디지털 지연선

디지털 지연 라인(또는 단순히 지연 라인, 지연 필터라고도 함)은 디지털 필터의 이산 요소로, 신호가 다수의 샘플에 의해 지연될 수 있도록 합니다.지연 라인은 공기 중의 소리 속도를 보상하기 위해 라우드스피커를 공급하는 오디오 신호를 지연시키고 비디오 신호를 동반된 오디오와 정렬하는 데 일반적으로 사용되며, 이를 오디오 대 비디오 동기화라고 합니다.지연 라인들은 상이한 경로들을 갖음에도 불구하고 다수의 신호들이 동시에 디바이스를 떠나도록 전자 프로세싱 레이턴시를 보상할 수 있습니다.

디지털 지연선은 실내 음향, 악기 및 효과 단위를 시뮬레이션하는 방법으로 널리 사용되는 빌딩 블록입니다.디지털 도파관 합성은 디지털 지연선이 현악기, 관악기 등 다양한 악기의 소리 합성 방법으로 어떻게 활용될 수 있는지 보여줍니다.

지연 라인이 1보다 작은 정수가 아닌 값을 유지하면 부분 지연 라인(내삽 지연 라인 또는 부분 지연 필터라고도 함)이 생성됩니다.정수 지연 라인과 ^[2]분수 지연 필터의 연속은 디지털 신호 처리에서 임의의 지연 필터를 모델링하는 데 일반적으로 사용됩니다.Dattorro scheme은 분수 지연 ^[3]라인을 사용하는 디지털 필터의 업계 표준 구현입니다.

이론.

정수 지연이 있는 표준 지연 라인은 M ${\displaystyle$ M$}$ 샘플에$$^[4] $의해{\displaystyle }$ 지연된 이산 시간 $신호{\displaystyle }$ x$${\$displaystyle$ x$}$의 Z 변환에서 유도됩니다.

${\displaystyle y[n]=x[n-M]}$ ${\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {Z}}}}$ ${\displaystyle Y(z)=\overbrace {z^{-M}} ^{H_{M}(z)}X(z)}$

이 경우${\displaystyle {}^{}}z$ - ${\displaystyle M^{}}$ = ${\displaystyle {HM}_{}z)}${\$displaystyle$ z$^{-M$}=$H_{M}(z)}$는 다음과 같은 정수 지연 필터입니다.

${\displaystyle {\display{case} \centerdot = 1= 0dB,&{\text{zero dB gain}}\\\displayangle = -\omega M,&{\text{linearphase with }}\omega = 2\pi fT_{s}{\text{여기서 }}{\text{는 초 단위 샘플링 주기}}[s]입니다.\end{case}}$

정수 $지연{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle$ M$}$을(를) $displaystyle H_{M}(z)$의 역 제타 변환으로 사용하는 이산 시간 도메인 필터는 M ${\displaystyle$ M$\}$^[5]에 의해 $이동$된 임펄스이므로 사소한 것입니다.

${\displaystyle h_{m}[n]={\task{case}{\text{1}},&{\text{for}}n=M\0,&{\text{for}}n\neq M.{case}}$

분수 지연과 함께 이산 시간 도메인에서 작업하는 것은 덜 사소한 일입니다.가장 일반적인 이론적 형태에서 임의의 분수 지연을 갖는 지연선은 $지연$ D ∈ ${\displaystyle R}${\$displaystyle$ D$\in \mathbb {R}$을$($를) 갖는 표준 지연선으로 정의됩니다.이것은 $정수$ ${\displaystyle 성분}$ M$$∈ Z {\$displaystyle$M\$in \mathbb$ {Z$}}$과 하나의 표본보다 작은 분수 $성분$ d ∈ ${\displaystyle R}${\$displaystyle$ d$\in \mathbb {R}$의 합으로 모델링할 수 있습니다.

이것은 사소한 디지털 필터 설계 문제의 $Z{\displaystyle \mathcal{}}${\$displaystyle${\$mathcal {Z}}$ 도메인$$ 표현입니다. 솔루션은 ${\displaystyle {HD}_{}z)}$ ${\displaystyle H_{D}(z$^[2]의 역 Z 변환을 나타내거나 근사하는 임의의 시간 도메인 필터입니다.

