ddbar 보조군

$복잡한$ 기하학에서 $\partial {\bar {\partial }}$ ddbar lema $($ ddbar lema로 발음됨 $)$ 는 $\partial {\bar {\partial }}$ 복잡한 미분 형태의 de Rham 코호몰로지 클래스에 관한 수학 보조어이다 $.$ $부분적인$ 켈러는 콤팩트한 켈러 다양체의 $\partial {\bar {\partial }}$ 호지 이론과 켈러 정체성의 결과물이다 $.$ $dd^{c}$ ${\textstyle d^{c}=-{\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }})}$ ${\textstyle d^{c}=-{\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }})}$ d $=$ - ${\textstyle d^{c}=-{\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }})}$ 2 ( ${\textstyle d^{c}=-{\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }})}$ ∂ - ${\$ ){ $textstyle$ d $^{c$ }=-{\ $frac {i2}}(\bar -$ {\ $frac$ {i ${\textstyle d^{c}=-{\frac {i}{2}}(\partial -{\bar {\partial }})}$ 를 사용하여 d $dd^{c}$ {\ $displaystyle$ ddd $^{c}}$ -lema $dd^{c}$ }라고도 합니다.두 연산자 간의 $i\partial {\bar {\partial }}=dd^{c}$ 는 i 연산자 $i\partial {\bar {\partial }}=dd^{c}$ $i\partial {\bar {\partial }}=dd^{c}$ $i\partial {\bar {\partial }}=dd^{c}$ c $i\partial {\bar {\partial }}=dd^{c}$ {\ $displaystyle$ i\displaystyle {\ $bar$ } = $dd^{c}}$ 이므로 $i\partial {\bar {\partial }}=dd^{c}$ α $\alpha =dd^{c}\beta$ $\alpha =dd^{c}\beta$ $\alpha =dd^{c}\beta$ β {\ $displaystyle \alpha$ = $dd^{c}\$ displaystyle $\alpha =dd^{c}\beta$ ^[1]^{: 1.17}^[2]^{: Lem 5.50} }입니다.

진술

$∂$ { $displaystyle \ partial$ \ $partial$ $(X,\omega )$ 는 ( $(X,\omega )$ X , $)$ \ $displaystyle$ ( X , \ $obmega$ )가 콤팩트한 켈러 $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ 이고 α $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ p , $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ ( $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ X $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ ) \ $displaystyle \ in$ \ Omega ^ { $p$ , $q$ } ( $X$ )가 $(X,\omega )$ $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ 콤팩트한 B형식일 $(X,\omega )$ 경우라고 주장하고 있습니다. $q$ 1) 클래스 $[\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ [ $[\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ $[\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ $[\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ p + $[\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ ( $X$ , $[\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ ){ $displaystyle$ [ \ $alpha$ $[\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ ]\ $in H_{$ dR $}^{p+q$ }( $X ,\mathbb$ {C $})$ 가 $[\alpha ]\in H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ 제로로 $\beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ β $\beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ display $\beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ - $\beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ ( $\beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ )가 존재합니다 $.$

(*displaystyle\alpha=i\bar\bar}}\displaystyle,

여기서 ${\(\displaystyle\partial)$ 및 $\partial$ ${\(\$ $displaystyle$ $\partial})$ 은 ${\bar {\partial }}$ 복합 $매니폴드$ X $X$ ^[3]^{: Ch VI Lem 8.6}displaystyleX)의 Dolbeault 연산자입니다.

ddbar 퍼텐셜

β $(\displaystyle\beta$ $)$ $\beta$ 은 $\beta$ $\alpha$ α $(\$ $displaystyle\alpha$ 의 $\partial {\bar {\partial }}$ $잠재력$ 이라고 합니다. i $(\displaystyle\$ $alpha)$ $i$ 를 $i$ 포함하면 i $(\$ i $)$ 는 $i\partial {\bar {\partial }}$ 실제 미분 연산자가 $i\partial {\bar {\partial }}$ . $\alpha$ , $\alpha$ α(\ $displaystyle \alpha)$ 가 $\alpha$ 실제 계수를 갖는 미분 형식이라면 $\beta$ β(\ $displaystyle \alpha$ 도 $\beta$ 입니다.

