱 변위(MSD)가 뒤따른다는 것이며, M S ${\displaystyle \mathrm{D}}$ ${\displaystyle \approx }$ t $1$ 2 ${\$표시 $스타일 \mathrm$ {$MSD}$\$$약 t$^{\frac {1}{1$}{2$\}\},$ 확률 밀도 함수(PDF)는 분산 MSD와 함께 가우스 위치에 있다는 것이다.^[1][2][3]

기본 파일을 일반화하는 파일의 결과:

• 밀도 법칙이 고정되어 있지 않지만 원점으로부터의 거리가 있는 a 지수를 가진 파워 법칙으로 해독되는 파일에서, 원점 내의 입자는 ${\displaystyle {\frac{\mathrm{}}{}}^{}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \approx }$ t $1$+ ${\displaystyle {\frac{2}{}}^{}}$ ${\$약 t$^{\frac {1+a}{2$와 같이 스케일되는 MSD를 가지고 있다.$}}},$가우스 PDF 포함.^[4]
• When, in addition, the particles' diffusion coefficients are distributed like a power law with exponent γ (around the origin), the MSD follows, ${\displaystyle MSD\approx t^{\frac {1-\gamma }{2/(1+a)-\gamma }}}$, with a Gaussian PDF.^[5]
• 리뉴얼된 변칙적인 파일, 즉 모든 입자가 함께 점프를 시도하지만, 지수인 -1 - α를 가진 전력 법칙으로 분해되는 분포로부터 점핑 시간을 취했을 때 MSD는 α의 힘으로 해당 정상 파일의 MSD처럼 스케일링된다.^[6]
• 독립입자의 변칙적인 파일에서 MSD는 매우 느리고 $M{\displaystyle }$ S ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \approx }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2{}^{}}$( t${\displaystyle }$) ${\displaystyle MSD\ around log^{2}(t)}$처럼 크기가 작아진다$.$ 더욱 흥미진진한 것은 입자들이 그러한 파일에서 클러스터를 형성하여 역동적인 위상 전환을 정의한다.이는 이상력 α에 따라 달라진다. α: 군집 내 입자의 백분율이 ${\displaystyle 1\sqrt{\mathrm{}}}$-${\displaystyle \sqrt{{\alpha \mathrm{}}^{}}}$ 3 ${\$ \$xi \sqrt{1-\alpha ^{3$^[7]
• 다른 일반화에는 다음과 같은 것들이 있다: 입자들이 마주칠 때 일정한 확률로 서로를 우회할 수 있을 때, 강화된 확산이 보인다.^[8]입자가 채널과 상호작용하면 느린 확산이 관찰된다.^[9]2차원(two-dimension)에 내장된 파일들은 한 차원(dension)에서 파일의 유사한 특성을 보여준다.^[7]

이러한 모델은 기본 파일보다 훨씬 정확하게 현실을 나타내기 때문에 기본 파일의 일반화가 중요하다.실제로 파일 역학은 생물학적, 합성적 모공 및 다공성 물질 내 확산, 생물학적 도로와 같은 1D 물체를 따라 확산, 폴리머 내 모노머의 역학 ^{[10][11][12][13][14][15][16]}등 수많은 미세 공정 모델링에 사용된다.null

수학적 공식화

단순 파일

간단한 Brownian 파일에서 $P{\displaystyle }$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle {x\mathbf{}}_{}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle P(\mathbf {x}, t\mid\mathbf {x_{0})$, 파일에 있는 모든 입자에 대한 공동 확률밀도함수(PDF)는 다음 정규 확산식을 준수한다.

${\displaystyle \partial_{t}P(\mathbf {x}, t\mid \mathbf {x_{0}})=D\sigma _{j=-M}^{x_{j}}}^{p(\mathbf {x},t_med \mathbf {x_{0}).}$

(1)

In ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )}$, ${\displaystyle \mathbf {x} =\{x_{-M},x_{-M+1},\ldots ,x_{M}\}}$ is the set of particles' positions at time ${\displaystyle t}$ and ${\displaystyle \mathbf {x_{0}} }$ is the set초기 시간 $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$제로 설정).방정식 (1)은 파일의 하드-sphere 특성을 반영하는 적절한 경계 조건으로 해결된다.