필터 설계 솔루션

순진해

개념적으로 가장 쉬운 솔루션은 연속 시간 도메인 솔루션을 샘플링함으로써 얻어지는데, 이는 지연 값에 대해 사소한 것입니다.연속 시간 $신호$ x ${\displaystyle$ x$}$이$($) D$$tau R {\$displaystyle$ D$\in$\mathbb {R$}}$ 샘플 또는 τ${\displaystyle }$=$DT {\$displaystyle \displays = DT_${s}$초 지연된 $경우$:

${\displaystyle y(t)=x(t-D)}$ ${\displaystyle {\xrightarrow[{}]{\mathcal {F}}}}$ ${\displaystyle Y(\omega )=\overbrace {e^{-j\omega D}} ^{H_{ideal}(\omega )}X(\omega )}$

이 경우${\displaystyle {}^{}}$e - ${\displaystyle j^{}}$ ω D = ${\displaystyle {\mathrm{Hideal}}_{}}$(${\displaystyle }$ω )$${\$displaystyle$ e$^{-j\omega$ D} = $H_{ideal}(\omega$)}은(는) 다음과 같은 연속 시간 도메인 부분 지연 필터입니다.

${\displaystyle {\display{case} \centerdot = 1= 0dB,&{\text{zero dB gain}}\\\다각도 =-\omega D,&{\text{linear phase}}\\\d\다각도 \over {d\omega}}=D,&{\text{constant group delay}}\\text{ph}=-{\text{constant gain}},=-D,&{\text{constant phase delay}.}}\end{case}}$

샘플링된 $필터$ ${\displaystyle {\mathrm{숨김}}_{}n]}$ ${\displaystyle h_$${ideal}[$$n]}$에 대한 순진한 솔루션은 ${\displaystyle D_{}}$ ${\displaystyle$ D$\}$에 의해 이동된 Cardinal ${\displaystyle \mathrm{Sinc}()}${\$displaystyle$ sinc$()}$ 모양의 비원인 IIR 필터를 생성하는 ${\displaystyle {\mathrm{Hideal}}_{}}($ ω$)${\displaystyle sinc()}의 샘플링된 역푸리에 변환입니다.

${\displaystyle h_{{pi}[n]={\mathcal {F}}^{-1}[H_{ideal}(\omega )]={1 \over {2\pi}}\int \pi _{-\pi }^{+\pi }e^{j\omega D}e^{j\omega n}d\omega =ω(n-D)={sin(\pi(n-D))\over {\pi(n-D)}}$

샘플링이 항상 $데카르트 평면$에 정렬되는 동안 c$${\displaystyle$$}의 $연속{\displaystyle }$ 시간 ${\displaystyle \mathrm{도메인}}$은 분수 지연에 의해 이동됩니다.

• 지연이 정수 ${\displaystyle 개}$의 $샘플$ D$$∈ N {\$displaystyle D\in \mathbb$ {N$\}\}$ 인 경우, $샘플링$된 ${\displaystyle$sinc}에서 ${\displaystyle \mathrm{이론적}}$ 솔루션과 마찬가지로 이동된 임펄스로 퇴화됩니다.
• 지연이 $샘플$ D ∈ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle$ D$\in \mathbb {R$의 분수일 때 ${\displaystyle$sinc}에서 ${\displaystyle \mathrm{샘플링}}$된 $시프트$는 ${\displaystyle \mathrm{실제}}$ 구현할 수 없는 비원인 IIR 필터를 생성합니다.

절단된 인과 FIR 솔루션

개념적으로 가장 쉽게 구현할 수 있는 해결책은 ^[7]위의 순진한 해결책의 인과적 절단입니다.

${\displaystyle h_{\text}[n]={\begin{case}sinc(n-D)&{\text{for}}}0\leq n\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}\end{case}\;\;\;\n;{\text{where}\;\n;{N-1 \over {2}}<D<{N+1 \over {2}}\n\text{and}}\n\n\n\n\text{for}}\n\n\text{n\text{and}}\n;N\;{\text{는 필터의 순서입니다.}}$

그러나 임펄스 응답을 잘라내면 불안정성이 발생할 수 있으며, 이는 몇 가지 방법으로 완화될 수 있습니다.

• 절단된 임펄스 응답을 윈도우에 표시하여 부드럽게 만듭니다.이 경우 윈도우와 ${\displaystyle \mathrm{sinc}}$ ${\displaystyle (}$)$${\$displaystyle$ sinc$())$를 정렬하고 대칭^[7][8] 필터링을 제공하기 위해 추가 $시프트{\displaystyle }$ L$${\$displaystyle$ L$}$을(를) 추가해야 합니다.