이 약어는 de Rham 코호몰로지의 정확한 미분 형식의 개념과 비교되어야 한다.특히 α $\alpha \in \Omega ^{k}(X)$ δ $\alpha \in \Omega ^{k}(X)$ k ( $\alpha \in \Omega ^{k}(X)$ ) { $displaystyle$ \alpha $\in$ \Omega $^{k}(X)}$ 가 $\alpha \in \Omega ^{k}(X)$ de Rham 코호몰로지에서는 클래스가 0인 닫힌 미분 k 형식인 $\alpha \in \Omega ^{k}(X)$ , $\alpha =d\gamma$ 다음 $α$ 의d\ $displaystyle$ d $d$ $}$ -displaystyle d $\alpha$ -display(또는 그냥 잠재력)라 불리는 일부 미분(k-1) 형식 $\gamma$ {\ $displaystyle$ $\alpha$ $\alpha$ $=d\$ $d$ \display $}$ 에 $\alpha =d\gamma$ $\gamma$ 대해 $\alpha =d\gamma$ $=$ $displaystyle$ d。 여기서 $d$ 는 $d$ 외부 도함수입니다.실제로 Dolbeault 연산자의 합은 외부 $d=\partial +{\bar {\partial }}$ d $=$ $d=\partial +{\bar {\partial }}$ = $d=\partial +{\bar {\partial }}$ + + $∂$ {\bar {\ $bar }이고 제곱$ 은 $d=\partial +{\bar {\partial }}$ 0이므로 $\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=0$ $\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=0$ $\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=0$ $\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=0$ = $\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=0$ 0 {\ $displaystyle$ ^{2} $= bar$ {\ $displaystyle$ $\partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=0$ } $= 0$ ,the $\partial {\bar {\partial }}$ -lemma implies that $\gamma ={\bar {\partial }}\beta$ , refining the $d$ -potential to the $\partial {\bar {\partial }}$ -potential in the setting of compact Kähler manifolds.

증명

$이$ 은 소형 켈러 ^[3]^[1]^{: 41–44}^[2]^{: 73–77}다양체에 적용된 호지 이론의 결과입니다 $.$

타원복소수의 호지정리는 $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ d $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ ,, $display,$ $\Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}$ $,$ ∂, ${\,$ $\Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}$ $\Delta _{d},\Delta _{\partial },\Delta _{\bar {\partial }}$ , δ, δ, $δ, \,$ \, $_,$ \, \, \ $Delta$ {\ $partial$ }에 $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ 적용할 수 있습니다.이러한 연산자에게는 커널에 의해 주어지는 고조파 미분 형식의 공간을 정의할 수 있습니다.

{\mathcal {H}}_{d}^{k}&=\ker \Delta _{d}:\Omega ^{k}(X)\to \Omega ^{k}(X)\{\mathcal {H}}_{\partial}^{p,q}&=\ker \Delta _{\delta }:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\{\mathcal {H}}_{\bar {{p,q}&=\ker \Delta _{\bar}:\Omega ^{p,q}(X)\to \Omega ^{p,q}(X)\\end{aligned}

호지 분해 정리는 다음과 같이 주어진 조화 형식의 공간에 관련된 세 개의 직교 분해가 있다고 단언합니다.

{begin{aligned}\Omega ^{k}(X)&=partial mathcal {H}^{k}\oplus \operatorname {im} d^{*}\\Omega ^{p,q}\partial mathcal {H}{partial}^{p}q}\oplus\operatorname{im}{bar}\operatorname{im}{*}\end{aligned}

$d^{*},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*}$ 서 d $d^{*},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*}$ 、 $d^{*},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*}$ $d^{*},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*}$ 、、 $d^{*},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*}$ $、$ （ \ $displaystyle$ d^ { * } 、 \ $partial$ ^ { * } } } } $、$ $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ 、 $、$ $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ \ $bar$ $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ \ $displaystyle$ d ）、 \ partial $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ $}^{$ * } $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ } } 。각각각각각각각각각각의 $d^{*},\partial ^{*},{\bar {\partial }}^{*}$ $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ ^[4]^{: Thm. 3.2.8}공식 $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ 관계입니다.이러한 분해는 콤팩트 복합 다양체에 개별적으로 유지됩니다.다양체가 켈러가 되는 것의 중요성은 d $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ display({ $displaystyle$ d $,\partial},$ {\ $bar$ {\ $partial$ }})의 $d,\partial ,{\bar {\partial }}$ 라플라시안과 위의 직교 분해 사이에 관계가 있다는 것이다.특히 소형 켈러 다지관에서는

\displaystyle \Delta _{d}=2\Delta _{\delta } =2\Delta_{\bar{\delta}}

직교 분해를 의미하고

{\mathcal {H}_{d}^{k}=\mathcal {H}_{\partial}^{p,q}=\mathcal {H}_{\mathcal {H}}_{\mathcal }^{p,q}}}

-어, 엑스테네요. -네. -네. -네. -네. -어, ={ μmula_{ μm.[4]: 제안 3.12.12

상기 분해 결과 다음과 같은 보조항목을 증명할 수 있다.

Lemma $\partial {\bar {\partial }}$ $displaystyle$ $\partial\partial$ \lema $\partial {\bar {\partial }}$ )^[3]^{: 311} - $(\displaystyle\in\Omega ^{p,q}(X))$ 를 $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ 콤팩트한 $X$ 의 d $}-$ closed $d$ (p,q)-폼으로 $합니다$ .

