컨테이너 방식

(하이퍼그래프) 컨테이너의 방법은 일반적인 구조를 특성화하고/또는 규정된 국부적 제약 조건을 가진 이산 객체 패밀리에 대한 극단적인 질문에 대답하는 데 도움이 될 수 있는 강력한 도구입니다.이러한 질문들은 극단 그래프 이론, 가산 조합론, 이산 기하학, 부호화 이론, 램지 이론에서 자연스럽게 발생한다; 그것들은 관련 분야의 가장 고전적인 문제들을 포함한다.

이러한 문제는 다음과 같은 형태의 질문으로 표현될 수 있다: 가장자리 $집합$ E(즉, 크기 제약이 있는 $V$ 의 하위 집합 집합 집합)를 가진 유한 $정점$ 집합 V의 $하이퍼그래프$ H가 주어진다면, H의 $독립적$ 집합(즉, $E$ 의 요소를 포함하지 않는 $V$ 의 하위 집합)에 대해 뭐라고 말할 수 있는가?하이퍼그래프 컨테이너는 이러한 문제를 해결하는 방법을 제공합니다.

역사

1907년 만텔과 1940년대 투란의 저작으로 거슬러 올라가는 극단적 그래프 이론의 근본적인 문제 중 하나는 고정된 $금지$ H의 복사본을 포함하지 않는 그래프를 하위 그래프로 특징짓도록 요청한다.다른 영역에서, 가법 조합론의 동기 부여 질문 중 하나는 Roth ( $k=3$ $k=3$ \ $displaystyle$ k $=3}$ )와 Szemerédi ( $일반$ k)에 의해 주어진 이 크기의 상한을 갖는 k-항 산술 급수를 포함하지 않고 정수 집합이 얼마나 클 수 있는지를 이해하는 것이다.

컨테이너의 방법(그래프 내)은 1980년 클라이트만과 윈스턴에 의해 처음 개발되었으며,^[2] 클라이트만은 4사이클 없이^[1] 격자와 그래프의 수를 제한했다.용기 스타일의 보조 수학자는 다른 맥락에서 여러 수학자에 의해 독립적으로 개발되었으며, 특히 2002-2003년에 이 접근방식을 사용하여 정규 ^[3]그래프에서 독립 집합을 열거하고, 아벨 그룹의 ^[4]합이 없는 집합을 열거하고, 다양한 다른 열거 문제를^[5] 연구했다.

이러한 아이디어를 하이퍼그래프 컨테이너 보조 개념으로 일반화한 것은 2015년 Saxton과 Thomason^[6], Balogh, Morris 및 Samotij에^[7] 의해 다양한 이전 관련 작업에서 영감을 받아 독립적으로 고안되었다.

주요 아이디어 및 비공식 성명

조합론의 많은 문제들은 그래프와 하이퍼그래프의 독립적인 집합에 대한 질문으로 재캐스팅될 수 있다.예를 들어 $정수$ 1~ $n$ 의 서브셋을 이해한다고 가정합니다.이 서브셋은 k항 산술 급수가 없는 [ $](n$ )\displaystyle $[n]$ [ $n])$ 이러한 세트는 k-tyle $H=(\{1,2,\ldots ,n\},E)$ H $H=(\{1,2,\ldots ,n\},E)$ ( { $H=(\{1,2,\ldots ,n\},E)$ , $H=(\{1,2,\ldots ,n\},E)$ , $H=(\{1,2,\ldots ,n\},E)$ … , $H=(\{1,2,\ldots ,n\},E)$ $H=(\{1,2,\ldots ,n\},E)$ , $H=(\{1,2,\ldots ,n\},E)$ E $H=(\{1,2,\ldots ,n\},E)$ ) (\ $style$ H= (\{ $1,$ 2, \ $ldots$ $,$ $n\}$ ) $H=(\{1,2,\ldots ,n\},E)$ 에서의 독립 세트입니다. $여기$ 서 $\{1,2,\ldots ,n\}$ 는 { $\{1,2,\ldots ,n\}$ , 2, $\{1,2,\ldots ,n\}$ $\{1,2,\ldots ,n\}$ \ $ldots$ ,\} style $\{1,2}$ 의 모든 k-term 산술 진행의 집합입니다.

상기(및 다른 많은) 인스턴스에서는 보통 $하이퍼그래프H$ 에 대해 다음 두 가지 자연스러운 문제가 발생합니다.

$H$ 의 최대 독립 집합의 크기는 얼마입니까? $H$ 의 최대 크기 독립 집합 집합 집합은 어떻게 보이나?
H는 얼마나 많은 독립된 세트를 $가지고$ 있는가? $H$ 의 "표준" 독립형 세트는 어떻게 생겼습니까?

이 문제들은 단순한 관찰로 연결된다.α $\alpha (H)$ ( $\alpha (H)$ ) \ $displaystyle \ alpha$ ( $H$ )가 $\alpha (H)$ 가장 큰 독립 H $세트$ 의 크기라고 $\alpha (H)$ 하고,H ( \ $displaystyle$ H )에 $h$ $i(H)$ i ( $i(H)$ H $i(H)$ ) \ $displaystyle$ i ( $H$ )가 $i(H)$ $i(H)$ $H$ 합니다.그리고나서,

2^{\alpha (H)}\leq i(H)\leq \sum _{r=0}^{\alpha (H)}{ V(H) \choose r}

여기서 하한은 최대 독립 집합의 모든 하위 집합을 취합니다.이러한 $\alpha (H)$ 경계는 $α$ ( $\alpha (H)$ ) \ $displaystyle \alpha$ ( H $\alpha (H)$ )가 하이퍼그래프의 정점 수에 가까운 매우 큰 경우를 $\alpha (H)$ 하고 서로 상대적으로 멀리 떨어져 있습니다.그러나 조합 문제에서 자연적으로 발생하는 많은 하이퍼 그래프에서 우리는 하한이 실제 값에 가깝다고 믿을 이유가 있다. 따라서 일차적인 목표는 $i(H)$ 의 상한을 개선하는 것이다.

하이퍼그래프 컨테이너 보조항목을 사용하면 하이퍼그래프에서 독립 집합 패밀리의 구조와 크기를 이해할 수 있습니다.기본적으로 하이퍼그래프 컨테이너 방법을 사용하면 하이퍼그래프, 컨테이너 모음, 다음 속성을 충족하는 정점의 하위 집합에서 추출할 수 있습니다.

컨테이너가 너무 많지 않습니다.
각 컨테이너는 가장 큰 독립 집합보다 크지 않습니다.
각 용기에는 가장자리가 거의 없습니다.
하이퍼그래프의 모든 개별 세트는 일부 컨테이너에 완전히 포함됩니다.