  ${\displaystyle h_{\text}[n]={\begin{case}w(n-D)sinc(n-D)&{\text{for}}L\leq n\leq L+N\\0&{\text{otherwise}}\end{case}\;\;\n\text{where}\n\n\text{here}\n\n\text{here}\n\n\n\text{case}\n\text{here}\n\n\text{case}\n\text{here}\n\text{here}\n\n\text{case}\n\text{}L={\begin{case}라운드(D)-{N \over{2}}&{\text{짝수인 경우}}N\\\l플로어 D\r플로어 -{N-1 \over{2}}&{\text{ 홀수인 경우}}N\end{case}}$

• GLS(General Least Square) 방법:^[2] 다음과 같이 정의되는 필터의 이상적인 주파수 응답과 절단된 주파수 응답 사이의 제곱 적분 오차를 최소화하는 최소 제곱 적분 오차 설계를 창에 표시하여 주파수 응답을 반복적으로 조정합니다.

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi}}\int \lot _{-\alpha \pi }^{\alpha \pi }w(\omega ) H_{D}^{truncated}(e^{j\omega})-H_{D}^{id}(e^{j\omega})^{2}d\omega \;\;\;\;\;{\text{여기 }}0<\alpha \leq 1{\text{는 통과대역폭 매개변수}}}$

• 라그랑주 보간기(최대 평탄 부분 지연 필터):^[9] 최소 제곱 적분 오차의 첫 N개 도함수에 "평탄도" 제약을 추가합니다.이 방법은 폐쇄형 솔루션을 가지고 있기 때문에 특히 관심이 있습니다.

${\displaystyle h_{D}[n]=\prod _{k=0,\;k\neq n}^{N}{D-k \over {n-k}}\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;0\leq n\leq N}$

다음은 위 수식의 확장으로 최대 $N$ = ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle$ N =$3$까지의 결과 필터를 표시합니다.

라그랑주 보간기 수식[7] 확장
	${\displaystyle h_{\display}[0]}$	${\displaystyle h_{\display}[1]}$	${\displaystyle h_{\display}[2]}$	${\displaystyle h_{\display}[3]}$
N = 1	${\displaystyle 1-D}$	${\displaystyle D}$	-	-
N = 2	${\displaystyle {(D-1)(D-2) \over {2}}}$	${\displaystyle -D(D-2)}$	${\displaystyle {D(D-1) \over {2}}}$	-
N = 3	${\displaystyle - {(D-1)(D-2)(D-3) \over {6}}}$	${\displaystyle {D(D-2)(D-3) \over {2}}}$	${\displaystyle - {D(D-1)(D-3) \over {2}}}$	${\displaystyle {D(D-1)(D-2) \over {6}}}$

올패스 IIR 위상 근사 솔루션

또 다른 접근법은$$D {\$displaystyle$D$$^[7]} $지연$에 근접하면서도 올 패스가 되도록 강제하는 Z 변환 구조를 가진 $차수{\displaystyle }$ N$${\$displaystyle$ N$}$의 IIR 필터를 설계하는 것입니다.

${\displaystyle H_{D}(z)={z^{-N}A(z) \over {A(z^{-1}}}}={a_{N-1}z^{-1}+...+a_{1}z^{-(N-1)}+z^{-N} \over {1+a_{1}z^{-1}+...+a_{N-1}z^{-(N-1)}+a_{N}z^{-N}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{case} \centerdot =1=0dB&0dB{\text{gain}}\\\text{gain}}\\\tangle _{H_{D}(z)}=-N\omega +2\tangle _{A(z)}=-D\omega &{\text{delay}}D\end{case}}$

A${\displaystyle (\text{z})}$와 A${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {-}^{}}$ ${\displaystyle {}^{})}$ ${\displaystyle$ A$(z){\text{ 및 }}}A(z^{-}$1)의 응답은 주파수${\displaystyle }$⋅ {\$displaystyle$ \$centerdot}$의 응답을 평탄화하고 위상은 A$){\displaystyle$$$A$(z$의 위상의 함수입니다. 따라서 문제는 FIR $필터$ A$){\displaystyle$ A$(z$ th에서 D의 함수로서 $계수$ a {\$displaystyle$a_${k$}}를 찾습니다(${\displaystyle 0_{}}$ = ${\displaystyle 1}${\$displaystyle a_{0$}=$1}$인 경우 $항상$). 위상이 원하는 값$$∡ ${\displaystyle {{HD}_{}z)}_{}}$ = - ${\displaystyle D}$ω {\$displaystyle \multangle$ _${H_{D}(z$)} = - $D\omega$ $\}$에 가장 근접하도록 합니다.

