열거자 다항식

코딩 이론에서, 이진 선형 코드의 중량 열거자 다항식은 가능한 각 해밍 중량의 단어 수를 지정한다.

$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$을(를) 이진 선형 코드 길이 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 되도록 한다$.$무게 분포는 숫자의 순서다.

${\displaystyle A_{t}=\#\{c\in C\mid w(c)=t\}}$

무게 t를 0에서 n까지의 범위로 갖는 C에서 코드 워드 수 c를 부여한다.중량 열거자는 이바리테 다항식이다.

${\displaystyle W(C;x,y)=\sum _{w=0}^{n}}A_{w}x^{w}x^{w}y^{n-w}.}$

기본 속성

1. $[\displaystyle W(C;0,1)=A_{0}=1}$
2. ${\displaystyle W(C;1,1)=\sum _{w=0}^{n}}A_{w}=C }$
3. $[\displaystyle W(C;1,0)=A_{n}=1\mbox{{{\mbox{{}}{{\ldots,1)\in C\{\mbox{\mbox{}}$
4. ${\displaystyle W(C;1,-1)=\sum _{w=0}^{n}}A_{w}(-1)^{n-w}=A_{n}+(-1)^{1}A_{n-1}+\ldots +(-1)^{n-1A_{1}+(-1)^{n}A_{0}}$

MacWilliams ID

$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 이중 코드 표시

${\displaystyle C^{\perp }=\{x\in \mathb {F} _{2}^{n}\,\mid \,\langle x,c\rangele =0{\mbox{}}}}}}\forall c\in C\}}}}}}}}$

(여기서 $⟨{\displaystyle }$ ,${\displaystyle \text{⟩}}$ ${\displaystyle \langle$\$,\\rangele }$은(는) 벡터 도트 제품을 나타내며$$, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ 2$${\$displaystyle \mathb{F} _{2$}}).$$

MacWilliams ID는 다음과 같이 명시되어 있다.

${\displaystyle W(C^{\perp };x,y)={\frac {1}{\mid C\mid }}W(C;y-x,y+x).$

그 정체는 제시 맥윌리엄스의 이름을 따서 지어졌다.

거리 열거자

크기 M과 길이 n의 코드 C의 거리 분포 또는 내부 분포는 숫자의 순서다.

${\displaystyle A_{i}={\frac {1}{M}\#\좌측\lbrace(c_{1},c_{2})\c\time C\mid d(c_{1},c_{2})=i\right\rbrace }}$

여기서 i의 범위는 0에서 n까지입니다.거리 열거자 다항식은

${\displaystyle A(C;x,y)=\sum _{i=0}^{n}}A_{i}x^{i}y^{n-i}}}}$

그리고 C가 선형일 때 이것은 중량 열거자와 동일하다.

C의 외부 분포는 2ⁿ by-n+1 행렬 B로 GF(2)ⁿ의 요소에 의해 인덱싱된 행과 정수 0...n에 의해 인덱싱된 열과 항목이다.

$C\mid d(c,x)=i\displaystyle B_{x,i}=\#\left\lbrace c\in C\mid d(c,x)=i\right\rbrace.}$

B 행의 합은 내부 분포 벡터(A₀,..., A_n)의 M배이다.

코드 C는 C의 코드 워드에 해당하는 B의 행이 모두 같으면 규칙적이다.

참조

• Hill, Raymond (1986). A first course in coding theory. Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series. Oxford University Press. pp. 165–173. ISBN 0-19-853803-0.
• Pless, Vera (1982). Introduction to the theory of error-correcting codes. Wiley-Interscience Series in Discrete Mathematics. John Wiley & Sons. pp. 103–119. ISBN 0-471-08684-3.
• J.H. van Lint (1992). Introduction to Coding Theory. GTM. Vol. 86 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-54894-7. 3.5장과 4.3장.