이름 컨테이너는 이 마지막 조건을 나타냅니다.그러한 컨테이너는 종종 독립 집합(용기의 하위 집합)의 집합을 특성화하고 하이퍼그래프의 독립 집합을 열거하는 효과적인 접근방식을 제공한다(단순히 컨테이너의 모든 가능한 하위 집합을 고려함).

하이퍼그래프 용기 보조항은 위의 용기 분해를 두 조각으로 달성합니다.그것은 $결정론적$ 함수 f를 구성한다.다음으로 $하이퍼그래프$ H의 개별 $세트I$ 에서 추출하는 알고리즘을 제공합니다.이것은 비교적 작은 $ion$ \ $subset$ I $S\subset I$ called S $S\subset I\subset S\cup f(S)$ S ∪ $S$ \ $displaystyle$ S \ $subset$ S \ $cup$ $S\cup f(S)$ ( $S\cup f(S)$ ) \ $displaystyle$ S \ $cup$ f ( S ) $S\cup f(S)$ 。지문의 $S\cup f(S)$ 크기가 작기 때문에 이러한 컨테이너 세트의 수를 적절히 제어할 수 있습니다.

그래프 컨테이너 알고리즘

우리는 먼저 그래프에서 독립 집합의 수에 대한 강한 상한을 보여주는 방법을 설명한다. 이 설명은 원래 Kleitman-Winston과 Sapozhenko에 의해 채택된 그래프 용기 방법에 대한 Samotij의^[8] 조사에서 수정되었다.

표기법

다음 항에서는 다음 표기법을 사용합니다.

$G=(V,E)$ $G=(V,E)$ ( $G=(V,E)$ , $G=(V,E)$ ) { $displaystyle$ G = ( $V$ , $E$ )는 $G=(V,E)$ V $|V|=n$ { $displaystyle$ V $= n$ }개의 $|V|=n$ 정점에 $|V|=n$ 그래프입니다. 여기서 정점 $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ 에는 { $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ 1 $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ , $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ , $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ n $}$ { $displaystyle$ \ { $v$ _ {1 $}$ , \ $ldots$ , v $_$ n \ $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ }} } $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ } } $\{v_{1},\ldots ,v_{n}\}$ 。
$\ell (G)$ ( $\ell (G)$ $i(G):=|\ell (G)|$ ) { $displaystyle \ell ( G$ ) : $i(G):=|\ell (G)|$ $i(G):=|\ell (G)|$ ( $i(G):=|\ell (G)|$ ) { $displaystyle$ i ( G ) : $=$ \ $ell ( G$ $i(G,r)$ ) $i(G):=|\ell (G)|$ 。 $i(G,r)$ ( G , r ) { displaystyle i ( $G$ , $i(G,r)$ $i(G,r)$ { $displaystyle$ i ( G , $r$ ) $i(G,r)$ } { displaystyle ( G , r )는 ${\displaystyle\ell(G)}$ $i(G,r)$ r $i(G):=|\ell (G)|$ 의 독립 $집합$ 의 집합의 집합입니다.
정점 $A\subset V$ A $A\subset V$ - $A\subset V$ {\ $displaystyle$ A\ $subset$ V $}$ 의 $A\subset V$ 최대도 순서는 유도 $G[A]$ G [ $]$ {\ $displaystyle$ G $[A$ 의 A의 $정점$ 순서입니다.

클라이트만-윈스턴 알고리즘

다음 알고리즘은 그래프의 모든 독립된 세트에 대해 작은 "지문"을 제공하고 전체 독립 집합을 포함하는 너무 크지 않은 부분 집합을 구성하기 위해 지문의 결정론적 함수를 제공합니다.

$그래프$ G, 독립 $I\in \ell (G)$ I $I\in \ell (G)$ ( $I\in \ell (G)$ ) \ $displaystyle$ I \ $in \$ ell ( $G$ )및 $I\in \ell (G)$ 양의 $q\leq |I|$ q $q\leq |I|$ I \ $displaystyle$ q \ $leq$ I $q\leq |I|$ 를 수정합니다.

초기화: $A=V(G),S=\emptyset$ $A=V(G),S=\emptyset$ ( $A=V(G),S=\emptyset$ ) $A=V(G),S=\emptyset$ 、 $A=V(G),S=\emptyset$ $A=V(G),S=\emptyset$ ${\$ { $displaystyle$ A $= V$ ( $A=V(G),S=\emptyset$ ) 、 $S=\emptyset$ 입니다.
s $s=1,2,\ldots ,q$ , $s=1,2,\ldots ,q$ , $s=1,2,\ldots ,q$ { $displaystyle$ s $=1,2,\ldots,q$ 에 대해 반복합니다.
- A $A,\,(v_{1},\ldots v_{|A|})$ , ( $A,\,(v_{1},\ldots v_{|A|})$ 1 , $A,\,(v_{1},\ldots v_{|A|})$ $A,\,(v_{1},\ldots v_{|A|})$ A $A,\,(v_{1},\ldots v_{|A|})$ ) ( $displaystyle$ A , , ( v $_$ { $1$ , \ $ldots v$ _ { A $}$ )의 $A,\,(v_{1},\ldots v_{|A|})$ 도수 순서를 설정합니다.
- $v_{j_{s}}\in I$ s $v_{j_{s}}\in I$ I {\ $displaystyle v_{j_{s}}\in$ I $($ 유도 $서브그래프$ G $[A]$ 에서 가장 큰 $A$ 의 정점)가 $v_{j_{s}}\in I$ 최소 $j_{s}$ $j_{s}$ {\ $displaystyle j_{s}$ 를 $j_{s}$ 구한다.
- $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ { $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ s $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ , $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ ( { $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ 1 , $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ , $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ s $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ ∪ $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ ( $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ s $S\leftarrow S\cup \{v_{j_{s}}\},\,A\leftarrow A\backslash (\{v_{1},\ldots ,v_{j_{s}}\}\cup N(v_{j_{s}}))$ ) { $displaystyle S$ \ $cup$ \ { $v$ _ j $_$ { $s$ } \ , , , , , , , $A$ \ $left 화살표$ A \ $backslash$ ( \ { $v$ _ { $ldots }$ ) , { $ldots$ } ) } , .
벡터 $(j_{1},\ldots ,j_{q})$ 1, $(j_{1},\ldots ,j_{q})$ $(j_{1},\ldots ,j_{q})$ q $)(\displaystyle (j_{1},\ldots,j_{q})$ 와 $(j_{1},\ldots ,j_{q})$ 정점 $A\cap I$ A $A\cap I$ I(\ $style$ A $\cap$ I $A\cap I$ 를 출력합니다.

분석.