${\displaystyle {\big (}D\partial _{x_{j}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j}=x_{j+1}}={\big (}D\partial _{x_{j+1}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j+1}=x_{j}};\qquad j=-M,\ldots ,M-1,}$

(2)

적절한 초기 조건의 경우:

${\displaystyle P(\mathbf {x},t\오른쪽 화살표 \infit \mid x_{0}=\Pi _{j=-M}^{M}\delta (x_{j}-x_{0,j})}$

(3)

간단한 파일에서는 초기 밀도가 ${\displaystyle {고정}_{}}$되어 있는데, ${\displaystyle {}_{}}$ x 0${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{j}_{}}$ = j ${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle x_{0,j}=j\Delta$ 여기서 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta$}은 미시적인 길이를 나타내는 매개 변수다$$.PDF의 좌표는 다음 순서에 ${\displaystyle {\mathrm{따라야}}_{}}$ 한다: $x{\displaystyle {}_{}}$- M${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ - m${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ x ${\displaystyle \cdots }$ x ${\displaystyle \le }$ x {$$ x $M${-$M}\req$ x_{-M}\$leq x_{-M+$1}\leq $\cdots \leq x_{$M$\}.$

이기종 파일

그러한 파일들에서는 움직임의 방정식이 뒤따른다.

${\displaystyle \partial \partial_{t}P(\mathbf {x}, t\mid \mathbf {x_{0})=\Sigma _{{j}{j}}\partial _{x_{j}}}^{2P(\mathbf {x}, tmathbf {x_{x_{x_{0})})}}}}).}$

(4)

경계 조건:

${\displaystyle {\big (}D_{j}\partial _{x_{j}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j}=x_{j+1}}={\big (}D_{j+1}\partial _{x_{j+1}}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} ){\big )}_{x_{j+1}=x_{j}};\qquad j=-M,\ldots ,M-1,}$

(5)

초기 조건인 Eq. (3)은 입자의 초기 위치가 다음과 같이 준수한다.

$(\displaystyle x0,j=sign(j)\델타 \mid j\mid ^{1/(1-a)};\qquad 0\leq {\mathit {a}\leq 1.}$

(6)

파일 확산 계수는 PDF와는 독립적으로 취해진다.

${\displaystyle W(D)={\frac {1-\gamma }{\lambda }}}}{\lambda }}}^{-\gamma },\qquad 0\leq \leq \leq 1,}$

(7)

여기서 λ은 파일에서 가장 빠른 확산 계수를 나타내는 유한한 값을 가진다.null

비정상적인 리뉴얼된 이기종 파일

renewal-anomalous 파일에서 무작위 기간 독립적으로 형태로 대기 시간 확률 밀도 함수(WT-PDF, 더 많은 정보를 Continuous-time 마르코프 과정을 보여):ψ α는 곳 k는 파(t)∼ k(kt)− 1− α, 0<>α ≤ 1{\displaystyle \psi_{\alpha}(t)\sim k(kt)^{-1-\alpha},0<, \alpha \leq 1},에서 따온 것이다.ameter그리고 나서, 파일의 모든 입자들은 이 임의의 기간 동안 가만히 서 있고, 그 후에 모든 입자들은 파일의 규칙에 따라 점프를 시도한다.이 절차는 반복해서 계속된다.재생 불규칙 파일에서 입자의 PDF에 대한 운동 방정식은 다음과 같은 ${\displaystyle {커널}_{}}$ $k\alpha {\displaystyle {}_{}({}_{}t}$ ) ${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$과(와)의 브라운 파일에 대한 운동 방정식을 경련할 때 얻어진다$.$

${\displaystyle \partial _{t}P(\mathbf {x} ,t\mid \mathbf {x_{0}} )=\Sigma _{j=-M}^{M}D_{j}\partial _{x_{j}}^{2}\int _{0}^{t}k_{\alpha }(t-u)P(\mathbf {x} ,u\mid \mathbf {x_{0}} )\,du.}$

(8)

Here, the kernel ${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$and the WT-PDF ${\displaystyle \psi _{\alpha }(t)}$ are related in Laplace space, ${\displaystyle {\bar {k}}_{\alpha }(s)={\frac {s{\bar {\psi }}_{\alpha }(s)}{1-{\bar {\psi$$}}_{\alpha }(s)}}}$. (The Laplace transform of a function ${\displaystyle f(t)}$ reads, ${\displaystyle {\bar {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt}$.)Eq. (8)에 수반되는 반사 경계 조건은 여기서와 브라우니안 파일에서 초기 조건이 동일한 커널 $k{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\alpha }_{}}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle k_{\alpha }(t)}$과$($와)의 경계 조건을 경련할 때 얻는다.null

