볼츠만-마타노 분석

볼츠만-마타노 방법은 Fick의 확산 법칙에서 비롯되는 부분 미분 방정식을 보다 쉽게 풀 수 있는 일반 미분 방정식으로 변환하는 데 사용되며, 이후 농도의 함수로서 확산 계수를 계산하는 데 적용할 수 있다.

루드비히 볼츠만은 그것을 보통의 미분 방정식으로 전환시키기 위해 픽의 제2법칙에 힘썼고, 마타노 추지로가 확산 부부를 대상으로 실험을 실시하여 금속 합금에 집중하는 함수로서 확산 계수를 계산하였다.^[1]구체적으로, 마타노는 B-원자 결정 격자로의 A 원자의 확산 속도가 이미 B 격자 안에 있는 A 원자의 양의 함수라는 것을 증명했다.

고전적인 볼츠만-마타노 방법의 중요성은 집중 거리 데이터에서 차이점을 추출하는 능력에 있다.이러한 방법들은 역법으로도 알려져 있으며, 현대적인 계산 기법의 도움으로 신뢰성이 높고 편리하며 정확하다는 것이 입증되었다.

볼츠만의 변신

볼츠만의 변신은 픽의 제2법칙을 쉽게 풀 수 있는 보통의 미분 방정식으로 바꾸어 놓는다.일반적으로 농도 c의 함수인 확산 계수 D를 가정하면 Fick의 두 번째 법칙은

${\displaystyle {\frac {\partial c}{\partial t}={\partial x}}}\underbrace {\partial c}{\partial c}{\partial x}\right}}} _{\text{flux},},},}$

여기서 t는 시간이고 x는 거리다.

볼츠만의 변신은 t와 x의 조합으로 정의되는 변수 ξ을 도입하는 데 있다.

${\displaystyle \xi ={\frac {x}{2{\sqrt{t}}}.}$

ξ의 부분파생상품은 다음과 같다.

${\displaystyle {\frac {\fract \xi}}=-{\frac {x}{4t^{3/2}}=-{\frac {\xi }},}$

${\displaystyle {\frac{\fract \\xi}{\frac x}={\frac {1}{2{\sqrt{t}}}}}.}$

ξ을 Fick의 법칙에 도입하기 위해, 우리는 terms의 관점에서 부분파생상품을 다음과 같은 체인 규칙을 사용하여 표현한다.

${\displaystyle {\frac {\fract c}{\reason t}={\frac {\reason c}{\fract \c}}}{\fract t}=-{\fract {}{2t}{\fract c}{\fract \xi },}},}}}}}},}}}}}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\fract c}{\preason c}={\frac {\preason c}{\fract \c}}}{\frac {1}{{\sqrt}}{\frac {\preason c}}}}}.}$

이러한 표현을 Fick의 법칙에 삽입하면 다음과 같은 수정된 형식이 생성된다.

${\displaystyle -{\frac {\xi }{2t}{\frac {\partial c}{\partial c}{{2}{\sqrt{t}}}{\partial x}}{\partial x(c)}{\frac {partial c}{\partial \xi}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}$

오른쪽의 시간 변수는 변수 x만 고려하므로 부분 파생 모델 외부에서 어떻게 취할 수 있는지 주목하십시오.

이제 위에서 chainξ/∂x를 얻기 위해 사용한 것과 동일한 체인 규칙을 다시 사용함으로써 x에 대한 마지막 참조를 제거할 수 있다.

${\displaystyle -{\frac {\xi }{2t}{\frac {\partial c}{\partial \c}{\partial \frac {1}{4t}{\partial \xi }{\partial \partial c}{\frac {\partial \}{partial \c}}}}}}}}}}right}.}$

ξ의 정의에서 적절한 선택 때문에 시간 변수 t도 이제 제거할 수 있으며, ξ은 이제 일반적인 미분 방정식이 되어버린 방정식의 유일한 변수로 남게 된다.

${\displaystyle -2\xi {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} \xi }{\frac {d}{\mathrm {d}{\mathrm {d}{\frac {d}{\mathrmatrm {d}}{\xi}}}}\rimathrmathrmathrmaxi \rigright}.}$

이 형식은 수적으로 해결하기가 상당히 쉬우며, 다른 변수의 값을 찾기 위해서는 t 또는 x의 역분류를 ξ의 정의에 의해서만 수행하면 된다.

포물선법

앞의 방정식을 관찰하면 사례 dc/d³ = 0에 대해 사소한 해법이 발견되는데, 즉 ξ보다 농도가 일정할 때 입니다.이는 농도전선이 시간의 ${\displaystyle 제곱근\sqrt{}}$(${\displaystyle }$ advancement t $displaystyle x\propto {\sqrt{t}})$에 비례하거나,$$ 농도전선이 거리의 제곱에 비례하여 일정한 위치에 도달하는데 필요한 시간(${\displaystyle }$t ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2 ${\$)에 비례하는 비율로 해석할 수 있다.$isplaystyle t\propto x^{2}}:$ );$$ 네모난 용어는 포물선 법칙이라는 이름을 준다.^[2]

마타노의 방법

마타노 취이지로는 볼츠만의 변형을 적용하여 금속 합금 내 농도의 함수로서 확산 계수를 계산하는 방법을 얻었다.다른 농도의 합금 두 개를 접촉시켜 주어진 시간 t(일반적으로 몇 시간) 동안 주어진 온도에서 분쇄한다. 그 다음 샘플은 주변 온도로 냉각되고, 농도 프로파일은 사실상 "동결"된다.그런 다음 x 좌표의 함수로서 시간 t에서의 농도 프로파일 c를 추출할 수 있다.

