유클리드 랜덤 행렬

Euclidean random matrix

수학 내에서 N×N 유클리드 무작위 행렬 â은 d차원 유클리드 공간의 영역 V에 임의로 분포된 임의 결정론 함수 f(r, r′)와 N 지점 {ri}의 도움으로 정의된다.행렬의 원소 A는ij fij(ri, rj): A = f(ri, rj)와 같다.

역사

유클리드 무작위 매트릭스는 1999년에 처음 도입되었다.[1]그들은 f(r, r depend) = f(r - r′)의 점 쌍 사이의 거리에만 의존하는 함수 f의 특별한 경우를 연구했고, 대각선 원소ii A에 추가 조건을 부과했다.

Aij = f(ri - rj) - u uf(ijkri - rk) - ),

매트릭스를 연구한 물리적 맥락에서 동기를 부여받았지유클리드 거리 행렬은 f(rij - r) = r - rj 또는i f(rij - r) = r - r을ij 가진 유클리드 무작위 행렬의 특별한 예다.[2]

예를 들어, 많은 생물학적 네트워크에서, 두 노드 사이의 상호작용 강도는 그러한 노드의 물리적 근접성에 따라 달라진다.노드 사이의 공간적 상호작용은 노드가 임의로 공간에 배치되는 경우 유클리드 무작위 매트릭스로 모델링할 수 있다.[3][4]

특성.

점 {ri}의 위치가 랜덤하기 때문에 행렬 요소 A도ij 랜덤하다.더욱이 N×N 요소는 N점만으로 완전히 결정되며, 일반적으로 N≫d에 관심이 있기 때문에 서로 다른 요소들 사이에 강한 상관관계가 존재한다.

Example 1
f(r, r′) = sin(kǀr-r0′)/(kǀr-r0′ǀ)/(krr-r′ǀ) 함수에 의해 생성된 유클리드 무작위 행렬의 고유값 Ⅱ의 확률 분포의 예로서 k0 = 2π/λ이다0.마르첸코-파스퇴르 분포(빨간색)는 N×N 크기의 랜덤하게 생성된 행렬 집합의 수치 대각화 결과와 비교된다.점의 밀도는 ρλ03 = 0.1이다.

에르미트 유클리드 무작위 행렬

에르미트 유클리드 무작위 행렬은 과냉각 액체,[5] 무질서한 계통의 음운,[6] 무작위 매체의 파동 등 다양한 물리적 맥락에서 나타난다.[7]

예 1: f(r, r′) = sin(k0 r-r′ )/(k0 r-r′ )/(k r-r′ ) 함수에 의해 생성된 매트릭스 consider을0 k = 2λ/λ으로0 간주한다.이 행렬은 에르미트어이고 그 고유값 Ⅱ는 진짜다.측면 L과 체적 V = L의3 큐브에 랜덤하게 분포된 N 점에 대해서는, points = N/V ob03 1과 2.8N/(k0 L)2 < 1>의 밀도가 같을 경우, λ의 확률 분포가 대략 마르첸코-파스투르 법칙에 의해 주어진다는 것을 보여줄[7] 수 있다(그림 참조).

Example 2
f(r, r′) = exp(ikǀr-r0′)/(kǀr-r0′) 함수에서 생성된 유클리드 무작위 행렬의 고유값 Ⅱ의 확률 분포의 예로서 k0 = 2π/λ0, f(r= r′) = 0이다.

비헤르미티아 유클리드 무작위 행렬

대형(NN≫1) 비헤르미티아 유클리드 무작위 행렬의 고유값 밀도에 대한 이론이 개발되어[8] 무작위 레이저의 문제를 연구하기 위해 적용되었다.[9]

예 2: f(r, r′) = exp(ik0 r-r′ )/(k0 r-r′ )/(k r-r′ ) 함수에 의해 생성된 행렬 matrix을 고려한다0. k = 20 and/(, f(r= r 0) = 0. 이 행렬은 에르미트인이 아니며 고유값 λ은 복잡하다.point의 확률분포는 점 ob = N/V obys ρ03 ρ 1과 9N/(8k0 R)2 < 1을 참조하면 분석적으로[8] 찾을 수 있다(그림 참조).

참조

  1. ^ Mezard, M.; Parisi, G.; Zee, A. (1999). "Spectra of euclidean random matrices". Nuclear Physics B. 559 (3): 689–701. arXiv:cond-mat/9906135. Bibcode:1999NuPhB.559..689M. doi:10.1016/S0550-3213(99)00428-9. S2CID 3020186.
  2. ^ Bogomolny, E.; Bohigas, O.; Schmit, C. (2003). "Spectral properties of distance matrices". Journal of Physics A: Mathematical and General. 36 (12): 3595–3616. arXiv:nlin/0301044. Bibcode:2003JPhA...36.3595B. doi:10.1088/0305-4470/36/12/341. S2CID 15199709.
  3. ^ Muir, Dylan; Mrsic-Flogel, Thomas (2015). "Eigenspectrum bounds for semirandom matrices with modular and spatial structure for neural networks". Phys. Rev. E. 91 (4): 042808. Bibcode:2015PhRvE..91d2808M. doi:10.1103/PhysRevE.91.042808. PMID 25974548.
  4. ^ Grilli, Jacopo; Barabás, György; Allesina, Stefano (2015). "Metapopulation Persistence in Random Fragmented Landscapes". PLOS Computational Biology. 11 (5): e1004251. Bibcode:2015PLSCB..11E4251G. doi:10.1371/journal.pcbi.1004251. ISSN 1553-7358. PMC 4439033. PMID 25993004.
  5. ^ Grigera, T. S.; Martín-Mayor, V.; Parisi, G.; Verrocchio, P. (2003). "Phonon interpretation of the 'boson peak' in supercooled liquids". Nature. 422 (6929): 289–292. Bibcode:2003Natur.422..289G. doi:10.1038/nature01475. PMID 12646916. S2CID 4393962.
  6. ^ Amir, A.; Oreg, Y.; Imry, Y. (2010). "Localization, Anomalous Diffusion, and Slow Relaxations: A Random Distance Matrix Approach". Physical Review Letters. 105 (7): 070601. arXiv:1002.2123. Bibcode:2010PhRvL.105g0601A. doi:10.1103/PhysRevLett.105.070601. PMID 20868026. S2CID 42664610.
  7. ^ a b Skipetrov, S. E.; Goetschy, A. (2011). "Eigenvalue distributions of large Euclidean random matrices for waves in random media". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 44 (6): 065102. arXiv:1007.1379. Bibcode:2011JPhA...44f5102S. doi:10.1088/1751-8113/44/6/065102. S2CID 119152955.
  8. ^ a b Goetschy, A.; Skipetrov, S. (2011). "Non-Hermitian Euclidean random matrix theory". Physical Review E. 84 (1): 011150. arXiv:1102.1850. Bibcode:2011PhRvE..84a1150G. doi:10.1103/PhysRevE.84.011150. PMID 21867155. S2CID 44717545.
  9. ^ Goetschy, A.; Skipetrov, S. E. (2011). "Euclidean matrix theory of random lasing in a cloud of cold atoms". EPL. 96 (3): 34005. arXiv:1104.2711. Bibcode:2011EL.....9634005G. doi:10.1209/0295-5075/96/34005. S2CID 119116200.