독립된 입자가 있는 비정상적인 파일

변칙 파일의 각 입자가 $\alpha {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \psi _{\alpha }($$)}({\$displaystyle \psi _{\alpha }(t$)})$ 형식의 자체 점프 시간을 할당받은 경우, 변칙 파일은 갱신 파일이 아니다.$그러한$ 파일의 기본 동적 주기는 다음과 같은 단계로 구성된다. 예를 들어, $파일$에서 가장 빠른 점프 $시간$을 가진 입자가 입자 i에 $대해$ 점프를 시도한다$.$그런 다음 다른 모든 입자의 대기 시간을 조정한다: 우리는 $t{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$를 각각에서$$ 뺍니다.마지막으로 입자 i에 대한 새로운 대기 시간이 그려진다.갱신 변칙적인 파일과 갱신되지 않는 변칙적인 파일의 가장 중요한 차이점은 각 입자가 자체 클럭을 가지고 있을 때, 입자가 시간 영역에서도 실제로 연결되고, 그 결과는 시스템에서 더 느리게 나타난다는 것이다(본문에서 입증됨).독립 입자의 변칙적인 파일에서 PDF의 동작 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle \partial _{t_{i}P(\mathbf {x},\mathbf {t})=D_{x_{0}\partial _{x_{i}^{{0}}}^{0}}\{0}^{t_{{i}-u_{i}}}}}}}}}}}}}}}}.P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} ^{'(i)},u_{i}\mid \mathbf {x_{0}}\,du_{i};\qquad -M\leq i\leq M.}$

(9)

Note that the time argument in the PDF ${\displaystyle P(\mathbf {x} ,\mathbf {t} \mid \mathbf {x_{0}} )}$ is a vector of times: ${\displaystyle \mathbf {t} =\{t_{i}\}_{i=-M}^{M}}$, and ${\displaystyle \mathbf {t}$$^{'(i)=\{t_{c}\}_{c=-M,c\neq$ i$}^{M$ 모든 좌표를 추가하고 빠른 시간 순으로 통합을 수행한다(구성 공간에서의 균일한 분포에서 순서가 무작위로 결정됨). 독립 입자의 변칙적인 파일에서 전체 운동 방정식을 제공한다(모든 구성에서 방정식의 평균).따라서 더 많은 약물이 필요하다.사실, Eq(9)조차 매우 복잡하고 평균을 내는 것은 상황을 더욱 복잡하게 만든다.null

수학적 분석

단순 파일

Eqs. (1)-(2)의 해법은 가우스인에 나타나는 모든 초기 좌표의 완전한 순열 집합이다.^[4]

${\displaystyle P(\mathbf {x} ,\mid \mathbf {x_{0}} )={\frac {1}{c_{N}}}\Sigma _{\{p\}}e^{-1/4Dt\Sigma _{j=-M}^{M}(x_{j}-x_{0,j}(p))^{2}}.}$

(10)

여기서 인덱스 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은(는) 초기 좌표의 모든 순열에 적용되며$$, $N{\displaystyle !}$ ${\displaystyle$ N$!}$ 순열을$$ 포함한다.Eq. (10)부터는 파일에 태그가 지정된 입자의 PDF$($${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \mid }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle P(r,t\mid r_{0})$를 계산한다.

${\displaystyle P(r,t\mid r_{0}}\심 {\frac {1}{c_{N}}e^{-R_{d}^{2}/{\sqrt {2\tau}}}}}}},}$

(11)

In Eq. (11), ${\displaystyle R_{d}=r_{d}\Delta }$, ${\displaystyle r_{d}=r-r_{0}}$ (${\displaystyle r_{0}}$ is the initial condition of the tagged particle), and ${\displaystyle \tau =\Delta ^{-2}Dt}$.태그가 지정된 입자에 대한 MSD는 Eq. (11)에서 직접 얻는다.