마타노의 표기법에서는 c_L > c라는_R 암묵적인 가정과 함께 두 농도를 c와_L c_R(대부분의 도표와 같이 왼쪽과 오른쪽의 L과 R)로 표시한다. 그러나 c가_R 더 큰 경우에는 공식이 가지고 있는 것처럼 엄격하게 필요하지 않다.초기 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle c=c_{L}\qquad \forall x<0}$

${\displaystyle c=c_{R}\qquad \forall x>0}$

또한 양쪽의 합금은 무한대로 뻗어나가는 것으로 가정되는데, 이는 실제로 실험의 전체 지속시간 동안 과도현상에 영향을 받지 않을 만큼 충분히 크다는 것을 의미한다.

위의 볼츠만의 공식에서 D를 추출하기 위해, 우리는 ==+∞에서 ξ=c를_R 항상 사용하는 일반 ξ으로^* 통합한다. dξ를 즉시 단순화할 수 있으며, 변수를 변경하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle -2\int _{c_{R}}^{c^{*}}\xi \mathrm {d} c=\int _{c=c_{R}}^{c=c^{*}}\mathrm {d} \left[D(c)\left({\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} \xi }}\right)\right]}$

우리는 ξ을 다시 그 정의로 번역하여 t 용어를 통합에서 끌어낼 수 있는데, t는 일정하고 마타노 방법에서 어닐링의 시간으로 주어지기 때문이다. 오른쪽에서는 적분에서 추출하는 것은 사소한 것이며 정의에서 따른다.

${\displaystyle -{\frac {1}{2t}}\int _{c_{R}}^{c^{*}}x\mathrm {d} c=\left[D(c)\left({\frac {\mathrm {d} c}{\mathrm {d} x}}\right)\right]_{c=c_{R}}^{c=c^{*}}}$

우리는 dc/dx → 0 as c → c, 즉_R 한계 농도 값에 근접할 때 농도 곡선이 "flattens out"이라는 것을 알고 있다.그런 다음 다시 정렬할 수 있다.

${\displaystyle D(c^{*}}}=-{\frac {1}{2t}}{\frac {\int_{c_{R}}}}^{c^{*}x\mathrm {d}x}c}c}{c=c^{*}}}}}}}}}}}}}}$

어닐링 시간 t에서 농도 프로파일 c(x)를 알고 x(c)로 변환할 수 없다고 가정하면 c와_R c_L 사이의 모든 농도에 대한 확산 계수를 계산할 수 있다.

마타노 인터페이스

마지막 공식에는 중요한 단점이 하나 있는데, 어떤 x를 측정해야 하는지에 따라 참조에 대한 정보가 제공되지 않는다.볼츠만의 변형이 x에 대한 구체적인 참조 없이 잘 작동했기 때문에 도입할 필요가 없었다. 플레인 x 대신 x-X를_M 사용할 때도 볼츠만의 변형이 유지되고 있음을 쉽게 확인할 수 있다.

X는_M 종종 마타노 인터페이스로 표시되며 일반적으로 x=0: d는 농도 c와 함께 일반 변수에 있으므로 농도 프로파일이 반드시 대칭인 것은 아니다.그러나 위의 D(c^*)에 대한 표현에서 X를_M 도입하면 D의 값을 우리가 선택한 X의_M 임의 함수로 완전히 만드는 것으로 보이는 편견이 도입된다.

그러나 X는_M 물리적 제약으로 인해 하나의 값만 가정할 수 있다.분모 용어 dc/dx는 c → c에_L 대해 0으로 가기 때문에 (농도 프로필이 평평해지면서) 분자의 적분 또한 같은 조건에서 0을 나타내는 경향이 있어야 한다.만약 이것이 아니라면 D(c_L)는 무한을 지향할 것이며, 이는 물리적으로 의미가 없다.엄격히 말하면, 이것은 D가 무한에 치우치지 않는다는 것을 보증하는 것이 아니라, D가 무한에 치우치지 않도록 하는 데 필요한 조건 중 하나라는 점에 유의한다.그 조건은 다음과 같다.

${\displaystyle 0=\int _{c_{R}^{c_{L}}(x-X_{M})\mathrm {d}c}$

${\displaystyle X_{M}={\frac {1}{c_{L}-c_{R}}}\int_{c_{R}}}{C_}^{L}x\mathrm {d} c}$

즉 X는_M 농도에 무게를 둔 평균 위치로서, x(c)형식으로 반전할 수 있다면 농도 프로파일에서 쉽게 찾을 수 있다.

원천

• M. E. Glicksman, 고형분 내 확산: 필드 이론, 솔리드 스테이트 원칙 및 적용, 뉴욕, 와일리, 2000.
• 마타노, 추지로."고형금속(니켈-코퍼 시스템)의 확산과 농도의 관계에 관한 연구"일본 물리학 저널1933년 1월 16일.

참조