$\alpha$ α $(\displaystyle \alpha })$ 는 $\alpha$ d $(\displaystyle$ d)-display입니다 $d$ .
$\alpha$ α $({displaystyle \alpha$ })는 $\alpha$ $\partial$ $\partial$ "\ $displaystyle$ \ $alpha"$ 입니다 $.$
$\alpha$ α $({displaystyle \alpha})$ 는 $\alpha$ ${\bar {\partial }}$ ${\bar {\partial }}$ 입니다.
$\alpha$ α $({displaystyle \alpha})$ 는 $\alpha$ $\partial {\bar {\partial }}$ α $({$ 입니다 $\partial {\bar {\partial }}$ .β $\beta$ $\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta$ $\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta$ $\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta$ = α $\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta$ = i i \ = i {\ {\ $\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta$ bar $bar$ （） ${\ （$ ） $bar$ $\beta$ （）。
$\alpha$ α $(\displaystyle \alpha }$ 는 $\alpha$ H ${\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)$ , q ${\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)$ ⊂ ${\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)$ , ${\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)$ ) ${\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)$ {\ $displaystyle$ {\ $mathcal {H}}_{p,q}\$ subset $\Omega ^{p,q}(X$ 에 직교합니다.

그 증거는 다음과 같습니다.^[4]^{: Cor. 3.2.10}α $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ p $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ , $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ ( $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ X $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ ) \ $displaystyle$ \alpha $\in$ \Omega $^{p,q$ $(X,\omega )$ $X)$ 를 $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ 콤팩트 $(X,\omega )$ Kéhler $(X,\omega )$ ( $(X,\omega )$ )의 닫힌 (p,q)형태로 $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ (d $),$ ( $b)$ 및 (c)의 의미를 빠르게 알 수 있다.또한 위의 직교 분해는 (a), (b) 또는 (c) 중 하나가 (e)를 의미함을 의미한다.따라서 주요 어려움은 (e)가 (d)를 의미한다는 것을 보여주는 것이다.

이를 위해 $\alpha$ α({ $displaystyle \alpha})$ 가 $\alpha$ ${\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)$ H ${\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)$ ${\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)$ ⊂ ${\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)$ ( ${\mathcal {H}}_{\bar {\partial }}^{p,q}\subset \Omega ^{p,q}(X)$ X $){$ $displaystyle$ {\ $mathcal {H}}_{p,q}\subset \Omega ^{p,q$ 에 직교한다고 가정합니다. $\alpha$ $\alpha \in \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}$ $\alpha$ im $\alpha$ $\alpha \in \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}$ im im $im$ im im display $\alpha \in \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}$ display $display$ $=$ $display$ $style$ $display$ $style$ $display display$ display display display display display display display display display display display display display display $\alpha \in \operatorname {im} {\bar {\partial }}\oplus \operatorname {im} {\bar {\partial }}^{*}$ display display display display display display display display display display $d=\partial +{\bar {\partial }}$ $display$ display display display display display $d$ display display display display display display $\alpha$ display display display display display display display $display$ display display display display $display$ display display 또 $,$ 「\ $displaystyle\closed」($ ${\bar {\partial }}\alpha =0$ 「displaystyle $α$ 도 ${\bar {\partial }}$ 됩니다. $\alpha =\alpha '+\alpha ''$ $\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ $\alpha =\alpha '+\alpha ''$ $\alpha =\alpha '+\alpha ''$ + $\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ $″$ { $displaystyle \alpha$ $\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ \ $alpha$ ' + \ $alpha$ ' + \alpha ' ' $\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ } $\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ \ $displaystyle$ $\alpha$ $\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ ' + \ $alpha$ ' $}$ } $α$ 、 $\alpha ''={\bar {\partial }}^{*}\gamma$ = $=$ * * * * （ \ $\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ $displaystylepha$ \ alpha { } } ）） $。$ $(\bar$ {\ $partial$ $}}^{*})$ $이$ 합계는 리만 측정법에 의해 유도된 내부 생성물에 $\langle -,-\rangle$ 대한 $직교$ 분해에서 나온 것이므로 $,$

\displaystyle \langle \alpha ' , \langle ' = \langle \alpha , \langle \alpha , { \bar \langle } = \langle \langle = \langle \langle = 0 }