구조상 상기 알고리즘의 출력에는 { $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ j $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ , $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ … , v $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ } $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ I $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ { $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ , $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ … , $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ q $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ ( $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ I $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ ) \ $displaystyle$ \ { $v$ _ { $j$ _ { j _ {1 $}$ , \ $ldots$ , v _ { $j _$ { q } \ $subset$ I \ { { 1 } ） $\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\subset I\subset \{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}\cup (A\cap I)$ 。이 값은 완전히 { $\{j_{1},\ldots ,j_{q}\}$ 1, $\{j_{1},\ldots ,j_{q}\}$ $\{j_{1},\ldots ,j_{q}\}$ q $A=A(j_{1},\ldots ,j_{q})$ }({ $displaystyle$ $\{j_{1},\ldots,j_{q})$ 에 $\{j_{1},\ldots ,j_{q}\}$ $\{j_{1},\ldots ,j_{q}\}$ 의해 결정되며 $,$ $I$ 의 $함수$ 이외에는 A $=$ ( $A=A(j_{1},\ldots ,j_{q})$ 1, $A=A(j_{1},\ldots ,j_{q})$ , $A=A(j_{1},\ldots ,j_{q})$ q $A=A(j_{1},\ldots ,j_{q})$ ) ( $j _$ { $1$ } , . $ldots$ , { $displaystyle$ I $I$ $}$ )라고 $A=A(j_{1},\ldots ,j_{q})$ . $S=\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}=S(j_{1},\ldots j_{q})$ 의 알고리즘에서는 벡터 $(j_{1},\ldots ,j_{q})$ $S=\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}=S(j_{1},\ldots j_{q})$ $(j_{1},\ldots ,j_{q})$ $S=\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}=S(j_{1},\ldots j_{q})$ $=$ $S=\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}=S(j_{1},\ldots j_{q})$ 1, $S=\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}=S(j_{1},\ldots j_{q})$ … $S=\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}=S(j_{1},\ldots j_{q})$ q $){displaystyle$ S=\{ $v_{j_{1},\ldots$ j_ ${q$ }}\}= $S(j_{$ 1},\ $ldots j_{$ q}})가 $S=\{v_{j_{1}},\ldots ,v_{j_{q}}\}=S(j_{1},\ldots j_{q})$ $(j_{1},\ldots ,j_{q})$ (1 $(j_{1},\ldots ,j_{q})$ …, $j) 바로$ 앞에 표시됩니다 $.$

즉 $,$ S(\ $displaystyle$ S)는 $S$ 지문을, S $S(j_{1},\ldots j_{q})\cup A(j_{1},\ldots ,j_{q})$ 1 $S(j_{1},\ldots j_{q})\cup A(j_{1},\ldots ,j_{q})$ … $)$ 는 $S(j_{1},\ldots j_{q})\cup A(j_{1},\ldots ,j_{q})$ A $S(j_{1},\ldots j_{q})\cup A(j_{1},\ldots ,j_{q})$ 1 $S(j_{1},\ldots j_{q})\cup A(j_{1},\ldots ,j_{q})$ $S(j_{1},\ldots j_{q})\cup A(j_{1},\ldots ,j_{q})$ q $)$ 는 A( $j_{1$ },\ $ldots j_{$ q})\ $cup$ A( $j_{1},\ldots,j_{$ q})는 $S(j_{1},\ldots j_{q})\cup A(j_{1},\ldots ,j_{q})$ 용기에 적합한 선택임을 $나타냅니다$ .보다 정확하게는 출력 시퀀스 $(j_{1},\ldots j_{q})$ $(j_{1},\ldots j_{q})$ 1, $(j_{1},\ldots j_{q})$ $(j_{1},\ldots j_{q})$ q $(j_{1},\ldots j_{q})$ ) { $displaystyle$ ( $j_{1},$ \ $ldots j_{q})$ 의 크기 $r\geq q$ r $r\geq q$ {\ $displaystyle$ G $}$ 의 $G$ $G$ 된 세트 수를 합계로 묶을 수 있습니다.

i

(

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

,

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

)

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

(

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

)

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

i (

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

[

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

( j

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

,

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

q

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

)

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

] ,

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

-

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

q )

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

(

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

)

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

、

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

(

j

,

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

)

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

r -

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

)

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

\

sum _

{ (

j _

r ) { s = { s

i(G,r)=\sum _{(j_{s})_{s=1}^{q}}i(G[A(j_{1},\ldots j_{q})],r-q)\leq \sum _{(j_{s})}{A(j_{1},\ldots j_{q}) \choose r-q}

=

1 q

} } ^{ } （ A }

여기서 r $\displaystyle$ 을 $r$ 합산하여 그래프의 총 독립 세트 수를 제한할 수 있습니다.

=

\leq \sum

_

{r=0}^{q-1}{n \choose

r

}+\sum

_

{(j_{s})}2^{A(j_{1},\ldots j_{q

이 상한을 최소화하기 위해 이 두 항의 균형을 맞추거나 최소화하는 q $\displaystyle$ q를 $q$ $q$ 합니다.이 결과는 (A $|A(j_{1},\ldots j_{q})|$ ( $|A(j_{1},\ldots j_{q})|$ 1 $|A(j_{1},\ldots j_{q})|$ , $|A(j_{1},\ldots j_{q})|$ q $|A(j_{1},\ldots j_{q})|$ )(\ $displaystyle$ A( $j_{1},\ldots j_{q})$ 를 $|A(j_{1},\ldots j_{q})|$ 하기 위해) 정점을 최대 차수로 정렬하는 값을 나타냅니다.

렘마

위의 부등식과 관측치는 벡터 $(j_{s})$ ( $(j_{s})$ s $)\displaystyle (j_{s$ 에 대한 명시적 합과는 별도로 보다 일반적인 설정으로 나타낼 수 있다.

Lemma 1: $그래프$ G $(\$ $displaystyle$ n $)$ 에 $G$ $n$ n $(\displaystyle$ n $)$ 을 지정하면 $정수$ q(\ $displaystyle$ q)와 $q$ $R,\beta \in [0,1]$ R $R,\beta \in [0,1]$ displaystyle $)$ 이 R $displaystyle$ R $,\beta$ $\in [0,$ $1$ 을 $R,\beta \in [0,1]$ $R\geq e^{-\beta q}n$ 한다고 가정합니다. $style$ R $}$ 개의 $R$ 정점은 $β {\displaystyle$ \beta $\beta$ 의 가장자리 밀도를 가집니다.그러면 모든 $r\geq q$ r $r\geq q$ {\ $displaystyle$ r $\geq$ 에 대해

