비숍-그로모프 부등식

수학에서, 비숍-그로모프 부등식(Bishop-Groomov 부등식)은 리만 기하학의 비교 정리이며, 리처드 L.의 이름을 따서 명명되었다. 비숍과 미하일 그로모프입니다이것은 마이어스의 정리와 밀접하게 관련되어 있으며 그로모프의 콤팩트성 ^[1]정리의 증명에서 중요한 포인트이다.

진술

M$(\displaystyle$ M$)$이 리치 곡률이 하한을 만족하는 완전한 n차원 리만 다양체라고 $하자{\displaystyle }$.

$\displaystyle \mathrm {Ric} \geq (n-1)K}$

$일정$한 K${\displaystyle r\mathbb{}}$R {\$style$ K$\in \mathbb {R}$$}$ 。${\displaystyle M_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$n n { $displaystyle M_{K}^{$n$$$}$ }을 일정한 단면 $곡률{\displaystyle }$K {$displaystyle$K}($$따라서 일정한 Ricci${\displaystyle }$곡률${\displaystyle (n}$ -${\displaystyle }$1)$$K ${\styledisplay-k}$의 완전한 n차원 단순 연결 공간이라고 $합니다{\displaystyle {}_{}^{}}$.$$반경의 르 M_{K}^{n}}은 n-sphere 1/K{\displaystyle 1/{\sqrt{K}}}만약 K입니다.;0{\displaystyle K>0}, 또는 다차원 유클리드 공간 만약 K=0{K=0\displaystyle}, 또는 적절하게 rescaled 버전의 다차원 쌍곡선 공간 만약 K<0{\displaystyle K<0}. Denote에 의해 B(p, r). {\displays$tyle$ B$(p,r)}$ 리만 거리 함수에 대해 정의된 p점 주위의 반지름 r의 공.

$다음$으로 임의의 p${\displaystyle m}$ M$${ $display style$p \ $in$M ${\displaystyle {}_{}}$ $및$ p ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle M_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ n \ $display style$ p $_$ { K } \ M _ { $K$}^ n }에 대해 함수는

$\displaystyle \phi (r) = frac {Vol} ,B(p,r)} {\mathrm {Vol} ,B(p_{K},r}}$

( ${\displaystyle 0}$ ,${\displaystyle }$"${\displaystyle }$)${\displaystyle \mathrm{}}${$displaystyle$( 0 , \ $infty$ )$$}$$에서는 증가하지 않습니다.

r이 0이 되면 비율이 1에 가까워지기 때문에 단조성과 함께 이것은 다음을 의미한다.

$\displaystyle \mathrm {Vol},B(p,r)\leq \mathrm {Vol},B(p_{K},r).}$

이것은 ^[2][3]비숍이 최초로 증명한 버전입니다.

「 」를 참조해 주세요.

• 비교정리
• 그로모프의 부등식(동음이의)

레퍼런스