즉, $\|\alpha ''\|^{2}=0$ $\|\alpha ''\|^{2}=0$ $\|\alpha ''\|^{2}=0$ \ $displaystyle$ \ $alpha '\$ ^ {2} = $0$ 、 α $=$ 0 、 $displaydisplay$ or or $\alpha ''=0$ 0 \ displaystyle \ $alpha$ '= $0$ 。따라서 $\alpha =\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ $\alpha =\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ α $\alpha =\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ $\alpha =\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ $\alpha =\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ $=$ \ $alpha$ ' $\in \operatorname { im }$ { $bar$ } $\alpha =\alpha '\in \operatorname {im} {\bar {\partial }}$ $\alpha ={\bar {\partial }}\eta$ this $\alpha ={\bar {\partial }}\eta$ this this this this $display display$ thus η η η $\eta \in \Omega ^{p,q-1}(X)$ 1 = $\eta \in \Omega ^{p,q-1}(X)$ $\alpha ={\bar {\partial }}\eta$ {\ {\ \ $\alpha ={\bar {\partial }}\eta$ η $\eta \in \Omega ^{p,q-1}(X)$ $\eta \in \Omega ^{p,q-1}(X)$ 1 - $\eta \in \Omega ^{p,q-1}(X)$ $\alpha ={\bar {\partial }}\eta$ - thus thus thus thus $\eta \in \Omega ^{p,q-1}(X)$ $、$ ${\$ { $displaystyle$ \ $partial$ }의 $\partial$ Hodge 분해 적용 {\ $display$ 、（ \ $displaystyle$ \eta $）$

\displaystyle \eta =\eta _{0}+\display \eta '+\display ^{*}\eta '}

$\eta _{0}$ 서 0 $(\$ _ ${0})$ 은 $\eta _{0}$ $(\$ _ ${\partial$ }}) -harmonic $\Delta _{\partial }$ $\eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ - $\eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ 、 - $\eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ - $\eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ , $\eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ q - $\eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ ( $\eta '\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ ){ $displaystyle \eta$ ' \ $in$ \Omega ^ { $p-1,$ } ( $X$ ) } $\eta ''\in \Omega ^{p+1,q-1}(X)$ 、、、、、、 { $\eta ''\in \Omega ^{p+1,q-1}(X)$ 、、、 $\eta ''\in \Omega ^{p+1,q-1}(X)$ 、、、、、、、、、、、、、 $\Delta _{\bar {\partial }}=\Delta _{\partial }$ $\Delta _{\bar {\partial }}=\Delta _{\partial }$ = $\Delta _{\bar {\partial }}=\Delta _{\partial }$ η $、$ { \ ${\bar {\partial }}\eta _{0}={\bar {\partial }}^{*}\eta _{0}=0$ $\Delta _{\bar {\partial }}$ $\$ $Delta$ _ { \ $bar$ $\Delta _{\bar {\partial }}$ } = \ $Delta _$ { $\eta _{0}$ \ $delta$ $\Delta _{\bar {\partial }}=\Delta _{\partial }$ $}$ $\eta _{0}$ $\Delta _{\bar {\partial }}$ $\eta _{0}$ $\Delta _{\bar {\partial }}$ $\eta _{0}$ $ηη$ η ηη ${\bar {\partial }}\eta _{0}={\bar {\partial }}^{*}\eta _{0}=0$ ${\bar {\partial }}\eta _{0}={\bar {\partial }}^{*}\eta _{0}=0$ ηηη ηηη ηη ηηηηηηηηηηηηηηη ${\bar {\partial }}\eta _{0}={\bar {\partial }}^{*}\eta _{0}=0$ ηηηηηηη ηηηηηηηηηηηη ηηηη ηηηηηηηηη $ηηηηηηηηηηηηηηη$ $}}\eta _{0}=봉 {{*}\eta _{0$ }.Thus $\alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '+{\bar {\partial }}\partial ^{*}\eta ''$ . However, since $\alpha$ is $d$ -closed, it is also $\partial$ -closed.그리고 위와 같은 방법으로

\displaystyle \bar \bar 、 \bar ^ { * } \eta , \rangle = \rangle \alpha , { \bar \rangle ^ { *} \rangle = \rangle = - \rangle 、 \langle =

$또한$ ${\bar {\partial }}\partial ^{*}=-\partial ^{*}{\bar {\partial }}$ - ${\bar {\partial }}\partial ^{*}=-\partial ^{*}{\bar {\partial }}$ identity ${\bar {\partial }}\partial ^{*}=-\partial ^{*}{\bar {\partial }}$ display ${\bar {\partial }}\partial ^{*}=-\partial ^{*}{\bar {\partial }}$ （ \ $display$ { \ bar $}$ $）$ = - ^ { * } = - \ $bar ^$ { * } { \ $bar }$ { \ bar } ${\bar {\partial }}\partial ^{*}=-\partial ^{*}{\bar {\partial }}$ { that that { that { that that { that that that that that $that$ that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that that the $\alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '$ α $α$ $\beta =i\eta '$ $\beta =i\eta '$ $\alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '$ $\beta =i\eta '$ i $=$ $\beta =i\eta '$ $\alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '$ = displaystyle $= i$ \ $eta$ $'$ 를 $\alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '$ $\beta =i\eta '$ 하면 $\beta =i\eta '$ $\partial {\bar {\partial }}$ α $\partial {\bar {\partial }}$ = {\ \ $displaystyle$ \ $bar$ \ $bar =$ $\alpha ={\bar {\partial }}\partial \eta '$ i $\partial {\bar {\partial }}$ \ $eta$ ' 가 생성됩니다.

