섬유교체

대수적 위상에서, 진동 p:E→B가 주어진 경우, 섬유질의 변화는 B의 경로에 의해 유도된 섬유들 사이의 지도다.

피복은 진동이므로 시공은 피복공간의 피복설에서 이에 상응하는 사실을 일반화한다.

정의

β가 b, 예를 들어, b에서 시작하는 B의 $경로$라면, 우리는 호모토피 h${\displaystyle }$: ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle I}$→ ${\displaystyle I\stackrel{}{}}$→ ${\displaystyle \stackrel{}{\beta }}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle h:p^{-1(b)\time I\to I{\overset{\beta }에서$첫 번째 지도가 투영되는 곳에$$ 있다$.$Since p is a fibration, by the homotopy lifting property, h lifts to a homotopy ${\displaystyle g:p^{-1}(b)\times I\to E}$ with ${\displaystyle g_{0}:p^{-1}(b)\hookrightarrow E}$. We have:

${\displaystyle {}_{}{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$- ${\displaystyle 1{}^{}}$( b${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ (${\displaystyle {}^{}\beta }$( ${\displaystyle 1}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle g_{1}:p^{-1}(b)\to p^{-1}(\cula (1$ .

(불확실성이 있을 수 있으므로 $\beta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ g ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 잘 정의할 필요가$$ 없다.)

${\displaystyle \mathrm{PC}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle B}$) ${\displaystyle \operatorname {Pc}$ ($B)}$이(가) B의 경로 클래스 집합을 나타내도록 하십시오$$.우리는 그 건설이 지도를 결정한다고 주장한다.

${\displaystyle \tau }$: ${\displaystyle \mathrm{pc}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle B}$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \tau :\operatorname {Pc}(B)\to }$지도의$$ 호모토피 클래스 집합.

β, β'가 동일한 경로 등급에 있으므로 β에서 β'까지의 호모토피 h가 있다고 가정한다.내버려두다

${\$$I\time \{0,1\}\cup \{0\}\time I\subset$ I$^\{$$2}}.$

Drawing a picture, there is a homeomorphism ${\displaystyle I^{2}\to I^{2}}$ that restricts to a homeomorphism ${\displaystyle K\to I\times \{0\}}$. Let ${\displaystyle f:p^{-1}(b)\times K\to E}$ be such that ${\displaystyle f(x,s,0)=g(x$$,s$ $f{\displaystyle (x,}$ ${\displaystyle \mathrm{s},}$ 1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$( x${\displaystyle }$, ${\displaystyle s}$) ${\displaystyle f(x,s,1)=g'(x,$${\displaystyle s}$$)},$ $f$(x, ${\displaystyle 0,}$ t${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x,0,t)=x$

Then, by the homotopy lifting property, we can lift the homotopy ${\displaystyle p^{-1}(b)\times I^{2}\to I^{2}{\overset {h}{\to }}B}$ to w such that w restricts to ${\displaystyle f}$. In particular, we have ${\displaystyle g_{1}\sim g_{1}'}$, establishing the cl겨냥하다

map ( 1 )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \beta }$(${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle \gamma (1)=\beta (0)}$의 경우, 이 지도가 동형상이라는 것은 건설에서 분명히 알 수 있다$.$

${\displaystyle \tau([c_{b}])=\cdname {id},\,\tau([\cdot]\\cdot[\cdot]]=\tau([\tau ])\reason \tau([\bau ])}$

$여기$서 c ${\displaystyle b_{}}$ ${\$는 b의 상수 경로다$$.$\tau {\displaystyle }$( [${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle ]}$) ${\displaystyle \tau ([\beta ])}$이(가) 역성을 갖는$$ 것을 따른다.따라서 우리는 실제로 다음과 같이 말할 수 있다.

${\displaystyle \tau }$: ${\displaystyle \mathrm{pc}}$ ${\displaystyle }$( B${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle \tau :\operatorname {Pc}(B)\to }$호모피 동등성의 호모토피 클래스 집합$$.

또한 B의 각 B에 대해

${\displaystyle \tau }$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$(${\displaystyle B}$ ${\displaystyle ,}$ b${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ $\displaystyle \tau :\pi _{1}(B,$${\displaystyle b}$$)\to }$ $${[197] 호모토피 동등성 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$( b${\displaystyle }$)${\displaystyle }$→ ${\displaystyle {\mathrm{p}}^{}}$-${\displaystyle {}^{}1}$ (${\displaystyle }$) ${\displaysty f:p^{-1(b)\to p^{-1}($b)}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$$

즉 집단 동형상(우측면은 분명히 집단이다)이다.즉, b에서 B의 기본 집단은 b를 넘어 호모토피까지 섬유에 작용한다.이 사실은 구조집단의 부재에 대한 유용한 대체물이다.

결과

건설의 한 가지 결과는 다음과 같다.

• 경로 성분 위에 있는 p의 섬유는 서로 동등한 호모토피다.

참조

• 제임스 F.데이비스, 폴 커크, 대수학 위상 강의 노트
• 5월, J. 대수학적 위상에서의 간결한 과정