에르데스-투란 부등식

수학에서는 Erdős-투란 불평등은 푸리에 계수의 관점에서 원의 확률 측정과 르베그 측정 사이의 거리를 제한한다. 1948년 폴 에르디스와 팔 투란에 의해 증명되었다.^[1][2]

μ는 단위 원 R/Z에서 확률 측정값으로 한다. 에르데스-투란 불평등은 어떤 자연수 n에 대해서도

${\displaystyle \sup _{A}-\left \mushrm {mes}\,A\right \leq C\좌({\frac {1}{n}+\sum _{k=1}^{n}{\frac {\hat{\mu{}}}}}}}}}}}{{k}}}}}}}}}}}}}오른쪽).$

최상위가 단위 원의 모든 호 A ⊂ R/Z 위에 있는 경우, 메스는 르베그 측도를 나타낸다.

${\displaystyle {\mu}}(k)=\int \exp(2\pi ik\theta )\,d\mu(\theta )}$

푸리에 계수는 μ이고, C > 0은 숫자 상수다.

불일치에 대한 적용

렛츠₁₂, s, s₃... ∈ R은 연속이다. 에르데스-그 조치에 적용된 투란 불평등

${\displaystyle \mu _{m}(S)={\frac {1}{m}\#\{1\leq j\leq m\, \, s_{j}\,\mathrm {mod} \, in S\},\,\quad S\subset[0,1],},},},}$

이 불일치에 대해 다음과 같은 한계치를 산출한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}D(m)&\left(=\sup _{0\leq a\leq b\leq 1}{\Big }m^{-1}\#\{1\leq j\leq m\, \,a\leq s_{j}\,\mathrm {mod} \,1\leq b\}-(b-a){\Big }\right)\\[8pt]&\leq C\좌({\frac {1}{n1}+{n1}{m}}\sum _{k=1}^{n}{{k}}}}\좌측 \sum _{j=1}^{j=1}^{m}e^{2\pi_{j}k}오른쪽).\end{정렬}\qquad(1)}$

이 불평등은 임의의 자연수 m,n을 수용하며, 동일한 분포에 대한 Weyl의 기준의 정량적 형태를 제공한다.

(1)의 다차원 변형은 Erdős-로 알려져 있다.투란-코크스마 불평등

메모들

추가 참조

• Harman, Glyn (1998). Metric Number Theory. London Mathematical Society Monographs. New Series. 18. Clarendon Press. ISBN 0-19-850083-1. Zbl 1081.11057.