로컬 버전

$로컬$ 버전의 $\partial {\bar {\partial }}$ 렘마는 $\partial {\bar {\partial }}$ 유지되며 Hodge 분해 ^[4]^{: Ex 1.3.3, Rmk 3.2.11}정리에 호소할 필요 없이 증명될 수 $있습니다.$ 이것은 $【{$ 연산자의 $\partial {\bar {\partial }}$ Poincaré lema 또는 Dolbeault-Grotendieck lema와 유사합니다. $로컬$ 렘마는 $\partial {\bar {\partial }}$ 앞서 언급한 렘마가 속한 모든 영역을 $점유합니다.$

Lemma(로컬 $\partial {\bar {\partial }}$ $（$ \ $displaystyle \ partial$ \ $partial$ $}$ - lemma $\partial {\bar {\partial }}$ ） $X$ 를 $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ 매니폴드, α $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ 、 $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ ） \ $displaystyle \in$ \Omega ^ { $p ,$ q }( $p,q\geq 1$ $)$ 를 $\alpha \in \Omega ^{p,q}(X)$ $p,q\geq 1$ bide $p,q\geq 1$ 의 미분 형식이라고 $합니다$ . $\alpha$ 으로 $\alpha$ α(\ $displaystyle \alpha)$ 는 $\alpha$ p $(\displaystyle$ p $)$ 와 $p\in X$ 차분 형식 $p\in X$ $p$ $p\in X$ $\beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(U)$ $\beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(U)$ - 1을 $p$ 하는 $U\subset X$ $U\subset X$ U(\ $displaystyle U\subset$ X $)$ 가 $p\in X$ $p\in X$ 에만 d $(\displaystyle$ d $)$ - closed가 $d$ $됩니다$ . $\beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(U)$ - $\beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(U)$ ( $\beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(U)$ ) ( \ $displaystyle \ in$ \ $Omega$ ^ { p - $1$ , q - 1 $\beta \in \Omega ^{p-1,q-1}(U)$ $\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta$ $U$ ）） $q$ q $\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta$ $i$ = $β$ （ \ $displaystyle$ \ alpha = $i ）$ {\ {\ {\ 、（ \ $displaystyle$ $）$ $U$ $。$

