CLs 방법(입자 물리학)

입자 물리학에서 CL은^[1] 모델 매개변수에 상한(배제^[2] 한계라고도 함)을 설정하는 통계적 방법을 나타냅니다. 모델 매개변수는 음이 아닌 값만 취할 수 있는 매개변수에 사용되는 특정 형태의 구간 추정입니다.CL은 신뢰수준을 가리킵니다만, "CLs 제외 영역이 신뢰구간이 ^[3]아니기 때문에 메서드의 이름은 ... 오해의 소지가 있습니다."이것은 CERN의 LEP 실험에서 일하는 물리학자들에 의해 처음 소개되었고 그 이후로 많은 고에너지 물리학 실험에서 사용되어 왔습니다.한계 특성이 오차 확률에 의해 정의된다는 점에서 자주 사용되는 방법이지만, 구간의 명시된 신뢰 수준이 적용 확률과 동일하지 않다는 점에서 표준 신뢰 구간과 다르다.이러한 편차가 발생하는 이유는 모수 값이 0일 때 가장 강력한 검정에 기초한 표준 상한은 반드시 일정한 확률로 빈 구간을 생성하며, 대부분의 물리학자 및 통계학자는 ^[4]이 속성을 바람직하지 않은 것으로 간주하기 때문이다.

CLs 메서드에서 도출된 상한에는 항상 파라미터의 0 값이 포함되어 있기 때문에 이 시점에서 커버리지 확률은 항상 100%입니다.CL의 정의는 통계적 추론의 어떤 정확한 이론적 프레임워크로부터도 따르지 않기 때문에 때때로 임시로 설명된다.그러나 그것은 통계학자 앨런 번바움이 제안한^[5] 통계 증거의 개념과 매우 유사하다.

정의.

X를 실제 음이 아닌 파라미터 $\theta \in [0,\infty )$ [ $\theta \in [0,\infty )$ , θ $]({displaystyle \theta \in [0$ , \ $infty$ 의 확률분포에서 랜덤샘플이라고 하자. 파라미터 θ의 CLs 상한은 $1-\alpha '$ 1 - $1-\alpha '$ e { $displaystyle 1-\alpha$ randomable p $\theta _{up}(X)$ )이다. $다음$ 속성을 가진 $heta$ _ ${$ up $}(X$ )}입니다 $\theta _{up}(X)$ .

{\displaystyle {\frac {mathbb {P}(\theta _{up}(X)}) {\theta \theta {P}(\theta _{up}(X)}}:\leq \alpha '{\text{ for all }}}.

(1)

부등식은 X의 분포가 이산적이고 정확하게 동등성을 달성할 수 없는 경우를 설명하기 위해 정의에서 사용된다.X의 분포가 연속형인 경우 등식으로 대체해야 합니다.이 정의는 커버리지 $\mathbb {P} (\theta _{up}(X)\geq \theta |\theta )$ P ( $\mathbb {P} (\theta _{up}(X)\geq \theta |\theta )$ u $\mathbb {P} (\theta _{up}(X)\geq \theta |\theta )$ ( X $\mathbb {P} (\theta _{up}(X)\geq \theta |\theta )$ {\ $\mathbb {P} (\theta _{up}(X)\geq \theta |\theta )$ {\ $\mathbb {P} (\theta _{up}(X)\geq \theta |\theta )$ （ \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { $P }$ （ \ $theta$ _ { $up }$ \ $geq \theta$ \ $theta$ } ）가 $\mathbb {P} (\theta _{up}(X)\geq \theta |\theta )$ 항상 $1-\alpha '$ - α ${\$ { $displaystyle 1-\alpha$ \theta $1-\alpha '$ 보다 크다는 점에 주의해 주십시오.

