블랙의 근사치

금융에서 블랙의 근사치는 단일 배당금을 지불하는 주식에 대한 미국 콜옵션의 가치를 계산하는 대략적인 방법이다. 1975년 피셔 블랙에 의해 묘사되었다.^[1]

블랙-숄즈 공식(이하 "BS 포뮬러")은 비배당 지급 주식에 대한 콜옵션의 가치에 대한 명시적 방정식을 제공한다. 주식이 하나 이상의 개별 배당금을 지급하는 경우 폐쇄 공식을 알 수 없지만 몇 가지 근사치를 사용할 수 있다. 그렇지 않으면 블랙-숄즈 PDE를 숫자로 해결해야 한다. 한 가지 그러한 근사치가 여기에 설명되어 있다. 블랙-숄즈 모델#아메리칸 옵션을 참조하십시오.

이 방법은 기본적으로 두 가지 유럽 통화 옵션의 값을 계산하기 위해 BS 공식을 사용한다.
(1) 미국 통화와 만기가 같지만, 배당금의 현재가치로 주가가 하락하는 유럽의 통화
(2) 배당금 지급 전일에 만료되는 유럽 통화. (1)과 (2) 중 가장 큰 것은 미국 통화의 대략적인 값으로 간주된다. 예시를 곁들여 보아라. 그 결과의 가치는 때때로 통화의 "pseudo American" 가치라고 불린다.

적용

3개월 5개월의 만료 날짜와 만료 날짜가 6개월인 미국 콜 옵션을 고려해 보십시오. 각각의 이전 배당일에 대한 배당금은 0.70달러가 될 것으로 예상된다. 추가 정보는 아래에 제시되어 있다. 아메리칸 콜 옵션의 가치를 찾아 보십시오.

${\displaystyle {\reasoned}S_{0}&=\$40\\X&=\$40\\\sigma &=30\%\;p.a.\r&=10\%\;p.a.\\T&=6\;months=.5년D&=\$0.70\\\end{aigned}}$

첫째, 우리는 메소드 섹션에서 위에 제공된 두 가지 방법을 기준으로 계산해야 한다. 여기서 두 부품을 모두 계산한다.

(1) 첫 번째 방법 계산으로 다음과 같이 기술한다.

미국 통화와 만기가 같지만 주가가 배당금의 현재 가치만큼 낮아진 유럽 통화.

${\displaystyle {\reasoned}PV&=D_{1}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{1}:{1}:{1}}}+D_{2}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{2}}:}}}}\end{aigned}}}}}}}}}}$

어디에

${\displaystyle P}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle PV}$은(이 날짜에는 배당금 액수에 따라 주가가 하락하기 때문에 이전 배당일을 사용한다)

${\displaystyle {\mathrm{D}}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$2 ${\$배당일 배당금$$

${\displaystyle r}$ $[\displaystyle r}$은(는) 시장의 무위험 비율이며, 이 예에서는 일정하다고 가정할 것이다.

${\displaystyle \mathrm{\Delta }}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle 2_{}}$ ${\$분 이전 배당일까지의 시간$$

${\displaystyle m}$ [\$displaystyle m}$Δt를 전체 1년으로 가져오는 분할$$ 계수. (예: $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta t}$ $$= $2개월{\displaystyle }$, m ${\displaystyle m}$ $$= 12개월, 따라서 $\Delta {\displaystyle \frac{\mathrm{}}{}}$ t ${\displaystyle \frac{}{}}$ ${\frac {\delta t}}}}$ $$= 2/12 = .16667)

${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$은(는) 지수함수다.

질문에 다음 수식 적용:

${\displaystyle {\pregated}{0.7e^{-(.1)({\frac {3}{12})}+0.7e^{-1({\frac {5}{12})}=1.3541\end{aigned}}}}}}$

따라서 옵션가격은 블랙-숄즈-머튼 모델을 사용하여 계산할 수 있다. 이 $모델$은 ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ 0${\\$0}의 배당금을 할인하며, S$$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$로 표시한다.