i(G,r)\leq {n \choose q}{R \choose r-q}

Lemma 2: G $(style$ G $표시$ )를 $G$ $n개$ 의 $n$ 정점에 $대한$ 그래프로 하고, n(style R) $n\leq R+qD$ D $(style$ n $\leq$ R $+qD$ 가 되도록 $(\displaystyle$ q)와 $q$ $reals$ R $, D$ (\ $displaystyle$ R $,D)$ 가 $R,D$ 선택되었다고 $G$ 합니다.If $n\leq R+qD$ $subsetsetsetsisplaystyle$ R $n\leq R+qD$ 모든 U $(\$ display style R $)$ 가 $적어도$ $style$ q)를 $U$ 선택합니다.는 $D|U|/2$ $D|U|/2$ U / $D|U|/2$ 의 $D|U|/2$ (\ $displaystyle$ D $U$ / $2$ )개의 $D|U|/2$ 에지를 가지며,q개의 (\ $displaystyle$ q}개의 $q$ 정점("지문")과 결정론적 $f:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {P}}(V(G)$ f : $f:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {P}}(V(G)$ $f:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {P}}(V(G)$ $(\displaystyle$ f $:\mathcal {C})$ 의 ${\mathcal {F}}$ $집합$ ${\mathcal {F}}$ 가 있습니다 $.$ $모든$ 독립 $I\subset V(G)$ I $I\subset V(G)$ V ( $I\subset V(G)$ \ $displaystyle$ I \ $subset$ V ( $G$ ) $I\subset V(G)$ 、 S $S\subset I\subset f(S)\cup S$ I $S\subset I\subset f(S)\cup S$ f ( $S\subset I\subset f(S)\cup S$ ) $S\subset I\subset f(S)\cup S$ 、 $S\subset I\subset f(S)\cup S$ S \ $displaystyle S$ \ $subset F$ ( S ) $S\subset I\subset f(S)\cup S$ $S\in {\mathcal {F}}$ S . $cup$ $S\in {\mathcal {F}}$ s $S\in {\mathcal {F}}$ $S\in {\mathcal {F}}$ F \ s $。$

하이퍼그래프 컨테이너 용어집

비공식적으로 하이퍼그래프 컨테이너 보조항목을 통해 동일한 지문을 가진 모든 독립 집합이 크기 n에서 경계가 지정된 더 큰 집합인 $C=f(S)$ $=$ ( S $C=f(S)$ )에 속하도록 각 독립 집합에 작은 $S\subset I$ S $S\subset I$ I $(\$ $displaystyle$ $S\subset I$ S $\subset$ $S\subset I$ I)를 $S\subset I$ 할당할 수 있습니다.하이퍼그래프의 꼭지점 몇 개.또한 이러한 지문은 작기 때문에 용기가 거의 없기 때문에 하이퍼그래프의 몇 가지 간단한 특성을 사용하여 기본적으로 최적의 방법으로 크기를 상한으로 할 수 있습니다.

k $\displaystyle$ k $k$ $\$ ${\mathcal {H}}$ H\displaystyle $\mathcal$ { $H$ 와 관련된 다음 표기법을 기억합니다.

$\Delta _{l}({\mathcal {H}}):=\max\{d_{H}(A)\mid A\subset V({\mathcal {H}}),|A|=l\}$ l ( $\Delta _{l}({\mathcal {H}}):=\max\{d_{H}(A)\mid A\subset V({\mathcal {H}}),|A|=l\}$ ) : $\Delta _{l}({\mathcal {H}}):=\max\{d_{H}(A)\mid A\subset V({\mathcal {H}}),|A|=l\}$ { $\Delta _{l}({\mathcal {H}}):=\max\{d_{H}(A)\mid A\subset V({\mathcal {H}}),|A|=l\}$ H ( $\Delta _{l}({\mathcal {H}}):=\max\{d_{H}(A)\mid A\subset V({\mathcal {H}}),|A|=l\}$ ) $\Delta _{l}({\mathcal {H}}):=\max\{d_{H}(A)\mid A\subset V({\mathcal {H}}),|A|=l\}$ A $\Delta _{l}({\mathcal {H}}):=\max\{d_{H}(A)\mid A\subset V({\mathcal {H}}),|A|=l\}$ ( $\Delta _{l}({\mathcal {H}}):=\max\{d_{H}(A)\mid A\subset V({\mathcal {H}}),|A|=l\}$ ) , A $\Delta _{l}({\mathcal {H}}):=\max\{d_{H}(A)\mid A\subset V({\mathcal {H}}),|A|=l\}$ $\Delta _{l}({\mathcal {H}}):=\max\{d_{H}(A)\mid A\subset V({\mathcal {H}}),|A|=l\}$ $}$ { $display$ \ $Delta$ _ { l $\Delta _{l}({\mathcal {H}}):=\max\{d_{H}(A)\mid A\subset V({\mathcal {H}}),|A|=l\}$ } ( { \ $mathcal$ { $H}$ )를 정의합니다. $=\$ max $\{d_{H}(A$ )\mid $A\subset V({\mathcal {H$ }}), 양의 $1\leq l\leq k$ 1 $1\leq l\leq k$ (\ $displaystyle$ 1 $\leq l\leq$ k $1\leq l\leq k$ 에 대한 $A$ = $d_{\mathcal {H}}(A)=|\{e\in E({\mathcal {H}})\mid A\subset e\}|$ \}( $d_{\mathcal {H}}(A)=|\{e\in E({\mathcal {H}})\mid A\subset e\}|$ 서 D $d_{\mathcal {H}}(A)=|\{e\in E({\mathcal {H}})\mid A\subset e\}|$ A $d_{\mathcal {H}}(A)=|\{e\in E({\mathcal {H}})\mid A\subset e\}|$ $d_{\mathcal {H}}(A)=|\{e\in E({\mathcal {H}})\mid A\subset e\}|$ { $d_{\mathcal {H}}(A)=|\{e\in E({\mathcal {H}})\mid A\subset e\}|$ }) $d_{\mathcal {H}}(A)=|\{e\in E({\mathcal {H}})\mid A\subset e\}|$ E $d_{\mathcal {H}}(A)=|\{e\in E({\mathcal {H}})\mid A\subset e\}|$ $스타일$ } $d_{\mathcal {H}}(A)=|\{e\in E({\mathcal {H}})\mid A\subset e\}|$
${\mathcal {I}}({\mathcal {H}})$ ( ${\mathcal {I}}({\mathcal {H}})$ ) { $style$ {\ $mathcal$ ${I$ $}$ （ {\ $mathcal$ {H ${\mathcal {I}}({\mathcal {H}})$ $}}}$ ） ${\mathcal {H}}$ 。 $I$ { $displaystyle$ ${\mathcal {H}}$ I}는 $I$ 이러한 독립 집합을 나타냅니다.

진술

우리는 Balogh, Morris, Samotij, Saxton의^[9] 작품에서 발견된 이 보조개조의 버전을 말한다.