그 증거는 앞서 언급한 레마들로부터 빠르게 따라온다.먼저 $\alpha$ α(\ $displaystyle \alpha$ $\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta$ 가 $\alpha$ $\beta$ β(\ $displaystyle$ \ $alpha$ $=i\display$ $})$ 에 $\beta$ 대해 $\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta$ $d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0$ (\displaystyle \alpha $d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0$ $display$ β $\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta$ $d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0$ $d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0$ i $d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0$ $(\$ displaystyle $d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0$ β) $d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0$ $d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0$ displaystyle β β β β β β β β β β β β $\alpha =i\partial {\bar {\partial }}\beta$ = i(\displaystyle β β β β $}\$ $display$ ${\bar {\partial }}^{2}=0$ $=$ $i(\display$ + ${\$ $bar$ $\partial ^{2}=0$ } $=$ 0 $d\alpha =d(i\partial {\bar {\partial }}\beta )=i(\partial +{\bar {\partial }})(\partial {\bar {\partial }}\beta )=0$ $\partial ^{2}=0$ $0$ ${\bar {\partial }}^{2}=0$ 0 $、$ $2 =$ 0 、 0 、 0 、 0 、 $\partial {\bar {\partial }}=-{\bar {\partial }}\partial$ $displaydisplaydisplay$ = 0 ${\bar {\partial }}^{2}=0$ 、 displaydisplaydisplay $\partial {\bar {\partial }}=-{\bar {\partial }}\partial$ displaydisplaydisplay displaydisplay $display$ display display display = $\partial {\bar {\partial }}=-{\bar {\partial }}\partial$ 0 $display$ $\partial ^{2}=0$ displaydisplay $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay =$ 0 $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ α $\alpha$ {\ $displaystyle \alpha }$ 가 $\alpha$ $d$ d ${\displaystyle$ d $}$ - closed라고 $\alpha$ 합니다.그리고 Poincaré lema에 따라 $p\in X$ $\gamma \in \Omega ^{p+q-1}(U)$ style $\alpha =d\gamma$ $display$ style = display style = $α$ style $=$ α style = $\alpha =d\gamma$ style p + q - $\gamma \in \Omega ^{p+q-1}(U)$ ( $U$ )의 임의의 포인트 p {\ $displaystyle$ p $\in$ X $\$ $in$ X $p\in X$ $\gamma \in \Omega ^{p+q-1}(U)$ 의 $p\in X$ 열린 $인접$ U ${\$ $displaystyle$ U $}$ 가 $U$ $\gamma \in \Omega ^{p+q-1}(U)$ 존재합니다.Now writing $\gamma =\gamma '+\gamma ''$ for $\gamma '\in \Omega ^{p-1,q}(X)$ and ${\displaystyle \gamma ''\in \Omega ^{p,$ $q-1}(X$ $d\alpha$ $d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0$ ( $d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0$ ∂ + $d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0$ ) $d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0$ $d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0$ \ $display$ $style$ d \ $alpha$ = $d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0$ 0 （ \ $display$ $style$ + { \ $d\alpha =(\partial +{\bar {\partial }})\alpha =0$ $bar$ $}$ \ alpha $d\alpha$ ${\bar {\partial }}\gamma '=0$ 0 ${\bar {\partial }}\gamma '=0$ ） $comparing$ $d\alpha$ comparing the the the the the the the the the the the {\ {\ {\ the q q q q q q ${\bar {\partial }}\gamma '=0$ q ${\bar {\partial }}\gamma '=0$ q q q q q q q q q = 0 ${\bar {\partial }}\gamma '=0$ ${\$ that that q q {\ {\ {\ {\ q q q q q q q q q q q q q q {\ {\ {\ q q q q q q $''=0$ '' 및 $\partial \gamma ''=0$ 그 $\alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''$ $\alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''$ ∂ $\alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''$ ∂ ∂ $\alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''$ ′ $\alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''$ + $\alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''$ display $\alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''$ display display $\alpha =\partial \gamma '+{\bar {\partial }}\gamma ''$ = \ \ \ $gamma$ \ $display$ style \ $alpha$ = \ display \ $bar$ ' + { \ $bar }$ \ $spaired$ " $.$ . . . . neighbour open open open u u u u u U \ $display style$ $U$ u u u u u u u 。Dolbeault-Grottendieck 보조항목을 $\gamma '$ $\gamma '$ $=$ 0 \ $displaystyle$ \ displaystyle \ $display$ style ${\overline {\gamma ''}}$ ${\overline {\partial \gamma ''}}={\bar {\partial }}({\overline {\gamma ''}})=0$ $over$ line $=$ 0 \ displaystyle \ $display$ style \ $\gamma '$ over $line$ " ${\overline {\partial \gamma ''}}={\bar {\partial }}({\overline {\gamma ''}})=0$ ${\overline {\gamma ''}}$ { $line }$ 에 적용할 수 있습니다. $\gamma '={\bar {\partial }}\eta '$ 、 $\gamma '={\bar {\partial }}\eta '$ $\gamma '={\bar {\partial }}\eta '$ $\eta ',\eta ''\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ 、 ∂ $p$ - $\eta ',\eta ''\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ 、 $\eta ',\eta ''\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ $\gamma '={\bar {\partial }}\eta '$ - 1 $\eta ',\eta ''\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ X ） \ $style \eta$ ' $,$ \ $in \Omega$ ^ { $p$ - 1, q - $1 }$ ( X $\eta ',\eta ''\in \Omega ^{p-1,q-1}(X)$ ) $\gamma '={\bar {\partial }}\eta '$ ${\overline {\gamma ''}}={\bar {\partial }}\eta ''$ = $display$ style \ sta ' = bar = $bar }$ {\ ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' {\ {\ {\ {\ ${\overline {\gamma ''}}={\bar {\partial }}\eta ''$ = {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ $그러면$ $\gamma ''=\partial {\overline {\eta ''}}$ = $\gamma ''=\partial {\overline {\eta ''}}$ $\alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta$ $=$ = = = $line$ \ $\alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta$ $overline$ ） $\alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta$ = $\alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta$ \ + $\alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta$ $\alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta$ $\alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta$ $\alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta$ {\ {\ = {\ {\ β $\alpha =\partial {\bar {\partial }}\eta '+{\bar {\partial }}\partial {\overline {\eta ''}}=i\partial {\bar {\partial }}\beta$ 、、 $stylestyle$ 、 \stylestyle \ \ \ \ （ $style$ \ \ \ \ \ \ $alpha$ {\ \ $displaystylephalpha$ $= =$ ） α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α = \\\\\\\\\\\\ α α α α α α α α α α α α $여기$ 서 $\beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}$ $\beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}$ - i $\beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}$ + $\beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}$ $η$ i - $\beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}$ - $i\eta$ ' + i $eta$ ' $\beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}$ } $\beta =-i\eta '+i{\overline {\eta ''}}$ 。

Bott-Chern 코호몰로지

Bott-Chern 코호몰로지란 콤팩트 복합 매니폴드에 대한 코호몰로지 이론으로, 연산자 $"\displaystyle\partial$ 및 $"\$ 에 따라 달라지며 $"\displaystyle\partial}"$ 이 $\partial {\bar {\partial }}$ 유지할 수 없는 정도를 측정합니다.특히 콤팩트 복합 다양체가 켈러 다양체인 경우, Bott-Chern 코호몰로지는 Dolbeault 코호몰로지와 동형이지만 일반적으로 더 많은 정보를 포함한다.

