코퍼스미스법

Don Coppersmith가 제안한 Coppersmith 방법은 주어진 정수의 일변량 또는 이변량 다항식 모듈로의 작은 정수 0을 찾는 방법입니다.이 방법은 LLL(Lenstra-Lenstra-Lovashz 격자 기준 감소 알고리즘)을 사용하여 목표 다항식과 0이 같지만 계수가 더 작은 다항식을 찾습니다.

암호학에서 Coppersmith 메서드는 주로 비밀키의 일부가 알려진 경우 RSA 공격에 사용되며 Coppersmith 공격의 기반이 됩니다.

접근

코퍼스미스의 접근법은 모듈 다항식 방정식을 정수에 대한 다항식 해법으로 줄이는 것이다.

F())=-1n+an− 1)n일부 정수)0<>에 − 1+…+a1x+0{\displaystyle F())=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}}과 F(Mmod){\displaystyle F(x_{0})\equiv 0{\pmod{M}}≡ 0(x0)를 취하다};M1/n{\displaystyle x_{0}<>자.M^{1/n}}. Coppersmithlgorithm을 사용하여 이 정수 $x_{0}$ $x_{0}$ 0 $(\$ 0 $x_{0}$ 을 찾을 수 있습니다.

$예$ 를 들어, 뉴턴의 방법처럼 Q에 대한 루트를 찾는 것은 쉽지만, 그러한 알고리즘은 $복합수$ M에 대해 모듈화되지 않는다.Coppersmith의 방법 뒤에 있는 아이디어는 루트 $x_{0}$ $({$ M은 $x_{0}$ $같지만$ 계수가 작은 F와 $관련$ 된 다른 $다항식$ f를 찾는 것입니다.계수 및 $x_{0}$ 0 $({$ })이 $x_{0}$ f $|f(x_{0})|<M$ 0 $|f(x_{0})|<M$ < $(display style$ f $(x_{0})$ < $M($ $f(x_{0})=0$ 0) $=$ 0 $x$ 0 $f(x_{0})=0$ 이므로 $x_{0}$ 0(\ $displaystyle f($ $x_{$ $0})$ 은 $x_{0}$ f의 $루트$ 이고 쉽게 $찾을$ 수 $x_{0}$ .보다 일반적으로, $|f(x_{0})|<M^{a}$ f(x $)$ 와 같은 $x_{0}$ $x_{0}$ 0 $({$ $x_{0})$ 의 $x_{0}$ 다항식 $(x)$ 를 $f(x)$ 찾을 수 있으며, $M^{a}$ ( $|f(x_{0})|<M^{a}$ $)$ < $|f(x_{0})|<M^{a}$ a { $displaystyle$ f $(x_0)$ < $M^{a$ 를 만족하며 $x_style$ 에 $x_{0}$ 해결합니다 $x_{0}$ .

코퍼스미스 알고리즘은 LLL(Lenstra-Lenstra-Lovashz 격자 기준 감소 알고리즘)을 사용하여 계수가 작은 $다항식$ f를 생성한다. $F$ 를 지정하면 $p_{1}(x),p_{2}(x),\dots ,p_{n}(x)$ 은 p 1 ( x $x_{0}$ ) $p_{1}(x),p_{2}(x),\dots ,p_{n}(x)$ , $p_{1}(x),p_{2}(x),\dots ,p_{n}(x)$ ( $p_{1}(x),p_{2}(x),\dots ,p_{n}(x)$ ) $p_{1}(x),p_{2}(x),\dots ,p_{n}(x)$ , $p_{1}(x),p_{2}(x),\dots ,p_{n}(x)$ … , $p_{1}(x),p_{2}(x),\dots ,p_{n}(x)$ ( $x$ ) \ displaystyle $p_{1}$ ( $x), p_{2}$ ( $x),$ \ $dots$ , $p_{n}$ ( $x$ $)$ 를 $p_{1}(x),p_{2}(x),\dots ,p_{n}(x)$ 모두 같은 $x_{0}$ 0 { $displaystyle x_{0}$ $M^{a}$ $M^{a}$ a $M^{a}$ { $displaystyle }$ 를 $가지는$ $p_{1}(x),p_{2}(x),\dots ,p_{n}(x)$ 을 작성합니다. ${\displaystyle x_{0$ 이들 다항식의 선형 조합에는 루트 $M^{a}$ 로 $M^{a}$ 0 $({$ $displaystyle$ $x_$ ${0$ 이 $x_{0}$ $x_{0}$ .

$p_{i}(x)$ 단계에서는 LLL 알고리즘을 사용하여 $|f(x_{0})|<M^{a}$ (x $|f(x_{0})|<M^{a}$ 의 $|f(x_{0})|<M^{a}$ 선형 조합 $($ $p_{i}(x)$ $=$ $f(x)=\sum c_{i}p_{i}(x)$ $f(x)=\sum c_{i}p_{i}(x)$ $f(x)=\sum c_{i}p_{i}(x)$ $p_{i}(x)$ $x)$ {displaystyle f $(x$ )=\sum $c_{i}p_$ {i $}(x)$ { $x$ $}$ { $displaystyle$ $|f(x_{0})|<M^{a}$ $}(x$ $|f(x_{0})|<M^{a}$ { $x}$ 가 $p_{i}(x)$ 되도록 $합니다$ .이제 표준 인수분해 방법에서는 정수 위의 $f(x)$ f ( $f(x)$ ) { $displaystyle$ f $(x)}$ 의 $f(x)$ 0을 계산할 수 있습니다.

실장

일변량 다항식을 위한 코퍼스미스의 방법은 다음과 같이 구현된다.

함수로서의 마그마SmallRoots;
함수로서의 PARI/GPzncoppersmith;
방법으로서의 SageMathsmall_roots.

레퍼런스

Coppersmith, D. (1996). "Finding a Small Root of a Univariate Modular Equation". Lecture Notes in Computer Science. 1070: 155–165. doi:10.1007/3-540-68339-9_14. ISBN 978-3-540-61186-8.
Coppersmith, D. (1996). "Finding a Small Root of a Bivariate Integer Equation; Factoring with high bits known". Lecture Notes in Computer Science. 1070: 178–189. doi:10.1007/3-540-68339-9_16. ISBN 978-3-540-61186-8.
Coron, J. S. (2004). "Finding small roots of bivariate integer polynomial equations revisited" (PDF). Lecture Notes in Computer Science. 3027: 492–505. doi:10.1007/978-3-540-24676-3_29.
Bauer, A.; Joux, A. (2007). "Toward a Rigorous Variation of Coppersmith's Algorithm on Three Variables". Lecture Notes in Computer Science. 4515: 361–378. doi:10.1007/978-3-540-72540-4_21. ISBN 978-3-540-72539-8.
Coron, J. S. (2007). "Finding small roots of bivariate integer polynomial equations: A direct approach" (PDF). Lecture Notes in Computer Science. 4622: 379–394. doi:10.1007/978-3-540-74143-5_21.

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