H $(\displaystyle$ { $l\in \{1,2,\ldots ,k\}$ $})$ 를 ${\mathcal {H}}$ k $(\displaystyle$ k $l\in \{1,2,\ldots ,k\}$ - 균일한 $k$ 하이퍼그래프라고 ${\mathcal {H}}$ 하고 l $displaystyle$ l $\in \1,2,\ldots,k$ 및 $(\$ \ $mathbbb$ {N $b,r\in \mathbb {N}$ 에 대해 다음과 같은 $\Delta _{l}(H)\leq \left({\frac {b}{|V(H)|}}\right)^{l-1}{\frac {|E(H)|}{r}}$ 이 있다고 가정합니다 $.$ $\Delta _{l}(H)\leq \left({\frac {b}{|V(H)|}}\right)^{l-1}{\frac {|E(H)|}{r}}$ {\ $displaystyle \Delta$ _ ${l}(H)\leq \left\\frac {b}}}{l-1}{\frac {E(H)}{r$ 그 후 ${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(V(H))$ P ( ${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(V(H))$ $\Delta _{l}(H)\leq \left({\frac {b}{|V(H)|}}\right)^{l-1}{\frac {|E(H)|}{r}}$ ( ${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(V(H))$ ) \ $display math$ cal $}$ { $set$ } { set} { $subcal$ } { set} { displaystyleval }h 그거

$I\in {\mathcal {I}}(H)$ I $I\in {\mathcal {I}}(H)$ ( $H$ ) { $displaystyle$ I $}$ { I } $in$ { $mathcal$ { I $}$ { I $I\in {\mathcal {I}}(H)$ $S\subset I$ $|S|\leq (k-1)b$ S $|S|\leq (k-1)b$ ( $|S|\leq (k-1)b$ - $|S|\leq (k-1)b$ ) $|S|\leq (k-1)b$ \ $displaystyle$ S \ $leq$ ( $k-1 ) b$ $I\subset f(S)$ I i I $I\in {\mathcal {I}}(H)$ I $I\subset f(S)$ I $I\subset f(S)$ I ( ( ( ( （ S $）$ ( $subset$ I $S\subset I$ 。
$|C|\leq |V(H)|-\delta r$ $|C|\leq |V(H)|-\delta r$ ( $)$ - $|C|\leq |V(H)|-\delta r$ $∈$ $C\in {\mathcal {C}}$ \ $display style$ $C$ $C\in {\mathcal {C}}$ \ $in \ mathcal$ { $C$ } 및 $|C|\leq |V(H)|-\delta r$ $C\in {\mathcal {C}}$ $\delta =2^{-k(k+1)}$ $=$ - $\delta =2^{-k(k+1)}$ k ( $\delta =2^{-k(k+1)}$ + $\delta =2^{-k(k+1)}$ $\delta =2^{-k(k+1)}$ style \ $2$ ^ { - $k$ ( $k$ + $1$ ) $\delta =2^{-k(k+1)}$ } 。

응용 프로그램 예시

일반 그래프

독립 집합 수에 대한 상한

$모든$ $G$ 의\ $displaystyle$ n - $d$ d \ $displaystyle$ d \ $style$ G $satisfies$ $d$ $G$ $i(G)\leq 2^{\left(1+C{\sqrt {\frac {\log d}{d}}}\right){\frac {n}{2}}}$ ( $i(G)\leq 2^{\left(1+C{\sqrt {\frac {\log d}{d}}}\right){\frac {n}{2}}}$ + $i(G)\leq 2^{\left(1+C{\sqrt {\frac {\log d}{d}}}\right){\frac {n}{2}}}$ log $d$ d $i(G)\leq 2^{\left(1+C{\sqrt {\frac {\log d}{d}}}\right){\frac {n}{2}}}$ ) $n$ 2 $i(G)\leq 2^{\left(1+C{\sqrt {\frac {\log d}{d}}}\right){\frac {n}{2}}}$ \ $displaystyle$ i ( $G$ ) \ $leq$ 2 ^ { \ $left ( 1$ + $C$ \ $sq frac$ } { $displaystyle$ G $i(G)\leq 2^{\left(1+C{\sqrt {\frac {\log d}{d}}}\right){\frac {n}{2}}}$ { \ log frt frac }

trivial $i(G,r)\leq {n \choose r}\leq {n \choose n/10}\leq 2^{0.48n}$ i ( $i(G,r)\leq {n \choose r}\leq {n \choose n/10}\leq 2^{0.48n}$ , $i(G,r)\leq {n \choose r}\leq {n \choose n/10}\leq 2^{0.48n}$ )48 $i(G,r)\leq {n \choose r}\leq {n \choose n/10}\leq 2^{0.48n}$ $i(G,r)\leq {n \choose r}\leq {n \choose n/10}\leq 2^{0.48n}$ $i(G,r)\leq {n \choose r}\leq {n \choose n/10}\leq 2^{0.48n}$ $i(G,r)\leq {n \choose r}\leq {n \choose n/10}\leq 2^{0.48n}$ 0. $i(G,r)\leq {n \choose r}\leq {n \choose n/10}\leq 2^{0.48n}$ ( $\$ $displaystyle$ $i$ ( $G$ , r $)\leq { n$ \ $choose$ r $i(G,r)\leq {n \choose r}\leq {n \choose n/10}\leq 2^{0.48n}$ $r\leq n/10$ $leq { n$ \ $choose$ n / $r\leq n/10$ $i(G,r)\leq {n \choose r}\leq {n \choose n/10}\leq 2^{0.48n}$ $r\leq n/10$ $leq$ 2 $.$ $r\leq n/10$ n $)$ 를 $r\leq n/10$ 하여 $r$ 각 $크기$ 의 $독립$ 세트 수를 제한할 수 있습니다. $laystyle$ r $r$ $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ > $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ 1 $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ / $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ + $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ n $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ d . \ $displaystyle$ \ displaystyle > $10 / n$ , q $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ = \ $lfloor$ 1 $/\$ display $floor$ \ $displaystyle$ \ $scrack$ { n } { $n 、$ { $n$ } { n } { n } { n } + { n } $}파라미터$ 와 $\beta >10/n,q=\lfloor 1/\beta \rfloor ,R={\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}.$ 함께 합니다.

i(G,r)\leq {q} {R \choose r-q} \leq {n \choose q} {\frac {n} {{\frac {n} {2}} + {\frac {beta n^{2}} {d} \leq \left({\frac {q} {q} {q} {right}) {n} {fright}

$0\leq r\leq n$ 0 $0\leq r\leq n$ ${\$ n { $displaystyle 0$ \ $leq r$ \ $leq$ n }의 $0\leq r\leq n$ 합계는 다음과 같습니다.

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

(

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

)

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

2

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

.

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

n +

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

n

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

+

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

n

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

d +

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

/ β

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

2

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

(

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

n

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

) \

displaystyle

i (

G

) \

leq

2

^

{ 0 .

49

n } +

2

^ { \

frac

{ n

i(G)\leq 2^{0.49n}+2^{{\frac {n}{2}}+{\frac {\beta n^{2}}{2d}}+\lfloor 1/\beta \rfloor \log _{2}(e\beta n)}

} + { \

frac

{

n }

+ { \

lfloor

/

beta 1

.

