쿨롱파 함수

수학에서 쿨롱파함수는 쿨롱파 방정식의 해법으로 샤를-아우구스틴 데 쿨롱의 이름을 딴 것이다.그것들은 쿨롱 전위에서의 전하 입자의 행동을 설명하는 데 사용되며, 혼합물 초지하학 함수 또는 가상 논쟁의 Whittaker 함수의 관점에서 쓰여질 수 있다.

쿨롱파 방정식

질량 $m{\displaystyle }$ ${\displaystyle m}$의 단일 전하 입자에 대한 쿨롱파 방정식은 쿨롱 전위를^[1] 갖는 슈뢰딩거 방정식이다.

${\displaystyle \left(-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\frac {Z\hbar c\alpha }{r}}\right)\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\psi _{\vec {k}}({\vec {r}})\,,}$

where ${\displaystyle Z=Z_{1}Z_{2}}$ is the product of the charges of the particle and of the field source (in units of the elementary charge, ${\displaystyle Z=-1}$ for the hydrogen atom), ${\displaystyle \alpha }$ is the fine-structure constant, and ${\displaystyle \$$hbar ^{2}k^{2}}/(2m)}$은(는) 입자의 에너지다.해결책인 쿨롱파함수는 포물선 좌표에서 이 방정식을 풀면 찾을 수 있다.

${\displaystyle \xi =r+{\vec}\cdot {\k},\cdot \zeta =r-{\vec}\cdot {\k}\cdot{\c}/k)\,}$

선택한 경계조건에 따라 용액은 형태가 다르다.해결책 중 두 가지는^[2][3]

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})=\Gamma (1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})\,,}$

여기서 $M{\displaystyle (}$ ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle \equiv }$ ${\displaystyle {}_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {F\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$( a${\displaystyle }$; ${\displaystyle b}$; ${\displaystyle z}$) ${\displaystyle M(a,b,z)\equiv {}_{1}\!$$F_{1}(a;b;z)}$은 합체초기하함수, ${\displaystyle =}$ = ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathrm{c\alpha }}$/ ( ${\displaystyle k}$ k${\displaystyle }$) ${\displaystyle$$$\$eta =Zmc\alpha /(\hbar$ k$)},$ $((z)$은 감마함수다$.$여기서 사용되는 두 가지 경계조건은 다음과 같다.

${\displaystyle \c{k}^{\vec}{k}{\pm )}({\vec{k}}\cdot{\vec}}\cdot{\r}\rightarrow \pm \infty )\}$

이는 각각 원점에서 필드 소스의 접근 전 또는 후에${\displaystyle \stackrel{}{}}$k →$${\$displaystyle {\vec{k}}$ 중심$$ 평면 파형 점증 상태에 해당된다.함수 ${\displaystyle {\psi k\stackrel{}{}}_{}^{}}$→${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle {}_{}^{}}$±$){\$는 공식에 의해 서로 관련된다$$.

${\displaystyle \property_{\vec{k}^{\vec{k}^{\vec{k}}*\,.}$

부분파 팽창

The wave function ${\displaystyle \psi _{\vec {k}}({\vec {r}})}$ can be expanded into partial waves (i.e. with respect to the angular basis) to obtain angle-independent radial functions ${\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}$. Here ${\displaystyle \rho =kr}$.

${\displaystyle \c}{\vec{r}}}={\frac {4\pi }{r}}\sum _{\el =0}^{m=-\l}\sum _{m=-}^{\el }i^{w_{\ell }\la,\rho )=}Y_{\ell }^{m}({\hat {r})Y_{\\ell }^{m\ast }({\hat {k})\,}$

팽창의 단일 항은 특정 구형 고조파를 가진 스칼라 제품에 의해 격리될 수 있다.

${\displaystyle \ell m}({\vec {r})=\int \int \\vec{k}}({\vec {r})Y_{\ell }^{m}({\hat {k}})d{\hat {k}=R_{k\ell }(r)Y_{\\el }^{m}({\hat {r}),\qquad R_{k\ell }}(r)=4\pi i^{\ell }w_{\ell }(\eta ,\rho )/r)/r.}$

The equation for single partial wave ${\displaystyle w_{\ell }(\eta ,\rho )}$ can be obtained by rewriting the laplacian in the Coulomb wave equation in spherical coordinates and projecting the equation on a specific spherical harmonic ${\displaystyle Y_{\ell }^{m}({\hat {r}})}$

${\d^{d^{2}w_{\ell }{d\rho ^{2}}:}+\좌측(1-{\frac {2\eta }{\rho }}}{\rho ^{1}{\rho ^{2}}}\{{{rho ^}\}\#0\,}}}}}}$

용액은 쿨롱(부분)파 함수 또는 구형 쿨롱 함수라고도 한다.Putting ${\displaystyle z=-2i\rho }$ changes the Coulomb wave equation into the Whittaker equation, so Coulomb wave functions can be expressed in terms of Whittaker functions with imaginary arguments ${\displaystyle M_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}$ and ${\displaystyle W_{-i\eta ,\ell +1/2}(-}$${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \rho }$) ${\displaystyle W_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )}$.후자는 결합초기하함수 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$ $및$ U ${\displaystyle U}$의 용어로 표현할 수 있다$.$ $\ell {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$에 대해서는 특별한 해결책을 정의한다$.$

${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2)^{\ell }e^{\pi \eta /2}e^{\pm i\sigma _{\ell }}\rho ^{\ell +1}e^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell +2,\mp 2i\rho )\,,}$

어디에

${\displaystyle \sigma _{\ell }=\arg \감마(l+1+i\eta )}$

쿨롱 위상 변화라고 불린다.하나는 또한 실제 기능을 정의한다.