귀무 $H_{0}:\theta =\theta _{0}$ $H_{0}:\theta =\theta _{0}$ 0 $H_{0}:\theta =\theta _{0}$ : $H_{1}:\theta =0$ $H_{0}:\theta =\theta _{0}$ $0$ 0 ( \ $displaystyle$ $H$ $H_{0}:\theta =\theta _{0}$ _ { $0$ : \ $theta =$ \ $theta$ _ { $H_{0}:\theta =\theta _{0}$ $0$ } $H_{1}:\theta =0$ )의 가설 테스트를 $H_{1}:\theta =0$ 해 동일한 정의를 내릴 수 있다 $H_{1}:\theta =0$ (1)그럼는 분자로,θ 0{\displaystyle \theta_{0}에서}평가할 경우 시험(때θ 너 p(X즉, θ 0{\displaystyle \theta_{0}}거절되다)의 유형 II오류 확률(α{\displaystyle \alpha})에 해당한다;θ 0{\displaystyle \theta_{을}(X)<, \theta _{0}})과 denomina.tor지o 전원 ( $1-\beta$ - $1-\beta$ \ $displaystyle 1-$ \ $displaystyle$ ) $H_{0}$ H 0 $({$ 의 $H_{0}$ 불합격 기준은 $\alpha /(1-\beta )$ α / $\alpha /(1-\beta )$ ( $\alpha /(1-\beta )$ $\alpha /(1-\beta )$ β $)$ {{ $displaystyle$ $\alpha$ $/$ ( $1$ - \ $beta$ )}의 $\alpha /(1-\beta )$ $\alpha /(1-\beta )$ 이 α ${\$ 보다 작아야 합니다. 이는 $\theta _{0}$ $\alpha '$ 0 $({$ 이므로 $\theta _{0}$ 직감적으로 제외된 것으로 해석할 수 있습니다.\ $displaystyle$ $\theta _{0}$ \ $alpha$ '는 $\alpha '$ 대안 $=$ $\theta =0$ (\ $displaystyle$ \ $theta$ $= 0)$ 이 $\theta =0$ 참일 때보다 $\theta =0$ 0(\ $displaystyle$ \ $theta$ _ ${0$ })이 참일 때 X와 같은 극단적인 결과를 관찰할 가능성이 낮다 $.$

상한의 계산은 통상 테스트 $q_{\theta }(X)$ ( $q_{\theta }(X)$ $){displaystyle q_{\$ $theta$ }( $X)}$ 을 $q_{\theta }(X)$ $\theta$ (를) 작성하고 $,$ 그 $\theta$ 을 구함으로써 이루어집니다.

{\displaystyle {{\theta }(X)\geq q_{\theta }^{*} \theta} {{\theta }(X)\geq q_{\theta }^{*} 0}}} = 알파 '''''''''을 클릭합니다.

$q_{\theta }^{*}$ 서 q $q_{\theta }^{*}$ display $q_{\theta }^{*}$ （ \ $displaystyle$ q _ { \ $theta }^{$ * } ）는 $q_{\theta }^{*}$ 실험의 관측 결과입니다.

고에너지 물리학에서의 사용

CLs 방법에 기초한 상한은 LEP, 테바트론 및 LHC와 같은 입자 가속기 실험에서 얻은 수많은 실험 결과 발표에서 사용되었으며, 새로운 입자 탐색에서 가장 주목할 만합니다.

기원.