콤팩트 복합^[3] 다양체의 Bott-Chern 코호몰로지 그룹은 다음과 같이 정의된다.

\displaystyle H_{BC}^{p,q}(X)=\frac {ker(\display:\Omega ^{p,q}\to\Omega ^{p+1,q}\cap \ker\bar {x}):\Omega ^{p,q}\ to \Omega ^{p,q+1}}{\operatorname {im}(\partial {\bar}):\Omega ^{p-1,q-1}\ to \Omega ^{p,q}}}.}

$【\$ $displaystyle$ $】【\displaystyle】【\displaystyle$ $】-$ closed는 $모두$ d ${displaystyle$ d $}-$ closed이므로 ${\bar {\partial }}$ $d$ $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ $HB$ $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ ( $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ C $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ R $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ + $q$ C) { $BC}^{x}$ 가 $\partial$ 있습니다.\ $mathbb {C}}$ 을 $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{dR}^{p+q}(X,\mathbb {C} )$ (를) Bott-Chern 코호몰로지 그룹에서 de Rham 코호몰로지 그룹으로 이동합니다 $.$ 또한 ${\bar {\partial }}$ $\displaystyle\$ displaystyle $\partial$ $\displaystyle$ displaystyle\displaystyle $\$ $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)$ $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)$ C $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)$ , $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)$ (X ) $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)$ H $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)$ ∂ $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)$ 、 H $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)$ 、 $q$ ( $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)$ ) 、 $H$ $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)$ $H_{BC}^{p,q}(X)\to H_{\partial }^{p,q}(X),H_{\bar {\partial }}^{p,q}(X)$ 、 H _ { { $BC$ \ $to } （$ X ）。 $H_{\bar$ {\ $partial } {{p,$ q $}($ $X$ $매니폴드$ X가 $X$ $∂(\$ $style$ $X)$ -lema를 $\partial {\bar {\partial }}$ 만족하는 경우(예를 들어 콤팩트한 Kéhler 매니폴드인 경우) 위의 맵은 Bott-Chern Cohomology에서 Cohomology로지에 이르는 맵입니다.또한 Bott-Chern 코호몰로지부터 de Rham 코호몰로지까지의 맵은 ^[5]주입형입니다.그 결과, 동형성이 존재한다.

H_{dR}^{k}(X,\mathbb {C})=\bigoplus _{p+q=k}H_{BC}^{p,q}(X)

X $(\displaystyle$ X $)$ 가 $X$ $\partial {\bar {\partial }}$ lemma를 만족할 때마다 $X$ 됩니다(\ $displaystyle \partial \bar {\partial$ } - lemma $\partial {\bar {\partial }}$ 이와 같이 위 맵의 커널은 $매니폴드$ X({ $displaystyle$ X})가 $X$ 보조항목을 만족시키지 못하는지를 측정하고, 특히 X $({displaystyle$ X $})$ 가 $X$ 켈러 매니폴드가 되지 않는지를 측정합니다.

bidegree에 대한 결과(1,1)

$복소$ 미분 형태가 쌍방향(1 $,$ 1)을 $가질$ 때 $렘마$ 의 $\partial {\bar {\partial }}$ 가장 중요한 결과가 발생한다.이 경우 정확한 미분 $\alpha \in \Omega ^{1,1}(X)$ display $\alpha \in \Omega ^{1,1}(X)$ display $\alpha \in \Omega ^{1,1}(X)$ 、 1 $\alpha \in \Omega ^{1,1}(X)$ （ $\alpha \in \Omega ^{1,1}(X)$ ）。{ $display style \$ $alpha$ $\in$ \Omega $\partial {\bar {\partial }}$ $^{1,1}(X)$ $}$ 는 $\alpha \in \Omega ^{1,1}(X)$ 매끄러운 $f\in C^{\infty }(X,\mathbb {C} )$ f $f\in C^{\infty }(X,\mathbb {C} )$ C $f\in C^{\infty }(X,\mathbb {C} )$ （ $X$ 에 의해 부여되는 $\partial {\bar {\partial }}$ 전위를 $\partial {\bar {\partial }}$ 가집니다.