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{1}{2}}:\좌측(H_{\ell }^{{}^(+)(\eta ,\rho )-H_{-}^{-}(-)(\eta ,\rho )\rig)\}\}}$

${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{1}2}}\좌측(H_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )++++H_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\오른쪽)\,}$

특히 한 사람이

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {2^{\el }e^{-\pi \eta /2} \감마(\ell +1+i\eta ) }{{{(2\ell +1)!}}}\rho ^{\ell +1}e^{i\rho }M(\ell +1+i\eta, 2\ell +2,-2i\rho )\,}$

The asymptotic behavior of the spherical Coulomb functions ${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )}$, ${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )}$, and ${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )}$ at large ${\displaystyle \rho }$ is

${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i\theta _{\ell }(\rho )}\...}$

${\displaystyle F_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \sin \sin \theta _{\ell }(\rho )\}$

${\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \cos \cos \theta _{\ell }(\rho )\}$

어디에

${\displaystyle \theta _{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log(2\rho )-{\frac {1}{1}:{2}}\ell \pi +\bma _{\ell }\,}$

용액 $H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}^{}}$(${\displaystyle {}_{}^{}}$±${\displaystyle {}_{}^{}}$) (${\displaystyle {}_{}^{}\eta }$ ,${\displaystyle \rho }$) ${\displaystyle H_{\ell }^{(\pm )}}(\eta ,\rho )}$은 들어오고 나가는 구형파에 해당한다$$.솔루션 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ (${\displaystyle \eta }$ , ${\displaystyle )}$ ) ${\displaystyle F_{\ell$}(\$eta ,\rho )$과 $G{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\ell }_{}}$ (${\displaystyle {}_{}\eta }$ ,${\displaystyle \rho }$ $){\displaystyle G_{\ell }(\eta ,\rho$)은 실재하며$$ 정규 및 불규칙 쿨롱브파 함수라고 불린다.특히 파동함수 ${\displaystyle {\psi k\stackrel{}{}}_{}^{}}$→${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle {}_{}^{}}$+${\displaystyle {}_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle r\stackrel{}{}}$→${\displaystyle }$) ${\displaystyle \psi _{\vec{k}^{\$vec}}{\$vec {r}}}}$에 대해 다음과 같은 부분파 확장 기능이 있다.

${\displaystyle \psi _{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{\rho }}\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }e^{i\sigma _{\ell }}F_{\ell }(\eta ,\rho )Y_{\ell }^{m}({\hat {r})Y_{\\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\...}$

쿨롱 함수의 속성

주어진 각운동량의 방사형 부분은 직교형이다.파형 번호 척도(k-scale)에서 정규화할 때 연속체 방사파 함수는 만족한다.

${\displaystyle \int _{0}^{0}^{}R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{k'\ell }r^{2}dr=\delta(k-k')}}$

연속파 함수의 기타 일반적인 정규화는 감소된 파형 번호 척도(${\displaystyle }$/ ${\displaystyle 2\mathrm{}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle k/2\pi }$ -scale$$)에 있다.

${\displaystyle \int _{0}^{0}^{R_{k\ell }^{\ast }(R)R_{k'\ell }r^{2}dr=2\pi \delta (k-k')\}}}$

그리고 에너지 저울로

${\displaystyle \int _{0}^{{0}^{{E\ell }^{\ast }(r)R_{E'\ell }r^{2}dr=\delta (E-E')\,\,}$

이전 절에서 정의한 방사파 함수는 다음과 같이 정규화된다.

${\displaystyle \int _{0}^{0}^{{0}^{{k\ell }^{}}(r)R_{k'\ell }^{2dr={\frac{(2\pi )^{3}}}{k^{2}}\delta (k-k')}}}$

정상화의 결과로

${\displaystyle \int_{\vec{k}^{\vec}{r}}\{\vec{k}}}}}{{\vec {k}}}}}({\vec{r})d^{3}{2\pi )^{3}\vec}}\{{\vec}}},}\,},},},},.}$

연속체(또는 산란) 쿨롱파 함수도 모든 쿨롱 결합 상태와^[8] 직교한다.

${\displaystyle \int _{0}^{{0}^{R_{k\ell }^{\ast }(r)R_{n\ell }(r)^{2}dr=0}$

서로 다른 고유값을 가진 동일한 은둔자 연산자(해밀턴주의자)의 고유성 때문이다.

추가 읽기

• Bateman, Harry (1953), Higher transcendental functions (PDF), vol. 1, McGraw-Hill.
• Jaeger, J. C.; Hulme, H. R. (1935), "The Internal Conversion of γ -Rays with the Production of Electrons and Positrons", Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences, 148 (865): 708–728, Bibcode:1935RSPSA.148..708J, doi:10.1098/rspa.1935.0043, ISSN 0080-4630, JSTOR 96298
• Slater, Lucy Joan (1960), Confluent hypergeometric functions, Cambridge University Press, MR 0107026.

참조