${\displaystyle \langle R_{d}^{2}\angle \sim {\sqrt {\tau }}.}$

(12)

이기종 파일

Eqs. (4)-(7)의 용액은 다음과 같은 표현과 근사하다.^[5]

${\displaystyle P(x,t\mid x_{0})\관련 {\frac {1}{c_{{N}}\Sigma _{\p\}e^{-\j=M}^{M}^{m}(x_{j}-x_{0,j})(p)^{2}/4tD_{j}}}}}}}{j}}}}.}$

(13)

Eq. (13)부터 시작하여, 이질적인 파일에서 태그가 붙은 입자의 PDF가 뒤따른다.^[5]

${\displaystyle P(r,t\mid r_{0}\sim {1}{c_{N}e^{-R_{d}^{2}/4\tau \tau ^{1-a)/(2-\gamma (1+a))}}};\qquad \tau =\Delta ^{-2}\Lambda t.}$

(14)

이기종 파일에서 태그가 지정된 입자의 MSD는 Eq. (14)에서 가져온 것이다.

${\displaystyle \langle R_{d}^{2}\angle =2\tau ^{(1-\gamma )/(2c-\gamma )},\qquad c=1/(1+a).}$

(15)

비정상적인 리뉴얼된 이기종 파일

리뉴얼에 열성적인 파일의 결과는 단순히 브라운 파일의 결과에서 도출된다.첫째, Eq. (8)의 PDF는 통합되지 않은 방정식, 즉 Brownian 파일 방정식을 해결하는 PDF의 관점에서 작성된다. 이러한 관계는 라플라스 공간에서 이루어진다.

${\displaystyle {\s\mid x_{0}={\frac {1}{{\bar {{k}_{\alpha }}}}{\bar {{P}_{\text{nrml}}}}(x,s/{k}){\alpha }\mid x_{0}}}}$

(16)

(첨자 nrml은 정상 역학을 의미한다.)Eq. (16)부터는 Brownian 이기종 파일과 리뉴얼에 열성적인 이기종 파일의 MSD와 관련하여 간단하다.^[6]

${\displaystyle \langle{\r}^{2}(s)\rangle ={\frac {1}{\bar{k}_{\langle{\r}}}}}}\langle {\bar{k}_{r}}}}}(s/{\bar {k}_{nr}s)\rlangle.}$

(17)

Eq. (18)에서 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha$}의 검정력에 정상 역학을 가진 파일의 MSD가$$ 해당 갱신-배터리 파일의 MSD임을 알게 된다.^[6]

${\displaystyle \langle r^{2}(t)\rangle \sim \langle r^{2}(t)\rangle _{\text{nrml}^{\reason }}}$

(19)

독립된 입자가 있는 비정상적인 파일

독립 입자가 있는 변칙 파일(9)의 동작 방정식은 매우 복잡하다.확장법을 도출하고 수치 시뮬레이션을 통해 그러한 파일에 대한 해결책에 도달한다.null

독립 파티클의 비정상적인 파일에 대한 확장법

첫째, 평균 절대 변위(MAD)에 대한 스케일링 법칙을 일정한 밀도의 갱신 파일에 기록한다.^[4][5][7]

${\displaystyle \langle \mid \langle \sim \langle \langle \mid \langle _{\text{free}/n.}$

(20)

Here, ${\displaystyle n}$ is the number of particles in the covered-length ${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$, and ${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle _{\text{free}}}$ is the MAD of a free anomalous particle, ${\displaystyle \langle \mid r\m$$id \rangle _{\text{free}}\sim t^{\alpha /2})}$. In Eq. (20), ${\displaystyle n}$ enters the calculations since all the particles within the distance ${\displaystyle \langle \mid r\mid \rangle }$ from the tagged one must move in the same direction in order that the tagged particle will reach a distance ${\disp$$laystyle$ \$langle \mid$r\mid $\angle }$을(를) 초기 위치에서$$ 배치하십시오.Eq. (20)에 근거하여 독립 입자의 변칙적인 파일에 대해 일반화된 스케일링 법칙을 작성한다.