(*displaystyle\alpha=i\bar}f).}

특히 이는 $\alpha =\omega$ $= {\$ $\displaystyle$ \alpha =\ $obega$ }가 $\alpha =\omega$ 켈러 다양체의 작은 열린 부분 $U\subset X$ U $U\subset X$ X(\ $displaystyle$ U $\subset$ X $)$ 로 $U\subset X$ 제한된 켈러 형태인 경우 발생하며, 앞서 언급한 푸앵카레 형태와 정확히 다른 형태가 보장된다.이는 켈러 형태를 완전히 규정하는 국소적으로 정의된 함수인 켈러 전위의 개념으로 이어진다.또 다른 중요한 경우는 α $\alpha =\omega -\omega '$ $\alpha =\omega -\omega '$ - $\$ $displaystyle \alpha$ = \ $메가$ - $\$ omega ' }가 $\alpha =\omega -\omega '$ 같은 de Rham 코호몰로지 클래스 $[\omega ]=[\omega ']$ [ $[\omega ]=[\omega ']$ ] $[\omega ]=[\omega ']$ [ $]$ { $displaystyle$ [ \ $omega$ ] = [ \ $obega$ ' $[\omega ]=[\omega ']$ ] $[\omega ]=[\omega ']$ }에 있는 두 켈러 형식의 차이일 $\alpha =\omega -\omega '$ 이다.이 $[\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0$ 경우 [ $[\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0$ $[\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0$ [ $[\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0$ - $[\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0$ [ $ω$ ′ $[\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0$ $=$ $[\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0$ { $displaystyle$ [ \ alpha ]= [ \ $메가$ ]-[ \ $메가$ ' $]=$ 0 $[\alpha ]=[\omega ]-[\omega ']=0$ }이므로 $∂$ \ $displaystyle$ \ $display$ style \ $bar }$ - lemma $\partial {\bar {\partial }}$ 가 적용됩니다.켈러 형태가 단일 함수(자동적으로 다원화 함수)를 사용하여 완전히 기술될 수 있도록 함으로써, 콤팩트 켈러 다양체의 연구는 많은 분석 도구를 사용할 수 있는 다원화 이론의 기법을 사용하여 수행될 수 있다. $예$ 를 들어 $\partial {\bar {\partial }}$ 켈러-아인슈타인 $\partial {\bar {\partial }}$ 방정식을 퍼텐셜로 바꿔서 켈러 퍼텐셜에 대한 복잡한 Monge-Amper 방정식으로 변환하는 데 $사용합니다$

ddbar 매니폴드

Complex manifolds which are not necessarily Kähler but still happen to satisfy the $\partial {\bar {\partial }}$ -lemma are known as $\partial {\bar {\partial }}$ -manifolds.예를 들어 Fujiki 클래스 C인 콤팩트 복합 매니폴드는 $\partial {\bar {\partial }}$ compactdisplay $\partial {\bar {\partial }}$ displaydisplay （ \ $displaystyle$ \ $partial$ \ $bar$ \ $partial }$ ） - lemma를 $\partial {\bar {\partial }}$ 만족하지만 반드시 ^[5]Kéhler일 필요는 없다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ ^a ^b Gauduchon, P. (2010). "Elements of Kähler geometry". Calabi’s extremal Kähler metrics: An elementary introduction. Preprint.
^ ^a ^b Ballmann, Werner (2006). Lectures on Kähler Manifolds. European mathematical society. doi:10.4171/025. ISBN 978-3-03719-025-8.
^ ^a ^b ^c ^d Demailly, Jean-Pierre (2012). Analytic Methods in Algebraic Geometry. Somerville, MA: International Press. ISBN 9781571462343.
^ ^a ^b ^c ^d Huybrechts, D. (2005). Complex Geometry. Universitext. Berlin: Springer. doi:10.1007/b137952. ISBN 3-540-21290-6.
^ ^a ^b Angella, Daniele; Tomassini, Adriano (2013). "On the $\partial\overline {\partial} $-Lemma and Bott-Chern cohomology". Inventiones Mathematicae. 192: 71–81. doi:10.1007/s00222-012-0406-3. S2CID 253747048.

외부 링크

Jean-Pierre, Demailly. "Personal page at Grenoble, including publications".

[:2-1] Gauduchon, P. (2010). "Elements of Kähler geometry". Calabi’s extremal Kähler metrics: An elementary introduction. Preprint.

[:3-2] Ballmann, Werner (2006). Lectures on Kähler Manifolds. European mathematical society. doi:10.4171/025. ISBN 978-3-03719-025-8.

[:0-3] Demailly, Jean-Pierre (2012). Analytic Methods in Algebraic Geometry. Somerville, MA: International Press. ISBN 9781571462343.

[:4-4] Huybrechts, D. (2005). Complex Geometry. Universitext. Berlin: Springer. doi:10.1007/b137952. ISBN 3-540-21290-6.

[:1-5] Angella, Daniele; Tomassini, Adriano (2013). "On the $\partial\overline {\partial} $-Lemma and Bott-Chern cohomology". Inventiones Mathematicae. 192: 71–81. doi:10.1007/s00222-012-0406-3. S2CID 253747048.

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