${\displaystyle S_{0}'=40-1.3541=38.6459}$

나머지 변수는 그대로다. 이제 우리는 이 공식들을 이용하여 d와₁ d를₂ 계산해야 한다.

${\displaystyle {\reasoned}C&=S_{0}N(d_{1})-Xe^{-r(T)}N(d_{2})\\d_{1}&={\frac {\left[\ln \left({\frac {S_{0}}{X}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T)\right]}{\sigma {\sqrt {T}}}}\\d_{2}&=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}\end{aligned}}}$

어디에

${\displaystyle N}$ (${\displaystyle \cdot }$) ${\displaystyle N(\cdot )}$은(는) 표준 정규 분포의 누적 분포 함수다.

${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$은(는) 성숙 시점이다.

${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$은(는) 기초자산의 현재 가격이다.

${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ X$}$이(가) 스트라이크 가격임

${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$은(는) 무위험 비율(연속 복합 측면에서 표현됨)

${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma}$은(는) 기본 자산의 수익 변동성

얻은 값 입력:

${\displaystyle {\regated}d_{1}&={\frac {\ln \left[\ln \ln \leftped\frac {38.6459}{40}}\right)+\put(0.1+{\frac {0).3^{2}}:{2}}:\오른쪽)(0.5)\오른쪽]{0}3{\sqrt{0.5}}=0.1794\\d_{2}&=0.1794-0.3{\sqrt {0.5}}=-0.0327\\N(d_{1})&=0.5712\\N(d_{2})&=0.4870\\C&=38.6459(0.5712)-40e^{-0.1(0.5)}(0.4870)=3.5446\approx \$3.54\end{aligned}}}$

(2) 두 번째 방법 계산으로 다음과 같이 기술한다.

배당 전날에 만기가 돌아오는 유럽 전화 한 통을 지급한다.

이 방법은 이 옵션 만기가 마지막 배당(5개월의 두 번째 배당금을 의미) 전 마지막 만기일로 설정된 것을 제외하고 이전 방법과 동일하게 시작한다.

${\displaystyle {\reasoned}PV&=D_{1}e^{-(r)({\frac {\Delta t_{1}:{m}}}}\ended{aigned}}}}}}$

대부분의 경우, 변수는 만기까지의 시간을 제외하고 동일하게 유지되며, 이는 다음과 같다.

${\displaystyle {\reasoned}T&=5\;months=.4167\;years\end{aggreed}}$

${\displaystyle {\reasoned}PV&=0.7e^{-(0.1)({\frac {3}{12})}=0.6827\\S_{0}'&=40-0.6827=39.3173\d_{1}&={\frac {\ln \left[\ln \ln \left({\frac {39.317}{40}}}\rift)+\좌(0.1+{\frac {0){0.3^{2}}:{2}}:\오른쪽)(0.4167)\오른쪽]{0}3{\sqrt {0.4167}}}}=0.2231\\d_{2}&=0.2231-0.3{\sqrt {0.4167}}=0.0294\\N(d_{1})&=0.5883\\N(d_{2})&=0.5117\\C&=39.3173(0.5883)-40e^{-0.1(0.4167)}(0.5117)=3.4997\approx \$3.50\end{aligned}}}$

방법 (1)의 가격이 (2)에서 3달러> 3.달러 $(\디스플레이$ 스타일 \displaystyle \$$3.54}\$3.50})$임을 상기하면, 피셔 블랙의 근사치에 따르면 미국 통화 옵션의 가격이 두 가지 방법 중 더 큰 것을 알 수 있으므로 옵션의${\displaystyle \mathrm{가격}}$은 3.${\displaystyle 54}{\displaystyle \mathrm{}}$달러$$(\$디스플레이$ 스타일 \displaysty $$3.54}$이다$.$

참조

• Hull, John C. (1997). Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall. ISBN 0-13-601589-1.