${\displaystyle \langle r \langle \sim {\frac {\langle \mid \langle _{\text{free}}}{n}}{n}f(n);\qquad 0<f(n)<1.}$

(21)

Eq. (21)의 오른쪽에 있는 첫 번째 용어는 갱신 파일에도 나타난다. 그러나 f(n)이라는 용어는 독특하다.f(n)는 같은 방향으로 n 변칙적인 독립 입자를 이동하기 위해 이러한 입자들이 실제로 같은 방향으로 점프를 시도할 때(${\displaystyle 이}$ 용어와 함께 표현됨, ${\displaystyle ⟨}$ r${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\text{free}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$라는 사실을 설명하는 확률이다.N){\displaystyle \langle \mid\r\mid \randle_{\text{자유}/n)})), 파일 중앙의 입자가 이동하기 위한 여유 공간을 갖도록 먼저 이동해야 하며, 변칙적인 파일의 점프를 위한 일반적인 시간 스케일이 없기 때문에 f(n)가 나타나고,.입자들은 독립적이기 때문에 특정 입자는 매우 오랜 시간 동안 가만히 서 있을 수 있으며, 이 기간 동안 그의 주변 입자들에 대한 진행 옵션을 실질적으로 제한한다.분명히, < ( < 1{\$displaystyle$ 0$<f(n)<1$ 여기서 f(n) = 입자가 함께 점프한 이후 갱신 파일의 경우 1이지만, 그러한 파일에는 동기화된 점프의 시간으로 간주되는 점프에 대한 일반적인 시간 척도가 있기 때문에 α> ${\displaysty \alpha >1}$의 독립된 입자의 파일에서도 그렇다우리는 입자의 점프 시간 순서가 움직임을 가능하게 하는 구성의 수, 즉 빠른 입자가 항상 주변부를 향해 위치하는 순서로부터 f(n)를 계산한다.n개의 입자의 경우 n!${\displaystyle 이}$ 다른 구성이 있으며, 여기서 하나의 구성이 최적이다. 따라서${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$/ n${\displaystyle }$!${\displaystyle }$) ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle f}$(${\displaystyle n}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (1/n!)$$\leq f(n$ 그러나 다른 여러 구성에서도 전파는 가능하다; m이 이동하는 입자의 수일 때,

${\displaystyle f(n)\sim {\dbinom {n}{m}!1/n!,}$

(22)

여기서${\displaystyle {\displaystyle }}$(${\displaystyle {\displaystyle n\genfrac{}{}{0ex}{}{}{}}}$ ${\displaystyle {\displaystyle \genfrac{}{}{0ex}{}{m}{}}}$)${\displaystyle {\displaystyle }}$( ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle m}$) !${\displaystyle {\dbinom$ {$n}{m}}}(n-m)!$${}$은(는) 태그가 지정된 주변의 m 입자가 최적의 점프 순서를 갖는 구성의 수를 계산한다$$.Now, even when m~n/2, ${\displaystyle f(n)\sim e^{-n/2}}$. Using in Eq. (21), ${\displaystyle f(n)\sim e^{-n/n_{0}}}$ (${\displaystyle n_{0}}$ a small number larger than 1), we see,

${\displaystyle \mathrm {MSD} \심 \left({\frac {\alpha }}{n_}}\right)^{2}\ln ^{2}(t)}$

(23)

(Eq. (23)에서는 ${\displaystyle \mathrm{MS}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle ~\mid }$ M ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ .)$$ 식 (23)에 따르면 독립 입자의 변칙적인 파일에서 입자가 매우 느리다.null

독립입자의 변칙파일에 관한 수치적 연구

수치 연구를 통해 독립 입자의 변칙적인 파일이 군집을 형성한다는 것을 알 수 있다.이 현상은 역동적인 위상 전환을 정의한다.안정상태에서는 군집 내 $입자{\displaystyle }$ ${\displaystyle ,}$ (${\displaystyle \alpha }$) ${\displaystyle \xi (\alpha )}$의 백분율이 뒤따른다$.$

${\displaystyle \xi(\displaystyle \xi)(\floss )\reason {1-\reason ^3}}}$

(24)

그림 1에서 우리는 501개의 입자 파일에서 9개의 입자로부터의 궤적을 보여준다.(새 창에서 파일을 여는 것이 좋다.)상단 패널은 $\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0.9}$ ${\displaystyle \alpha =0.9}$의 궤적을 보여주고 하단 패널은${\displaystyle \mathrm{}}\alpha {\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$.1 ${\displaystyle \alpha =0.1}$의 궤적을 보여준다$.$ 표시된$$ 각 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha}$의 값은 시뮬레이션 초기 단계(왼쪽)와 모든 단계(오른쪽)의 궤적이다.그 판넬들은 궤도가 서로 끌어당긴 다음 거의 함께 움직이는 군집화 현상을 보여준다.null

참고 항목

• 브라운 운동
• 랜지빈 역학
• 시스템 역학

참조