β $\beta ={\sqrt {d\log d}}/n.$ $\beta ={\sqrt {d\log d}}/n.$ log $\beta ={\sqrt {d\log d}}/n.$ $\beta ={\sqrt {d\log d}}/n.$ / $\beta ={\sqrt {d\log d}}/n.$ . $\beta ={\sqrt {d\log d}}/n.$ { $displaystyle$ \ displaystyle $= displayrt {d$ \log d $}}/n을$ 하면 원하는 결과를 얻을 수 있습니다. $}$

무합계 세트

$x,y,z\in A$ + $x+y=z$ \ $displaystyle$ x + $y$ = z \ $displaystyle x$ + $y =$ z \ displaystylex + $2^{(1/2+o(1))n}$ = $z$ \ $x+y=z$ $x,y,z\in A$ $x+y=z$ $x,y,z\in A$ ( $2^{(1/2+o(1))n}$ / $2^{(1/2+o(1))n}$ 2 + $2^{(1/2+o(1))n}$ ( $2^{(1/2+o(1))n}$ ) $2^{(1/2+o(1))n}$ 2 $/ 2$ / $1$ ) ndisplay $style$ 2 . $}$ $=\{1$ ,2 $,\ldots,n$

이는 일반 그래프에서 독립 집합의 수에 대한 위의 한계를 따릅니다.이를 보기 위해서는 보조 그래프를 작성해야 합니다.우선 하위 조건까지는 n/ $n^{2/3}$ / $n/2$ $({$ n $^{2/3}}$ 개 $n^{2/3}$ 이상의 요소가 n $n/2$ 2 $\display style$ n/ $2/$ 2)보다 작은 $n/2$ 무합 집합으로 초점을 제한할 수 있다는 것을 알 수 있다(이를 보완하는 서브셋의 수는 최대 $(n/2)^{n^{2/3}}2^{n/2+1}$ ) $({$ ${n^{2/3}}2^{n/2+1}}}$ $(n/2)^{n^{2/3}}2^{n/2+1}$ 。

일부 $S\subset \{1,2,\ldots ,\lceil n/2\rceil -1\}$ { $S\subset \{1,2,\ldots ,\lceil n/2\rceil -1\}$ 1, $S\subset \{1,2,\ldots ,\lceil n/2\rceil -1\}$ , $S\subset \{1,2,\ldots ,\lceil n/2\rceil -1\}$ $S\subset \{1,2,\ldots ,\lceil n/2\rceil -1\}$ / $S\subset \{1,2,\ldots ,\lceil n/2\rceil -1\}$ - $}$ { $displaystyle$ S \ $subset$ \ { $1$ , 2 $,$ $\ldots$ , \ $lceil n$ /2 \ $rceil$ - $1$ \ $S\subset \{1,2,\ldots ,\lceil n/2\rceil -1\}$ } some set set set $G_{S}$ g g $[n]$ n G $S$ \ $display style$ [ n $]$ { $\{\{x,y\}\mid x+s\equiv y{\pmod {n}}{\text{ for some }}s\in S\cup (-S)\}$ } 、 { $display style$ { $\{\{x,y\}\mid x+s\equiv y{\pmod {n}}{\text{ for some }}s\in S\cup (-S)\}$ $[n]$ $\{\{x,y\}\mid x+s\equiv y{\pmod {n}}{\text{ for some }}s\in S\cup (-S)\}$ $[n]$ } set { { { $\{\{x,y\}\mid x+s\equiv y{\pmod {n}}{\text{ for some }}s\in S\cup (-S)\}$ { { n }를 $G_{S}$ $[n]$ 정의합니다. $y\}\mid$ x $+s\equiv$ y ${\pmod {n}{\text{일부}s\in$ S $\$ $cup$ (- $S$ 의 $S_{A}$ 경우 $S_{A}$ 의 $S_{A}$ 각 요소가 $n/2$ n/2 $(\displaystyle$ n $/$ $2$ 보다 작기 때문에 보조 그래프가 $2|S|$ $displaystyle$ 2 S $})$ $정규임$ 을 $2|S|$ 확인합니다. $A\backslash S_{A}$ A $ents$ [ n $A\subset [n]$ ]{ $displaystyle A$ \ $subset$ [ $A\subset [n]$ n $A\subset [n]$ ], 세트 A $A\backslash S_{A}$ S A \ $backslash$ S _ { $A\backslash S_{A}$ A $A\backslash S_{A}$ $G_{S_{A}}$ }의 엔트리는 그래프 $S A의 독립$ 된 세트입니다.앞으로 서브셋의 수를 나타냅니다.

{{displaystyle (n/2)^{2/3}^{n/2+}+{n/2\choose n^{2/3}}2^{(1+O(n^{-1/3}{\sqrt {log n}})}}\leq 2^{1/2+O(n/3)})}

삼각형이 없는 그래프

하이퍼그래프 컨테이너 보조항목을 사용하여^[10] $n개$ 의 $n$ 정점을 가진 $n$ 이 없는 그래프의 수에 점근적으로 엄격한 상한을 제공하여 열거형 $질문$ 에 답하는 방법을 설명한다 $.$

비공식 성명

초당 그래프는 삼각형이 없기 때문에 $n개의$ 정점이 $있는$ 삼각형의 자유 그래프의 수는 $2^{\lfloor n^{2}/4\rfloor }$ 2 $display$ 2 / 4 $2^{\lfloor n^{2}/4\rfloor }$ { \ $lfloor$ $n ^$ { $2$ } / 4 \ rfloor $2^{\lfloor n^{2}/4\rfloor }$ 입니다.이는 균형 잡힌 $K_{\lfloor n/2\rfloor ,\lceil n/2\rceil }$ 그래프의 모든 가능한 부분 그래프 $K_{\lfloor n/2\rfloor ,\lceil n/2\rceil }$ / 2 $K_{\lfloor n/2\rfloor ,\lceil n/2\rceil }$ n $K_{\lfloor n/2\rfloor ,\lceil n/2\rceil }$ 2 display / $2$ display ) 。 $_{\lfloor n/2\lceil },\lceil$ n/2 $\rceil$

$정점$ $V(H)=E(K_{n})$ V ( $V(H)=E(K_{n})$ ) $V(H)=E(K_{n})$ ( $V(H)=E(K_{n})$ ) ( \ $displaystyle V$ ( H ) = $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ ( K _ { $V(H)=E(K_{n})$ n } )및 $V(H)=E(K_{n})$ 에지 $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ E ( $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ ) $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ { $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ 1, $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ 2, $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ ( $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ ) $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ ( $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ 、 H $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ ) 、 $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ ( 1 $E(H)=\{\{e_{1},e_{2},e_{3}\}\subset E(K_{n})=V(H)\mid e_{1},e_{2},e_{3}{\text{ form a triangle}}\}$ 1 ）。 $},e_{3}{\text{삼각형$ $이$ 하이퍼그래프는 $n개의$ 정점에 $있는$ 삼각형이 없는 그래프의 패밀리가 이 하이퍼그래프의 독립 집합인 $)\display {I$ 라는 점에서 삼각형을 "인코딩"합니다.

