코브햄의 정리

코브햄의 정리는 숫자 이론, 특히 초월적 숫자, 자동자 이론과 중요한 연관성을 가진 단어에 대한 결합학에서 정리된 것이다.비공식적으로, 이 정리는 베이스 b와₁ 베이스 b로₂ 작성된 자연수의 S 집합의 구성원이 유한한 오토마타에 의해 인식될 수 있는 조건을 제공한다.특히 base b와₁ b가₂ 동일한 정수의 힘이 되지 않도록 고려한다.코브햄의 정리에서는 베이스 b와₁ b로₂ 쓰여진 S가 산술 진행의 유한 결합인 경우에만 유한 자동화에 의해 인식된다고 기술하고 있다.이 정리는 1969년^[1] 앨런 코브햄에 의해 증명되었고 이후 많은 연장과 일반화를 낳았다.^[2][3]

정의들

> ${\displaystyle n>0}$을(를) 정수로 한다.b 기준 $b$ ${\textstyle b}$에서 $n$ ${\textstyle n}$을(를) 나타내는 숫자는$$ 다음과$$ ${\displaystyle {같이\mathrm{}}_{}}$ n ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$h {\$displaystyle n_{0$}n_${1$}\$cdots$n_{$h}}}$의 숫자 순서다.

${\displaystyle n=n_{0}+n_{1}b+\cdots +n_{h}b^{h}}}}$

여기서 n , < b ${\displaystyle$ 0\leq n_${0},n_{1},\ldots,n_{h},$ > {\$displaystyle n_{h$}}, n > 0 ${\$$displaystystyle$ n_n_{$h$$n{\displaystyle {}_{}}$ 0 ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ n ${\displaystyle {}_{}}$ n ${\displaystyle h_{}}$ ${\$}n_{1$}\cdots n_{h}}$은(는) 종종 ${\displaystyle {}_n}$ b$${\$displaystyle \langle$ n$\b$ 또는 더 단순하게 $n{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$로 표기된다$.$

A set of natural numbers S is recognisable in base ${\textstyle b}$ or more simply ${\textstyle b}$-recognisable or ${\textstyle b}$-automatic if the set ${\displaystyle \{n_{b}\mid n\in S\}}$ of the representations of its elements in base ${\displaystyle b}$ is a language recognisable by a알파벳${\displaystyle }${ ${\displaystyle 0,}$ 1, ${\displaystyle \dots ,b}$- ${\displaystyle 1}$} ${\displaystyle$\{$0,1,\ldots,b-1$에 유한 자동 표시.

두${\displaystyle {}^{}}$양의 ${\displaystyle {}^{}}$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ k$}$과 $and$ ${\displaystyle \ell$}은$($는) 음이 아닌 정수 $p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $p}$과($와)$ q ${\\$$displaystyle q}$이(가$)$ 없는 경우 곱셈 독립적이며, 예를$$ 들어 ${\displaystyle 2^{}}$와$$3은 곱셈, $8$과 곱셈이$$있다.16은 8 ${\displaystyle {4\mathrm{}}^{}}$= ${\displaystyle {16}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$ 8$^{4}=16^{3}$ 이후가 아니다$.$ 두 정수는 동일한 세 번째 정수의 힘인 경우에만 승법적으로 의존한다.

문제성명

원문제명세서

정리에 대한 보다 동등한 진술이 주어졌다.코브햄의 원판은 다음과 같다.^[1]

정리를 설명하는 또 다른 방법은 자동 시퀀스를 사용하는 것이다.코브햄 자신은 그것들을 "일률적인 태그 순서"라고 부른다.^[4]알루슈와 살릿의 저서에는 다음과 같은 양식이 있다.^[5]

우리는 자연수 S기지 k에서 유한 오토 머터에 의해 인식의 세트의 특성 시퀀스k-automatic 순서와 모든k-automatic 시퀀스가 거꾸로,{\displaystyle u}과 모든 정수 0i< ≤, k{\displaystyle 0\leq i<, k}, 천연 num의 나는{\displaystyle S_{나는}은 집합 S}을 보여 줄 수 있다.bers${\displaystyle s}$${\displaystyle u_{}}$= ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u_{s}=i}$이(가) 기본$$ $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k$에서 인식 가능한 s {\$displaystyle$ s$}.$

로직의 공식화

코브햄의 정리는 1960년 부치가 입증한 정리를 이용하여 1차 논리로 공식화할 수 있다.^[7]논리학의 이 공식은 확장과 일반화를 허용한다.논리적인 표현은 그 이론을^[8] 사용한다.

