균형 모듈

모듈 이론으로 알려진 추상 대수학의 하위 분야에서는, M의 모든 R-내포리즘과 교감하는 아벨 그룹 M의 모든 내형성이 고리 요소에 의한 곱셈에 의해 주어지는 경우, 우측 R 모듈 M을 균형 모듈(또는 이중 중심자 속성을 갖는다고 한다)이라고 한다.명시적으로, 모든 가법적 내형성 f에 대해, 만약 fg = 모든 R 내형성 g에 대해 gf이면, R에 f(x) = M에 모든 x에 대해 xr와 같은 R이 존재한다.균형이 맞지 않는 모듈의 경우, 이런 식으로 표현할 수 없는 f가 있을 것이다.

중앙집중기 언어에서 균형잡힌 모듈은 이중집중기 정리의 결론을 만족시키는 것으로서, 즉 M의 모든 R 내형성을 가진 그룹 M의 통근하는 유일한 내형성은 링 요소에 의한 우측 곱셈에 의해 유도되는 것이다.

모든 우측 R 모듈이 균형을 이루면 링은 밸런스라고 불린다.^[1]균형이 잡히는 것은 링 위에서 좌우 대칭 조건이기 때문에 '좌'나 '우'로 접두사를 붙일 필요가 없다는 것이 밝혀졌다.

균형잡힌 모듈과 링에 대한 연구는 C.J. 네스빗과 R. M에 의한 QF-1 링 연구의 결과물이다. 스롤.이 연구는 V. P. 카밀로의 논문에서도 계속되었고, 이후 완전히 발전하게 되었다.논문(Dlab & Ringel 1972년)은 많은 예와 함께 특히 넓은 시야를 제공한다.이 참고문헌들 외에 K. 모리타와 H. 타치카와도 출판·발표되지 않은 결과를 기고했다.균형잡힌 모듈과 반지 이론에 기여하는 저자의 일부 목록은 참고문헌에서 찾을 수 있다.

예제 및 속성

예

• 반이행 링은 균형이 잡혀 있다.^[2]
• 모든 0이 아닌 오른쪽 이상은 단순한 고리 위에 균형을 이룬다.^[3]
• 준프로베니우스 반지를 넘는 모든 충실한 모듈들은 균형을 이룬다.^[4]
• 오른쪽 Artinian 링에 대한 이중 중앙집중기 정리에는 모든 단순한 오른쪽 R 모듈이 균형을 이루고 있다고 명시되어 있다.
• 논문(Dlab & Ringel 1972)은 불균형 모듈의 수많은 구조를 포함하고 있다.
• 단위 링은 균형이 잡힌다는 것이 (네스빗 & 스롤 1946)에 확립되었다.반대로, 그것의 중심 위로 모듈로서 정밀하게 생성되는 균형 잡힌 링은 단일하다.^[5]
• 교감 아르티니아 고리 중에서 균형 잡힌 고리는 정확히 준 프로베니우스 고리들이다.^[6]

특성.

• "균형"은 모듈에 대한 범주형 속성, 즉 모리타 동등성에 의해 보존된다.명시적으로 F(–)가 R모듈 범주에서 S모듈 범주에 이르는 모리타 동등성이고, M이 균형을 이룬다면 F(M)가 균형을 이룬다.
• 균형 잡힌 고리의 구조는 또한 (Dlab & Ringel 1972), 그리고 (Faith 1999, 페이지 222–224)에서 완전히 결정된다.
• 마지막 점으로 미루어 볼 때 균형고리가 되는 성질은 모리타 불변성 성질이다.
• 어떤 링이 모든 미세하게 생성된 우측 R 모듈이 균형을 이루는지에 대한 문제는 이미 해결되었다.이 상태는 R 링이 균형을 이루고 있는 것과 동등한 것으로 밝혀졌다.^[7]

메모들

참조

• Camillo, Victor P. (1970), "Balanced rings and a problem of Thrall", Trans. Amer. Math. Soc., 149: 143–153, doi:10.1090/s0002-9947-1970-0260794-0, ISSN 0002-9947, MR 0260794

• Bourbaki, Nicolas (1973), Algébre, Ch. 8: Modules et Anneaux Semi-Simples, p. 50, ISBN 978-2-7056-1261-0

• Camillo, V. P.; Fuller, K. R. (1972), "Balanced and QF-1 algebras", Proc. Amer. Math. Soc., 34 (2): 373–378, doi:10.1090/s0002-9939-1972-0306256-0, ISSN 0002-9939, MR 0306256

• Cunningham, R. S.; Rutter, E. A., Jr. (1972), "The double centralizer property is categorical", Rocky Mountain J. Math., 2 (4): 627–629, doi:10.1216/rmj-1972-2-4-627, ISSN 0035-7596, MR 0310017

• Dlab, Vlastimil; Ringel, Claus Michael (1972), "Rings with the double centralizer property", J. Algebra, 22 (3): 480–501, doi:10.1016/0021-8693(72)90163-9, ISSN 0021-8693, MR 0306258

• Faith, Carl (1999), Rings and things and a fine array of twentieth century associative algebra, Mathematical Surveys and Monographs, vol. 65, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xxxiv+422, ISBN 0-8218-0993-8, MR 1657671
• Lam, T.Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439
• Nesbitt, C. J.; Thrall, R. M. (1946), "Some ring theorems with applications to modular representations", Ann. of Math., 2, 47 (3): 551–567, doi:10.2307/1969092, ISSN 0003-486X, JSTOR 1969092, MR 0016760