위 하이퍼그래프는 $(\$ 의 각 모서리 $displaystyle$ V $($ $H))$ 는 $V(H)$ 정확히 $n-2$ - $n-2$ (\ $displaystyle n-2}$ 개의 $n-2$ 삼각형에 포함되며 V $(\displaystyle$ V( $H))$ 의 $V(H)$ 각 요소 쌍은 최대 1개의 삼각형에 포함됩니다.따라서 하이퍼그래프 컨테이너 보조항목을 적용하면 하이퍼그래프의 각 삼각형 없는 그래프/독립적인 세트를 포함하는 몇 개의 삼각형을 각각 포함하는 $n^{O(n^{3/2})}$ O $n^{O(n^{3/2})}$ ( $n^{O(n^{3/2})}$ 3 / $n^{O(n^{3/2})}$ ) { $display$ n $^$ { O ( n $n^{O(n^{3/2})}$ ^ $3 /$ 2 ) } $컨테이너$ 패밀리가 있음을 보여줄 수 있습니다.

삼각형이 없는 그래프 수에 대한 상한

먼저 범용 하이퍼그래프 컨테이너를 다음과 같이 3균일한 하이퍼그래프로 한정합니다.

Lemma: c $c>0$ > $c>0$ { $displaystyle$ c > $0$ }마다 $\delta >0$ { $displaystyle$ \ $delta$ > $0$ }이 $\delta >0$ 존재하므로 다음 사항이 유지됩니다. $(\displaystyle$ H $)$ 를 $H$ 평균도 $d\geq 1/\delta$ 1 / ${\$ \ $displaystyle$ $d$ \ $geq$ 1 $/\delta }$ 의 $d\geq 1/\delta$ 3균일한 하이퍼그래프로 하고, $\Delta _{1}(H)\leq cd,\Delta _{2}(H)\leq c{\sqrt {d}}$ 1 $\Delta _{1}(H)\leq cd,\Delta _{2}(H)\leq c{\sqrt {d}}$ ( $\Delta _{1}(H)\leq cd,\Delta _{2}(H)\leq c{\sqrt {d}}$ ) $\Delta _{1}(H)\leq cd,\Delta _{2}(H)\leq c{\sqrt {d}}$ $\Delta _{1}(H)\leq cd,\Delta _{2}(H)\leq c{\sqrt {d}}$ d $\Delta _{1}(H)\leq cd,\Delta _{2}(H)\leq c{\sqrt {d}}$ ( $\Delta _{1}(H)\leq cd,\Delta _{2}(H)\leq c{\sqrt {d}}$ ) \ $displaystyle$ \ $Delta _ 1$ ( $H$ ) cdelta \ $Delta$ { $2$ cdelta \ $Delta$ 。 ${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(V(H))$ {\ $mathcal {C}}\subset$ {{ $mathcal {P}}(V($ $|{\mathcal {C}}|\leq {|V(H)| \choose |V(H)|/{\sqrt {d}}}$ 의 최대 $|{\mathcal {C}}|\leq {|V(H)| \choose |V(H)|/{\sqrt {d}}}$ (( $)$ 의 ${\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(V(H))$ {\style ${mathcal {C}\leq {V(H)\choose$ V( $H)}/{sqrt$ {d}}}}}}}의 $|{\mathcal {C}}|\leq {|V(H)| \choose |V(H)|/{\sqrt {d}}}$ 하위 집합은 다음과 같은 내용을 포함합니다 $.$

$I\in {\mathcal {I}}(H)$ I $h$ I ( H ) { $displaystyle$ I \ $in$ \ $mathcal$ { I $}$ } $I\subset C\in {\mathcal {C}}$ $I\in {\mathcal {I}}(H)$ C $I\subset C\in {\mathcal {C}}$ \ $displaystyle$ I \ $subset$ C \ $in$ \ $mathcal$ { $C }$ 에는 $I\subset C\in {\mathcal {C}}$ 가 $I\subset C\in {\mathcal {C}}$ 합니다 $I\subset C\in {\mathcal {C}}$
$|C|\leq (1-\delta )|V(H)|$ $C\in {\mathcal {C}}$ C $C\in {\mathcal {C}}$ C \ $displaystyle$ C \ $in$ \ $mathcal$ { $C$ } $|C|\leq (1-\delta )|V(H)|$ $|C|\leq (1-\delta )|V(H)|$ $all$ all all c $|C|\leq (1-\delta )|V(H)|$ $1$ - $|C|\leq (1-\delta )|V(H)|$ \ $delta ） V$ ( $H$ ) $}$

이 보조항목을 반복적으로 적용하면 다음과 같은 정리가 된다(아래에서 입증됨).

정리: $\epsilon >0$ $\epsilon >0$ $(\displaystyle \epsilon$ > $0$ 에 대해 C $C>0$ > $0$ (\ $displaystyle$ C $>$ 0)이 $C>0$ 존재하며 다음과 같은 상태가 유지됩니다.각 양의 $정수$ n에 대해 G $|{\mathcal {G}}|\leq n^{Cn^{3/2}}$ $|{\mathcal {G}}|\leq n^{Cn^{3/2}}$ C $|{\mathcal {G}}|\leq n^{Cn^{3/2}}$ 3 $|{\mathcal {G}}|\leq n^{Cn^{3/2}}$ / $|{\mathcal {G}}|\leq n^{Cn^{3/2}}$ { $display$ style } \ $leq$ n $^{$ Cn $^{3/2}$ }인 $|{\mathcal {G}}|\leq n^{Cn^{3/2}}$ 꼭지점 n개 $그래프$ ${\mathcal {G}}$ G(\ $displaystyle\$ $mathcal {G})$ 가 ${\mathcal {G}}$ 존재한다.

각 $G\in {\mathcal {G}}$ G ( \ $displaystyle$ G \ $in$ \ $mathcal$ { $G$ } )는 $G\in {\mathcal {G}}$ , $\epsilon n^{3}$ $\epsilon n^{3}$ ( $\epsilon n^{3}$ \ $displaystyle$ \ $epsilon$ n^ {3 $}$ )보다 $\epsilon n^{3}$ 작은 삼각형을 가집니다.
$n개의$ 정점에 $대한$ 각 삼각형이 없는 그래프는 일부 $G\in {\mathcal {G}}$ G \ $in$ \ $mathcal$ { $G$ 에 포함되어 있습니다.

