버메스터 이론
Burmester's theory버메스터 이론은 연결의 합성을 위한 기하학적 기법으로 구성되어 있다.[1]루드비히 버메스터(1840~1927)에 의해 19세기 후반에 도입되었다.그의 접근법은 플로팅 링크에 대한 발명가의 원하는 움직임에서 직접 연결의 기하학적 제약조건을 계산하는 것이었다.이러한 관점에서 볼 때 4봉 연결은 두 개의 원 위에 눕도록 제약된 두 개의 점을 가진 부동 연결이다.
버메스터는 플로팅 링크의 위치 집합으로 시작했는데, 플로팅 링크는 설계할 장치에서 이 플로팅 링크의 제한된 이동에 대한 스냅샷으로 간주된다.이제 연결을 위한 크랭크 설계는 이동 유동 링크에서 각 지정된 위치에서 볼 때 원 위에 있는 궤적을 갖는 지점을 발견하게 된다.크랭크의 치수는 선회점이라 불리는 부동 링크의 점으로부터 그것이 이동하는 원의 중심까지의 거리, 즉 중심점이라 불린다.[2]이러한 방식으로 설계된 두 개의 크랭크는 원하는 4-bar 연결을 형성한다.
이러한 4-bar 연결의 수학적 합성과 결과 방정식에 대한 해법은 버메스터 이론으로 알려져 있다.[3][4][5]그 접근방식은 구면 메커니즘과 공간 메커니즘의 합성에 일반화되었다.[6]
유한위치합성
기하학적 제형식
버메스터 이론은 동그라미 점이라고 불리는 원 위에 궤적이 있는 움직이는 신체에서 점을 찾는다.설계자는 제한된 수의 작업 위치로 원하는 움직임에 근사치를 하며, 버메스터는 최대 5개의 작업 위치에 대해 원형 포인트가 존재한다는 것을 보여주었다.이러한 선회점을 찾으려면 알려지지 않은 5개의 2차 방정식을 풀어야 하는데, 이 방정식은 그가 기술 기하학에서 기법을 사용하여 풀었다.버메스터의 그래픽 구조는 오늘날까지 기계 이론 교과서에 여전히 등장한다.
두 가지 위치:예를 들어, 그림과 같이 연결기 링크의 두 위치에 의해 정의된 작업을 고려하십시오.신체에서 두 점 A와 B를 선택하여 두 위치가11 세그먼트 AB와 AB를22 정의하도록 한다.A가 세그먼트 AA의12 수직 이등분선에 있는 중심을 가진 원형점임을 쉽게 알 수 있다.마찬가지로, B는12 BB의 수직 이등분선에 어떤 점이라도 있는 중심을 가진 원형점이다.4-bar 연결은 고정 피벗으로 2개의 수직 이등분선의 어떤 지점에서, 이동 피벗으로 A와 B를 구성할 수 있다.포인트 P는 AB에서11 AB로22 순수한 회전 이동이 가능한 힌지여서 분명히 특별하다.상대 변위극 또는 즉석 회전 중심이라고도 한다.
세 가지 포지션:설계자가 세 개의 작업 위치를 지정하면 이동체 내의 지점 A와 B는 각각 고유한 중심점을 가진 지점을 돌고 있다.A의 중심점은 세 위치에서1 A2, A, A를3 통과하는 원의 중심점이다.마찬가지로 B의 중심점은 B1, B, B를23 통과하는 원의 중심이다.따라서 세 개의 작업 위치에 대해 이동 피벗으로 선택한 지점 A와 B의 모든 쌍에 대해 4 막대 연결이 확보된다.
네 가지 위치: 합성 문제에 대한 그래픽 해법은 네 가지 작업 위치의 경우에 더 흥미로워지는데, 신체의 모든 지점이 순환점인 것은 아니기 때문이다.4개의 작업 위치에서 6개의 상대적 변위 극이 생성되며, 버메스터는 4개를 선택하여 반대쪽 극의 4각형을 형성했으며, 이는 그가 선회점 곡선(크리스펑크트커브)을 그래픽으로 생성하기 위해 사용했다.버메스터는 또 동그라미 포인트 곡선이 움직이는 몸체에서 원형 큐빅 곡선임을 보여주었다.
5개 포지션:다섯 개의 작업 위치에 도달하기 위해 버메스터는 다섯 개의 작업 위치 중 네 개의 작업 위치 중 한 세트에 대해 반대 극 4개의 작업 위치 중 한 세트에 대해 반대 극 4개의 작업 위치에 의해 생성된 원형 지점 곡선과 교차한다.다섯 가지 포즈는 상대 변위 극 10개를 의미하며, 이는 서로 다른 네 개의 반대 극 4개 변위 극이 각각 고유한 선회점 곡선을 가지고 있음을 나타낸다.버메스터는 이러한 곡선이 버메스터 점이라고 불리는 4개의 점으로 교차할 것이며, 각각의 점은 중앙점을 중심으로 원을 그리며 5개의 점을 추적할 것이다.두 개의 선회 지점이 4bar 연결을 정의하기 때문에, 이들 4개 지점은 5개의 지정된 작업 위치를 통해 연결기 링크를 안내하는 최대 6개의 4bar 링크를 산출할 수 있다.