주요 솔루션은 다음과 같습니다.

• 최소 제곱 위상 ^[2]오차의 반복 최소화는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi}}\int \lot _{-\pi }^{\pi }w(\omega ) \underbrace {\underbrace {-D\omega } _{\n각도 _{ID}}-\밑줄 {(-N\omega +2\측정 각도 _{A(z))} _{\측정 각도 _{H}} _{\델타 \측정 각도 _{H_{D}} ^{2}d\omega }$

• 최소 제곱 위상 지연 ^[2]오류의 반복 최소화는 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle E_{LS}={1 \over {2\pi}}\int \lot _{-\pi }^{\pi }w(\omega ){\Delta \multangle _{H_{D}} \over {\omega }}^{2}$

• 최대 평탄 그룹 ^[11]지연이 있는 Thiran All-Pole Low-Pass 필터.그러면 양의 D > {\$displaystyle$ D > 0 {\$displaystyle$ D > $0$에 대해 ${\$$}}$ ${\displaystyle {계수}_{}}$를 찾을 수 있는 닫힌 솔루션이 생성됩니다.

${\displaystyle a_{k}=(-1)^{k}{\binom {N}{k}}\prod _{l=0}^{N}{D+k+l}}\;\;\;\;\;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;{\binom {n}{k}}={N! \over {k!(N-k)!}}$

다음은 위 공식의 확장으로 최대 N = ${\displaystyle 3}${\$displaystyle$ N = $3$까지의 결과 $차수$ 계수를 표시합니다.

Tiran All-Pole 저역 통과 필터 계수 공식[7] 확장
	${\displaystyle a_{0}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{2}}$	${\displaystyle a_{3}}$
N = 1	1	${\displaystyle - {D-1 \over {D+1}}}$	-	-
N = 2	1	${\displaystyle -2{D-2 \over {D+1}}}$	${\displaystyle {(D-1)(D-2) \over {(D+1)(D+2)}}$	-
N = 3	1	${\displaystyle -3{D-3 \over {D+1}}}$	${\displaystyle 3{(D-2)(D-3) \over {(D+1)(D+2)}}}$	${\displaystyle - {(D-1)(D-2)(D-3) \over {(D+1)(D+2)(D+3)}}$

상업사

디지털 지연선은 1973년 뉴욕 왓킨스 글렌 록 페스티벌에서 60만 명의 관객을 동원해 멀리 떨어진 스피커 타워에 적절한 지연 시간을 제공하기 위해 공기 중 음속을 보상하는 데 처음 사용됐습니다.뉴욕에 본사를 둔 Eventide Clock Works는 각각 200 밀리초의 지연이 가능한 디지털 지연 장치를 제공했습니다.4개의 스피커 타워가 무대에서 200피트(60m) 떨어진 곳에 배치되었으며, 신호는 주 무대 스피커와 지연 타워 사이의 음속을 보상하기 위해 175ms 지연되었습니다.6개의 스피커 타워가 무대에서 400 피트 떨어진 곳에 추가로 배치되어 350 밀리초의 지연 시간이 필요했고, 추가로 6개의 타워가 무대에서 600 피트 떨어진 곳에 배치되어 525 밀리초의 지연 시간이 필요했습니다.각 Eventide DDL 1745 모듈에는 1,000비트 시프트 레지스터 칩 100개와 맞춤형 디지털-아날로그 변환기가 들어 있으며 가격은 3,800달러(2022년 ^[12][13]26,585달러)입니다.

참고 항목

• 아날로그 지연선
• 지연라인 메모리
• 보간

참고문헌

추가열람

• Valimaki, Vesa; Laakso, Timo; Karjalainen, Matti; Laine, Unto (1996). "Splitting the Unit Delay". IEEE Signal Processing Magazine. 13 (1): 30–60. doi:10.1109/79.482137 – via IEEE Explore.
• Harris, Frederic J. (January 1978). "On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform". Proceedings of the IEEE. 66 (1): 51–83. doi:10.1109/PROC.1978.10837. S2CID 426548 – via IEEE Explore.

외부 링크

• 줄리어스 스미스의 디지털 필터 소개
• Julius Smith의 스펙트럼 오디오
• 줄리어스 스미스의 물리적 오디오 신호 처리
• Valimaki Vesa에 의한 분수지연필터를 이용한 음향관의 이산시간 모델링