CLs의 원래 동기는 사건 계수 실험을 위해 물리학자^[6] G. Zech가 제안한 조건부 확률 계산에 기초했다.실험이 신호 및 백그라운드 프로세스에서 발생하는n개의 \ $style$ n개의 이벤트를 $n$ $n$ 하는 것으로 구성되어 있다고 가정합니다. $둘$ 다 $n\sim {\text{Poiss}}(s+b)$ poisson 분포 $b$ ~ $n\sim {\text{Poiss}}(s+b)$ ( $n\sim {\text{Poiss}}(s+b)$ + $n\sim {\text{Poiss}}(s+b)$ $)\display style$ n $\sim { Poiss}(s$ . b $\displaystyle$ . $b}$ 는 $b$ 알려진 것으로 $s$ 하고 s $\style$ s는 $s$ 실험에 의해 추정되는 파라미터이다.실험 $n^{*}$ n ${\$ {\ $displaystyle$ n $^{*}$ 에 $n^{*}$ $s$ 상한을 설정하는 표준 절차는 P $\mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)\leq \alpha$ ( $\mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)\leq \alpha$ n $\mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)\leq \alpha$ s + $\mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)\leq \alpha$ ) $\mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)\leq \alpha$ α ( \ $displaystyle$ \ $mathbb { P }$ ( n \ $leq$ n ^ { * } $s$ $+$ $b$ ) \ $leq$ \ alpha의 $\mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)\leq \alpha$ 값을 $s$ $제외$ 하는 $\mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)\leq \alpha$ 으로 구성됩니다. $1-\alpha$ $1-\alpha$ α(\ $displaystyle 1-\alpha)$ 커버리지 $1-\alpha$ .예를 들어 b $b=3$ $b=3$ \ $displaystyle$ b $n^{*}=0$ $3$ \ displaystyle b = $n^{*}=0$ \ $displaystyle$ n^{*}= $0}$ 개의 $n^{*}=0$ 이벤트가 관찰되고 s $s+b\geq 3$ + $s+b\geq 3$ 3 \ $displaystyle$ s $+b\geq$ 3이 $s+b\geq 3$ 95% 신뢰 수준에서 제외되는 $s+b\geq 3$ 를 생각해 보자.그러나 이는 s $s\geq 0$ { $style$ s $\geq$ 0 $},$ 즉 s { $style$ s $s$ 의 $s\geq 0$ 가능한 모든 값이 $s\geq 0$ 을 의미한다. 이러한 결과는 기본적으로 s{ $displaystyle$ s $}$ 의 $s$ 매우 작은 값을 배경만의 가설과 구별할 수 없기 때문에 해석하기 어렵다.lues 제외(배경만의 가설에 찬성)는 부적절하다고 생각됩니다.이 어려움을 극복하기 위해 Zech는 $n_{b}\leq n^{*}$ $n\leq n^{*}$ $n_{b}\leq n^{*}$ n ${\$ n {\ n ${\$ n \ $displaystyle$ n $n_{b}\leq n^{*}$ $_$ { $b$ } \ $leq$ n $n_{b}\leq n^{*}$ { * } （ n b \ $n_{b}$ n _ { $b$ } \ $leq$ $n_{b}$ n ^ { * } ） $n_{b}\leq n^{*}$ n n $n\leq n^{*}$ $n\leq n^{*}$ to n n n n n n n n n ninginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginginging 。여기서 n 。 $n_{b}$ b \ display그 배경에는 $(\$ 가 $n_{b}$ 작을 $n_{b}$ $(\$ 가 $n_{b}$ 크고 $(\$ style $n_{b})$ 의 $n_{b}$ $n_{b}$ 자체가 s $(\disp$ })와 $s$ 일 때보다 $n_{b}$ 에서 오류가 발생할 가능성이 높기 때문입니다. $laystyle$ s $s$ 입니다.즉, 전체 오류 확률이 아니라 표본의 배경 사건 수에 대한 지식을 바탕으로 조건부 확률을 보고해야 한다.이 조건부 확률은

\mathbb {P} (n\leq n^{*} n_{b}\leq n^{*},s+b)=sq frac {p} (n\leq n^{*},n_{b} s+b}{\mathbbb} s^{b} n^{\le} n}}}=paramfrac {\mathbb {P}(n\leq n^{*} s+b)}{\mathbb {P}(n\leq n^{*} b)}}.

상기의 CL 의 정의에 대응합니다.첫 번째 등식은 조건부 확률의 정의만을 사용합니다.두 번째 등식은 n $n\leq n^{*}\Rightarrow n_{b}\leq n^{*}$ n $n\leq n^{*}\Rightarrow n_{b}\leq n^{*}$ $n\leq n^{*}\Rightarrow n_{b}\leq n^{*}$ b $n\leq n^{*}\Rightarrow n_{b}\leq n^{*}$ n n n ${\$ n {\ n {\ { * } \ $rightarrow n$ _ { $b$ } \ $leq n^$ { *}인 $n\leq n^{*}\Rightarrow n_{b}\leq n^{*}$ $n\leq n^{*}\Rightarrow n_{b}\leq n^{*}$ 백그라운드이벤트 수가 신호 강도와는 무관합니다.

