보정 기하학

Calibrated geometry

미분 기하학의 수학적 분야에서 교정된 다지관은 차동 p-형식 φ (약 0 p p n n에 대하여)이 장착된 치수 n의 리만 다지관(M,g)으로, 다음과 같은 의미를 갖는다.

  • φ 닫힘: dφ = 0, 여기서 d는 외부 파생 모델임
  • 임의의 x m M 및 TM의x 방향 p-차원 하위 공간 for에 대하여, = = 1 1의 λ volξ.여기서 vol은ξ g에 대한 ξ의 볼륨 형식이다.

Gx(φ) = { as을 위와 같이 설정 : volξ = vol }. (이론이 비전위적이 되려면 Gx(φ)가 비전위적이 되어야 한다.)G(φ)를 M의 x에 대한 Gx(φ)의 결합으로 한다.

교정의 이론은 R에 기인한다.하비와 B. 로슨과 다른 사람들.훨씬 앞서 (1966년) 에드먼드 보난은 G-매니폴드와2 스핀(7)매니폴드를 도입하여 모든 평행 형태를 구축하여 그 다지관이 리치 평탄하다는 것을 보여주었다.Quaternion-Kahler 다지관은 1967년에 Edmond Bonan과 Vivian Yoh Kraines에 의해 동시에 연구되었고 그들은 평행 4-폼을 만들었다.

보정 서브매니폴즈

M의 p-차원 서브매니폴드 σ은 TI가 G(φ)에 놓여 있다면 φ(또는 단순히 φ-calibrated)에 관해서 교정된 서브매니폴드라고 한다.

유명한 한 줄의 주장은 교정된 p-submanifolds가 그들의 호몰로지 클래스 내의 부피를 최소화한다는 것을 보여준다.실제로 σ이 교정되고 σ ′이 동일한 호몰로지 클래스에 p 하위 manifold라고 가정한다.그러면

σ이 교정되었기 때문에 첫 번째 평등이 열리는 곳에서는 두 번째 평등이 스톡스의 정리(φ가 닫히듯이)이고, φ이 교정이기 때문에 불평등이 유지된다.

예

참조

  • Bonan, Edmond (1965), "Structure presque quaternale sur une variété différentiable", C. R. Acad. Sci. Paris, 261: 5445–5448.
  • Bonan, Edmond (1966), "Sur les variétés riemanniennes à groupe d'holonomie G2 ou Spin(7)", C. R. Acad. Sci. Paris, 262: 127–129.
  • Berger, M. (1970), "Quelques problemes de geometrie Riemannienne ou Deux variations sur les espaces symetriques compacts de rang un", Enseignement Math., 16: 73–96.
  • Brakke, Kenneth A. (1991), "Minimal cones on hypercubes", J. Geom. Anal.: 329–338 (§6.5).
  • Brakke, Kenneth A. (1993), Polyhedral minimal cones in R4.
  • de Rham, Georges (1957–1958), On the Area of Complex Manifolds. Notes for the Seminar on Several Complex Variables, Institute for Advanced Study, Princeton, New Jersey.
  • Federer, Herbert (1965), "Some theorems on integral currents", Transactions of the American Mathematical Society, 117: 43–67, doi:10.2307/1994196, JSTOR 1994196.
  • Joyce, Dominic D. (2007), Riemannian Holonomy Groups and Calibrated Geometry, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921559-1.
  • Harvey, F. Reese (1990), Spinors and Calibrations, Academic Press, ISBN 978-0-12-329650-4.
  • Kraines, Vivian Yoh (1965), "Topology of quaternionic manifolds", Bull. Amer. Math. Soc., 71, 3, 1: 526–527, doi:10.1090/s0002-9904-1965-11316-7.
  • Lawlor, Gary (1998), "Proving area minimization by directed slicing", Indiana Univ. Math. J., 47 (4): 1547–1592, doi:10.1512/iumj.1998.47.1341.
  • Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1996), "Curvy slicing proves that triple junctions locally minimize area", J. Diff. Geom., 44: 514–528.
  • Morgan, Frank, Lawlor, Gary (1994), "Paired calibrations applied to soap films, immiscible fluids, and surfaces or networks minimizing other norms", Pac. J. Math., 166: 55–83.
  • McLean, R. C. (1998), "Deformations of calibrated submanifolds", Communications in Analysis and Geometry, 6: 705–747.
  • Morgan, Frank (1988), "Area-minimizing surfaces, faces of Grassmannians, and calibrations", Amer. Math. Monthly, 95 (9): 813–822, doi:10.2307/2322896, JSTOR 2322896.
  • Morgan, Frank (1990), "Calibrations and new singularities in area-minimizing surfaces: a survey In "Variational Methods" (Proc. Conf. Paris, June 1988), (H. Berestycki J.-M. Coron, and I. Ekeland, Eds.)", Prog. Nonlinear Diff. Eqns. Applns, 4: 329–342.
  • Morgan, Frank (2009), Geometric Measure Theory: a Beginner's Guide (4th ed.), London: Academic Press.
  • Thi, Dao Trong (1977), "Minimal real currents on compact Riemannian manifolds", Izv. Akad. Nauk. SSSR Ser. Mat, 41: 807–820.
  • Van, Le Hong (1990), "Relative calibrations and the problem of stability of minimal surfaces", Global analysis—studies and applications, IV, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1453, New York: Springer-Verlag, pp. 245–262.
  • Wirtinger, W. (1936), "Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde und Hermitesche Massbestimmung", Monatshefte für Mathematik und Physik, 44: 343–365 (§6.5), doi:10.1007/BF01699328.