${\displaystyle \langle N,+,V_{r}\angle }$

of natural integers equipped with addition and the function ${\displaystyle V_{r}}$ defined by ${\displaystyle V_{r}(0)=1}$ and for any positive integer ${\textstyle n}$, ${\displaystyle V_{r}(n)=m}$ if ${\displaystyle r^{m}}$ is the largest power of ${\displ$$n$ ${\textstyle n}$을$($를) 나누는$$ $aystyle r}$ 예를 들어 V 2(${\displaystyle {20\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle$ V_{$2}(20)=4} 및$V 3(${\displaystyle 20)}$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle V_{3}(20$$1}.$

$정수{\displaystyle }$ S ${\$$displaystyle$ $S}$의 집합은 ${\displaystyle {}_{}},{\displaystyle }$ 추가$,$ ${\displaystyle V_{}}$ $r {\$$displaystyle \langle$N$,+,V_$${r$$}\rangele}}$의 1차 로직에서 정의할 수 있다$$$$$.$

예:

• 홀수 집합은 ($V{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle r_{}}$ ${\$ 제외$)$ 공식${\displaystyle (x\mathrm{=}}$ ${\displaystyle y}$+ ${\displaystyle 1}$ )$displaystyle (\exists y)(x=y+y+1$)으로 정의할 수 있다$.$
• 2의 파워 중$$${\displaystyle }${ ${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}n}$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{2^{n}\mid$ n$\geq$ 0$\}$은(는) $간단한{\displaystyle {}_{}}$ 공식 V ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V_{2}(x)=x}$로 정의할 수 있다$.$

우리는 S가 궁극적으로 주기적인 경우에만 프레스버거 산술에서 정의 가능한 1차라는 점에 주목함으로써 논리로 유추를 더 밀어붙일 수 있다.So, a set S is definable in the logics ${\displaystyle \langle N,+,V_{k}\rangle }$ and ${\displaystyle \langle N,+,V_{\ell }\rangle }$ if and only if it is definable in Presburger arithmetic.

일반화

형태론에 의한 접근

자동 시퀀스는 특정한 형태 단어로 형태주의가 균일하며, 입력 알파벳의 각 문자에 대한 형태론에 의해 생성되는 이미지의 길이가 같다는 것을 의미한다.따라서 정수의 집합은 그 특성 시퀀스가 코딩에 따른 균일한 형태주의에 의해 생성되는 경우에만 k-인식할 수 있다. 여기서 코딩은 입력 알파벳의 각 문자를 출력 알파벳 문자에 매핑하는 형태론이다.예를 들어, 2의 힘의 특성 순서는 2 통일 형태론(각 글자가 길이 2의 단어에 매핑됨을 의미함)에 의해 정의된$$ 알파벳 $B{\displaystyle }$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle a,}$ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1\}}$ ${\displaystyle B=\{a,0,1\}$에 걸쳐 생성된다.

$a1\mapsto a\mapsto,\mapsto 10\,\mapsto 0\mapsto 00}$

무한한 단어를 만들어 내는 것

$⋯[\displaystyle a11010001\cdots$ $\},$

$이어{\displaystyle }$ ${\displaystyle a}$을(를) $0$에 매핑하고$$ $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0}$ $및{\displaystyle \mathrm{}}$ 1$$ {\$displaystyle 1}$을(를$)$ 변경하지$$ 않고 다음과 같은 코딩(즉, 문자 대 문자)을 표시하며

${\displaystyle 011010001}$ ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle 011010001\cdots$ $\}.$

개념은 다음과 같이 확장되었다:^[9] 형태 $단어{\displaystyle }$ s ${\displaystyle s}$은(는) $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ - 특정 숫자 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$에 대한 대체적임.

${\displaystyle s=\pi(f^{\omega })(b)}$

여기서 형태론 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$→ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$$b${\textstyle $b}$에서 연장 가능한 B$^{*}\to$ $B^{*}}$은$($는) 다음과 같은 속성을 가지고 있다.

• $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$의 모든 문자는 $f{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\Omega }^{}(b}$ ) ${\displaystyle$ f$^{\omega }(b$ 및
• α>사상 f{\displaystyle f}의 매트릭스의 매트릭스 M(f))(m), y)x∈ B어차피 ∈{M(f)=(m_{x,y})_{x\in B,y\in A\displaystyle}}, m), y{\displaystyle m_{x, y}}그 편지의 수를){\disp 1{\displaystyle \alpha 1}은 지배적인 고유치, 즉.($f{\displaystyle (}$ ${\displaystyle y}$) ${\displaystyle f(y)}$단어의$$ $ystyle$ x$}.$

자연수의 S 집합은 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$ - 특성 $시퀀스{\displaystyle }$ s$${\$displaystyle s$}이$$(가) $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$} -대체인$$ 경우 인식$$ 가능하다.