대수식
4봉 연결의 합성에 대한 버메스터의 접근법은 좌표 변환 [Ti] = [Aii, d], i = 1, ..., 5를 도입하여 수학적으로 공식화할 수 있는데, 여기서 [A]는 2×2 회전 행렬이고 d는 설계자가 지정한 이동 프레임 M의 작업 위치를 정의하는 2×1 변환 벡터다.[6]
합성 절차의 목적은 이동 프레임 M에 부착된 이동 피벗의 좌표 w = (wx, wy)와 고정된 피벗 G = (u, v)의 좌표를 계산하는 것이며, 고정된 프레임 F의 좌표는 G에 대한 반경 R의 원을 따라 이동하는 특성을 갖는다.w의 궤적은 다음과 같이 다섯 가지 작업 위치에 의해 정의된다.
따라서, 좌표 w와 G는 5개의 방정식을 만족시켜야 한다.
나머지 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼서 알 수 없는 반경 R을 제거하여 네 개의 알 수 없는 4개의 2차 방정식을 구한다.
이러한 합성 방정식은 4bar 연결의 일부로 사용할 수 있는 크랭크의 고정 및 이동 피벗을 위치시키는 좌표 w = (wx, wy) 및 G = (u, v)를 얻기 위해 숫자로 풀 수 있다.버메스터는 이들 크랭크 중 최대 4개가 있으며, 이 크랭크는 5개의 지정된 작업 위치를 통해 커플러를 안내하는 최대 6개의 4바 링크를 산출하도록 결합될 수 있음을 증명했다.
합성 방정식이 형태로 조작될 수 있다는 것을 알아채는 것이 유용하다.
즉, 고정된 피벗 G가 4개i 세그먼트 W1 - W, i = 2, ..., 5의 각 수직 이등분선에 놓여 있는 조건의 대수적 등가물이다.
입출력합성
4바 연결의 보다 일반적인 응용 프로그램 중 하나는 두 개의 레버를 연결하는 막대로 나타나기 때문에 첫 번째 레버의 회전은 두 번째 레버의 회전을 구동한다.레버는 접지 프레임에 힌지로 연결되어 입력 및 출력 크랭크라고 하며, 연결 로드는 커플러 링크라고 한다.입력 크랭크에서 5개의 지정된 각도가 출력 크랭크에서 5개의 지정된 각도로 나타나도록 4-bar 연결 설계에 대한 버메스터의 접근방식을 사용하여 커플러를 찾을 수 있다.
θi, i = 1, ..., 5를 입력 크랭크의 각도 위치로 하고, ψi, i = 1, ..., 5를 출력 크랭크의 해당 각도로 한다.편의를 위해 고정 프레임 O = (0, 0)의 원점에 입력 크랭크의 고정 피벗을 위치시키고 출력 크랭크의 고정 피벗을 설계자가 선택한 C = (cx, cy)에 위치하도록 한다.이 합성 문제에서 알 수 없는 것은 입력 크랭크에 대한 연결기 부착의 좌표 g = (gx, g)와y 출력 크랭크에 부착된 연결기의 좌표 w = (wx, wy)이며, 각각의 기준 프레임에서 측정된다.
w와 g의 좌표를 알 수 없지만 고정된 프레임의 궤적은 다음과 같다.
여기서 [A(•)]는 주어진 각도에 의한 회전을 나타낸다.
w와 g의 좌표는 5개의 제약조건 방정식을 만족시켜야 한다.
나머지 방정식에서 첫 번째 방정식을 빼서 알 수 없는 연결자 길이 R을 제거하여 네 개의 알 수 없는 4개의 2차 방정식을 구한다.
이러한 합성 방정식은 4-bar 연결의 연결기를 위치시키는 좌표 w = (wx, wy)와 g = (gx, gy)를 얻기 위해 숫자로 풀 수 있다.
4-bar 링크의 입력-출력 합성의 이 공식은 유한 위치 합성의 반전이며, 여기서 입력 크랭크에 상대적인 출력 크랭크 이동은 설계자가 지정한다.이러한 관점에서 접지 링크 OC는 입력 크랭크에 상대적인 출력 크랭크 이동의 지정된 유한 위치를 만족하는 크랭크이며, 버메스터의 결과는 그 존재가 적어도 하나의 연결기 링크의 존재를 보증한다는 것을 보여준다.게다가, 버메스터의 결과는 원하는 입출력 관계를 제공하는 이러한 연결기 링크가 3개 정도 있을 수 있다는 것을 보여준다.[6]
참조
- ^ 하텐베르크, R. S., J. 데나빗.링크의 키네마틱 합성.뉴욕: McGraw-Hill, 1964. KMODDL을 통해 온라인.
- ^ 버메스터, L. 르르부흐 데르 키네마틱라이프치히:베를라그 폰 아서 펠릭스, 1886년
- ^ Suh, C. H, 그리고 Radcliffe, C. W. 운동학 및 메커니즘 설계.뉴욕: 존 와일리 앤 선즈, 1978년
- ^ Sandor, G. N. 및 Erdman, A. G. 고급 메커니즘 설계: 분석 및 종합.제2권 엔글우드 절벽, NJ: 프렌티스 홀, 1984.
- ^ 사냥, K. H. 키네마틱 기계 기하학1979년 옥스퍼드 공학 과학 시리즈
- ^ a b c J. M. McCarthy와 G. S. S. S. Linkages의 기하학적 디자인. 제2판, Springer, 2010.
추가 읽기
- Ian R. Portuid(2001) 기하학적 차별화, § 3.5 버메스터 포인트, 58페이지 캠브리지 대학교 출판부 ISBN0-521-00264-8.
- 체카렐리와 T.Koetsier, Burmest 및 Allievi : ASME 2006, 19세기 말 기계 설계 이론과 그 적용