실증: 위에서 정의한 $하이퍼그래프$ H(\ $displaystyle$ H $)$ 를 $H$ 고려합니다.앞에서 비공식적으로 관찰한 바와 같이 하이퍼그래프는 $H$ $|V(H)|={n \choose 2},\Delta _{2}(H)=1,d(v)=n-2$ $|V(H)|={n \choose 2},\Delta _{2}(H)=1,d(v)=n-2$ ( $|V(H)|={n \choose 2},\Delta _{2}(H)=1,d(v)=n-2$ 2) $|V(H)|={n \choose 2},\Delta _{2}(H)=1,d(v)=n-2$ 、 $|V(H)|={n \choose 2},\Delta _{2}(H)=1,d(v)=n-2$ 2 $|V(H)|={n \choose 2},\Delta _{2}(H)=1,d(v)=n-2$ ( H ) $|V(H)|={n \choose 2},\Delta _{2}(H)=1,d(v)=n-2$ , $|V(H)|={n \choose 2},\Delta _{2}(H)=1,d(v)=n-2$ ( $|V(H)|={n \choose 2},\Delta _{2}(H)=1,d(v)=n-2$ ) $|V(H)|={n \choose 2},\Delta _{2}(H)=1,d(v)=n-2$ - $|V(H)|={n \choose 2},\Delta _{2}(H)=1,d(v)=n-2$ ( \ $displaystyle$ V ( $H$ ) = { $n$ \ $choose$ 2 , \ $Delta$ _ { $2}$ ( H ) $v\in V(H)$ $1,$ d ( v ) = $|V(H)|={n \choose 2},\Delta _{2}(H)=1,d(v)=n-2$ n - $|V(H)|={n \choose 2},\Delta _{2}(H)=1,d(v)=n-2$ 2 （ $|V(H)|={n \choose 2},\Delta _{2}(H)=1,d(v)=n-2$ ）。 $displaystyle$ ${\mathcal {C}}$ c $=1}$ 를 사용하여 $c=1$ N $n^{O(n^{3/2})}$ 3 $n^{O(n^{3/2})}$ / $n^{O(n^{3/2})}$ )의 컬렉션 ${\mathcal {C}}$ (\ $displaystyle$ { $C})$ 를 ${\mathcal {C}}$ $E(K_{n})$ (\ $displaystyle$ $E(K_{n})$ n $^{O(n^{3/$ 2}).\ $displaystyle E(K_{$ n $n$ $})}).$ (\style $n개의$ 에 $n^{O(n^{3/2})}$ $E(K_{n})$ 표시 $E(K_{n})$

모든 삼각형의 자유 그래프는 $C\in {\mathcal {C}}$ C $c$ C \ $in$ \ $mathcal$ { C $}$ 의 $C\in {\mathcal {C}}$ 서브 그래프입니다.
$C\in {\mathcal {C}}$ $(\$ C $\in\mathcal {C})$ 에는 $C\in {\mathcal {C}}$ 최대 $(1-\delta ){n \choose 2}$ - $(1-\delta ){n \choose 2}$ ( $(1-\delta ){n \choose 2}$ $)(\display$ ( $1$ - \ $delta$ ){n $(1-\delta ){n \choose 2}$ \ $choose$ 2 $}$ 개의 $(1-\delta ){n \choose 2}$ 에지가 있습니다.

이것은 우리가 보여주고 싶은 결과만큼 강하지 않기 때문에 용기 보조제를 반복적으로 적용한다.최소 $(\$ n $^{3})$ 삼각형을 $\epsilon n^{3}$ 가진 컨테이너 $displaystyle$ C $\in\mathcal {C})$ 가 $C\in {\mathcal {C}}$ 있다고 가정합니다.컨테이너 보조항목을 유도 $H[C]$ H[ $C]$ { $displaystyle$ H $[$ $H[C]$ $H[C]$ { $displaystyle$ H $[C] {$ $displaystyle$ 6 $\epsilon$ n $6\epsilon n$ 에 $H[C]$ 적용할 수 있습니다. $H[C]$ C{ $style$ C $}$ 의 $C$ $모든$ 삼각형이 H $[style$ C $]$ 의 모서리이기 때문입니다.최대 ${n \choose 2}$ ( ${n \choose 2}$ 2 ${n \choose 2}$ ) { $displaystyle {$ n \ $choose 2}$ 개의 ${n \choose 2}$ 정점.따라서 매개 $c=1/\epsilon$ $c=1/\epsilon$ $c=1/\epsilon$ $c=1/\epsilon$ / ${\$ { $displaystyle$ c $c=1/\epsilon$ = 1 / \ $silon$ }인 Lemma를 적용하고 컨테이너 세트에서C ${\mathcal {I}}(H[C])$ $displaystyle$ C ${\mathcal {I}}(H[C])$ 를 $C$ 제거하고 I(H ${\mathcal {I}}(H[C])$ [C $])$ 를 덮는 컨테이너 세트(\ $displaystyle {I$ 로 대체할 수 있습니다.

각 컨테이너가 $\epsilon n^{3}$ 3 $($ 스타일 \ $epsilon$ n $^{3})$ 미만의 $\epsilon n^{3}$ 삼각형을 포함하는 ${\mathcal {C}}$ C $(\$ 의 ${\mathcal {C}}$ 최종 컬렉션을 얻을 때까지 반복할 수 있습니다.이 컬렉션은 너무 클 수 없습니다.유도된 모든 서브그래프는 최대 $($ 2)개의 ${n \choose 2}$ 정점과 ${n \choose 2}$ $6\epsilon n$ $({$ $displaystyle$ $6$ $\epsilon$ n $})$ 의 평균 도수를 가지고 있습니다.즉, 각 반복이 $(n$ 의 $n^{O(n^{3/2})}$ 결과가 된다는 뜻입니다.또한 컨테이너 크기는 매회 1 $1-\delta$ - ${\$ ( \ $displaystyle 1-$ \ $delta$ )의 $1-\delta$ $1-\delta$ 줄어들기 때문에 (\ displaystyle \ epsilon $\epsilon$ 에 따라) 제한 횟수(\ $displaystyle$ \ $epsilon$ }에 따라)를 반복하면 반복 프로세스가 종료됩니다.

「」를 참조해 주세요.

독립 집합(그래프 이론)
세메레디의 정리
세메레디 규칙성 보조항

레퍼런스

^ Kleitman, Daniel; Winston, Kenneth (1980). "The asymptotic number of lattices". Annals of Discrete Mathematics. 6: 243–249. doi:10.1016/S0167-5060(08)70708-8. ISBN 9780444860484.
^ Kleitman, Daniel; Winston, Kenneth (1982). "On the number of graphs without 4-cycles". Discrete Mathematics. 31 (2): 167–172. doi:10.1016/0012-365X(82)90204-7.
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