마지막 정의: Perron 번호는 숫자 z > ${\displaystyle$z > 1 {\displaystyle z$>1}$이며, 따라서 모든 결합체는 { z ${\displaystyle$\{$z'\in \mathb {C}, z'\}$에 속한다이것들은 정확히 양의 정수의 원시 행렬의 지배적인 고유값이다.

그 후 다음과 같은 진술이 있다.^[9]

논리 접근법

논리 등가에서는 보다 일반적인 상황을 고려할 수 있다: $자연수{\displaystyle \mathbb{}}$ N ${\$ {$N}$ 또는$$ 인식 가능한 집합에 대한 자동 시퀀스가 $Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$$displaystyle \mathb {Z}$$$정수까지 $확장되었다.$S $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$및$$ 데카르트 제품 $R{\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\$^{$m$^[8]

$Z{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$ 확장$$}

기본 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ 정수는$$ 숫자 $0{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 0$의 표현에 앞서 $k{\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k-1}$에 이어$$ 숫자의 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle k}$ -complement를 사용하여 코드화한다.예를 들어, 베이스 ${\displaystyle 2}$에서 정수${\displaystyle }$- 6${\displaystyle }$=${\displaystyle }$- 8${\displaystyle }$+ 2 ${\displaystyle -6=-8+2$}은$($는) ${\displaystyle 1010}$ ${\displaystyle 1010$으)로 표시된다$$.2의 힘은 ${\displaystyle {010}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$로 기록되며$,$$$ 이들의 부호는 ${\displaystyle {110}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$${\displaystyle 11000}$ ${\displaystyle 11000}$은 $-{\displaystyle }$ ${\displaystyle 16}$+ ${\displaystyle 8}$=${\displaystyle }$- ${\displaystyle 8}$ ${\displaystyle -16+8$=-8}을 나타내기 때문에 $-8}).$

${\displaystyle {}^{}}$ ${\$까지 확장

$M{\displaystyle }$ ${\displaystyle N$$^{m}$의 부분 집합 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$은(는) 결과 알파벳을 통해 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 요소를 인식할 수 있는 $경우{\displaystyle }$ 기본$$ k ${\displaystyle k}$에서 인식된다$.$

예를 들어 베이스 2에는 $3{\displaystyle \mathrm{}}$= ${\displaystyle {11\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}}$$및$$ 9${\displaystyle }$= ${\displaystyle {1001\mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$ 벡터(${\displaystyle \begin{array}{}3\\ \mathrm{}\end{array}}$ 9${\displaystyle \begin{array}{}\end{array}}$) ${\begin}3\9\$end{$pmatrix}}}}}은($0011 ${\displaystyle \begin{array}{c}1001\end{array}}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle \begin{array}{}0\\ \mathrm{}\end{array}}$(${\displaystyle }$0${\displaystyle )(}$1 ${\displaystyle \begin{array}{c}0\mathrm{}\end{array})}$로 기록된다$$.${\displaystyle {\begin{pmatrix}0011\\1001\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$.

이 정리에 대한 우아한 증거는 1991년 Muchnik에 $의해{\displaystyle }$ m ${\displaystyle m}$에 유도로 주어졌다$.$^[11]

다른 확장은 실제 숫자와 실제 숫자의 벡터에 주어졌다.^[8]

교정쇄

새뮤얼 에일렌버그는 자신의 책에 증거 없이 정리를 발표했다.^[12] 그는 "증거는 정확하고, 길고, 단단하다.이 미세한 정리에 대한 보다 합리적인 증거를 찾는 것이 과제라고 말했다.조르주 헨젤은 쉽게 접근할 수 없는 회의 진행 과정에서 발표된 보다 간단한 증거를 제시했다.^[13]도미니크 페린의^[14] 증명과 알루슈와 살릿의 증명에는^[15] 이 책의 에라타 목록에 언급된 레마 중 하나에 같은 오류가 들어 있다.^[16]이 오류는 토미 케르키(Tomi Kérki)의 노트에서 밝혀졌고,^[17] 미셸 리고(Michel Ligo)와 로랑 왁스웨일러(Laurent Waxweiler)가 정정했다.^[18]그 증빙의 이 부분이 최근에 쓰여졌다.^[19]

2018년 1월, 티흐멘 J. P. 크렙스는 크론커 대신 디리클레트의 근사 기준에 근거한 원래의 정리의 단순화된 증거 아르시브에 대해 발표했다. 이 기사는 2021년에 등장했다.^[20]채용된 방법은 Mol, Rampersad, Salit, Sputulanti가 정제하여 사용하고 있다.^[21]

참고 및 참조

참고 문헌 목록

• Allouche, Jean-Paul; Shallit, Jeffrey (2003). Automatic Sequences: theory, applications, generalizations. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-82332-3.