조건부 인수의 일반화

제크의 조건부 주장은 공식적으로 일반적인 사례로 확장될 수 있다.q $)$ { $displaystyle$ q( $X)}$ 가 $q(X)$ 신뢰구간이 도출된 테스트 통계량이라고 가정하고,

p_{\theta}=\mathbb {P}(q(X)>q^{*} \theta)

$q*$ 서 q $(\displaystyle$ q $*)$ 는 $q*$ 실험에서 관찰된 결과입니다. $p_{\theta }$ $p_{\theta }$ ${\$ { \ $displaystyle$ $p$ _ { \ $theta$ } $}$ $\theta$ ${\$ {\ 0 ~1 사이의 분포가 균일하기 때문에 측정할 수 없는 랜덤 변수로 간주할 수 있습니다. $검정$ 이 편향되지 않은 경우 $q*$ q $q*$ { \ $displaystyle$ q* } implies $q*$ 。

p_{\theta}\leq \mathbb {P}(q(X)>q^{*} 0)\equiv p_{0}^{*}

앞의 경우 $(\$ 에 $n_{b}$ $n_{b}$ 조건화와 마찬가지로 이 명령어를 통해 얻을 수 있습니다.

\displaystyle \mathbb {P}(q(X)\geq q^{*} p_{\theta},\leq p_{0}^{*},\theta)=sqfrac(q(X)\geq q^{*} \theta) {\mathbbbb {P} (p_ta} {p} {p})}

기본원칙과의 관계

위에 제시된 주장은 보조 통계의 존재를 요구하지 않는 보다 일반적인 조건성의 개념을 표현하지만 통계 추론의 조건성 원칙의 정신을 따르는 것으로 볼 수 있다.그러나 조건성 원칙은 이미 더 제한적인 원리에서 공식적으로 가능성 원칙을 내포하고 있으며, Birnbaum에 ^[7]의해 잘 알려진 결과이다.CL은 우도 원칙을 따르지 않기 때문에 그러한 고려사항은 타당성을 제시하는 데만 사용될 수 있으며, 기본적인 관점에서 이론적 완전성은 사용할 수 없다.(단, 조건성 원칙이 필요하다고 간주되면 어떤 빈도론적인 방법에서도 같은 말을 할 수 있다.)

Bornbaum 본인은 1962년 논문에서 CLs $\alpha /(1-\beta )$ / $\alpha /(1-\beta )$ - $)({$ $displaystyle$ \alpha $\alpha$ $\alpha /(1-\beta )$ $/$ ( $1-\beta)}$ 를 $\alpha /(1-\beta )$ 유의성 테스트에 의해 제공된 통계 증거의 강도의 척도로 $\alpha$ 해야 한다고 제안했다 $.$ 이는 우도 원칙의 단순한 적용에 따른 것이다. 실험 결과가 "승인"/"거부" 결정의 형태로만 보고되는 경우, 전체 절차는 확률 $\alpha$ ${\displaystyle$ \alpha $(1-\beta )$ ( $(1-\beta )$ - $(1-\beta )$ β $)$ {\displaystyle (1 - β) {-style (1 - } {- $displaystyle$ ( $1$ - }) {-displaystyle (1 - $}$ \alphaffictifference (1 - })의 두 가지 가능한 두 가지 결과만 있는 실험과 같다. $\beta$ ) 및 $(1-\beta )$ $H_{1},(H_{2})$ $1-\alpha$ - $1-\alpha$ ( $(\beta )$ ) ( \ $H_{1},(H_{2})$ $display$ $style$ $1-$ \ $alpha$ $1-\alpha$ ), ( $(\beta )$ $β$ ) ( \ displaystyle $(\beta )$ ( \ $beta$ ) $H_{1},(H_{2})$ ( $H_{1},(H_{2})$ ) $H_{1},(H_{2})$ 、 ( H _ ${ 1$ , ( $H_{1},(H_{2})$ _ { 2 ) $H_{1},(H_{2})$ ）。 $\alpha /(1-\beta )$ 결과 " $H_{1}$ H1(\ $displaystyle H_{$ 1 $H_{1}$ 과 관련된 우도비는 $\alpha /(1-\beta )$ α $\alpha /(1-\beta )$ / $\alpha /(1-\beta )$ - $)(\displaystyle$ \alpha / ( $1$ - \ $beta$ ))이므로 $\alpha /(1-\beta )$ 이 결과의 증거 해석을 결정해야 한다. (두 가지 단순한 가설의 테스트에서는 우도비는 lih의 콤팩트한 표현이기 때문이다.우드 기능).한편, 우도 원칙을 일관되게 따르려면 α $\alpha /(1-\beta )$ / $\alpha /(1-\beta )$ ( $\alpha /(1-\beta )$ - $\alpha /(1-\beta )$ β ) $\alpha /(1-\beta )$ \ $displaystyle \alpha$ / ( $1$ - \ $beta$ $\alpha /(1-\beta )$ 가 $\alpha /(1-\beta )$ 원래 결과의 우도비를 사용해야 하므로 이러한 해석의 근거가 의심스럽다.Bornbaum은 나중에 이것을 "증거적 해석의 가치가 많아야 하지만, 실질적이지는 않다"고 설명했다.

유사한 결론에 이르는 보다 직접적인 접근은 Birnbaum의 신뢰 원칙 공식에서 찾을 수 있습니다. Birnbaum은 더 일반적인 버전과 달리 두 가지 유형의 오류 확률을 참조합니다.이것은 다음과 ^[8]같이 기술되어 있습니다.

"통계적 증거의 개념은 $($ 1 $H_{1}$ })이 $H_{1}$ 일 때 $H_{1}$ ( $표시 스타일$ H_ ${$ 1})에 $H_{2}$ H2 $(표시$ 스타일 $H_{$ 2 $H_{2}$ })에 대한 강력한 증거 $($ ({ $표시$ $\alpha$ 스타일 $H_$ $\alpha$ $\beta$ })가 발견되지 않는 한 타당하지 않다." $eta$ )를 $H_{2}$ $선택$ 합니다 $.$ "

이러한 신뢰의 정의는 CL의 정의에 의해 자연스럽게 충족되는 것으로 보입니다.신뢰 원리의 이것과 더 일반적인 (나이만-피어슨 이론과 관련된) 버전 모두 가능성 원리와 양립할 수 없다는 것은 사실이며, 따라서 어떤 빈도론적인 방법도 신뢰 구간의 조건부 속성을 고려함으로써 제기된 문제에 대한 진정한 완전한 해결책으로 간주될 수 없다.

큰 표본 한계에서의 계산

특정 규칙성 조건이 충족되면 일반 우도 함수는 큰 샘플 한계에서 가우스 함수가 됩니다.이 경우 $1-\alpha '$ 1 - $1-\alpha '$ ${\$ \ $displaystyle 1-\alpha '$ $1-\alpha '$ (균등하게 가장 강력한 테스트에서 도출된) CLs 상한은 다음과 같이 주어진다^[9].

(\displaystyle \theta _{up}=\hat\theta }+\hi ^{-1}(1-\alpha '\phi(\hat {\theta }}/\hat )),})

여기서 $\Phi$ \ $Phi)$ 는 $\Phi$ ${\hat {\theta }}$ 표준 정규 누적분포 ${\hat {\theta }}$ $(\$ $displaystyle$ \ $theta$ $})$ 의 $\theta$ $\theta$ 도 추정치 $,$ $δ(\displaystyle$ \sigma $)$ 는 피셔 정보의 역수로부터 추정할 수 있습니다.trix 또는 "Asimov"^[9] 데이터 세트를 사용합니다. $\theta$ 결과는 $"\displaystyle \theta"$ 이전 $\theta$ 균일한 값을 사용하는 경우 베이지안 신뢰 간격과 동일합니다.

레퍼런스

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추가 정보

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Fraser, D. A. S.; Reid N.; Wong, A. C. M. (2004). "Inference for bounded parameters". Phys. Rev. D. 69 (3): 033002. arXiv:physics/0303111. doi:10.1103/PhysRevD.69.033002. S2CID 18947032.
Robert D. Cousins (2011). "Negatively Biased Relevant Subsets Induced by the Most-Powerful One-Sided Upper Confidence Limits for a Bounded Physical Parameter". arXiv:1109.2023 [physics.data-an].

외부 링크

통계적 방법의 Particle Data Group(PDG) 리뷰

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[2] 미하일 로모노소프 탄생 100주년 기념 입자 물리학, 13페이지, 구글 북스

[cern-3] Amnon Harel. "Statistical methods in CMS searches" (PDF). indico.cern.ch. Retrieved 2015-04-10.

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[asimov-9] G. Cowan; K. Cranmer; E. Gross; O. Vitells (2011). "Asymptotic formulae for likelihood-based tests of new physics". Eur. Phys. J. C. 71 (2): 1554. arXiv:1007.1727. Bibcode:2011EPJC...71.1554C. doi:10.1140/epjc/s10052-011-1554-0.

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