베지어 삼각형

베지어 삼각형(Bézier triangle)은 (선형, 2차, 3차 또는 그 이상의 차수) 제어점의 보간에 의해 생성되는 특수한 유형의 베지어 표면입니다.

n차 베지에 삼각형

일반적인 n차 베지어 삼각형은 (n +1)(n + 2)/2개의 관리점 αβ γ를 가지며, 여기서 i, j, k는 i + j + k = n과 같은 음이 아닌 정수입니다. 표면은 다음과 같이 정의됩니다.

${\displaystyle (\alpha s+\beta t+\gamma u)^{n}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,n\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}{n \선택 i\j\k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\n\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}{\frac{n!}{i!j!k!}}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}}$

음수가 아닌 모든 실수 + t + u = 1에 대하여.

선형 순서($$ = ${\$textstyle n = 1})를 갖는 결과 베지어 삼각형은 실제로 정평형 삼각형이며, 삼각형 꼭짓점은 세 개의 기준점과 같습니다. 2차 ($$ = $2${\textstyle n = 2}) 베지어 삼각형은 모두 모서리에 위치한 6개의 컨트롤 포인트를 특징으로 합니다. 입방체($\mathrm{n}$ =$$3 {\textstyle n = 3}) 베지에 삼각형은 10개의 제어점으로 정의되며, 가장 낮은 차수의 베지에 삼각형으로, 가장자리에 위치하지 않고 내부 제어점을 가지고 있습니다. 모든 경우에 삼각형의 모서리는 같은 정도의 베지어 곡선이 될 것입니다.

큐빅 베지어 삼각형

입방체 베지에 삼각형은 다음과 같은 방정식을 갖는 표면

${\displaystyle {aligned}p(s,t,u)=(\alpha s+\beta t+\gamma u)^{3}=\;&\beta ^{3}\,t^{3}+3\,\alpha \beta ^{2}\,st^{2}+3\,\beta ^{2}\,\alpha \gamma \,t^{2}u\;+\&3\,\alpha ^{2}\beta \,s^{2}t+6\,\alpha \beta \gamma \,stu+3\,\gamma \beta^{2}\,\tu^{2}\,\&\alpha ^{3}\,s^{3}+3\,\alpha ^{2}\,\s^{2}\,\alpha \gamma \{2}u+3\,\alpha \gamma \,s^{2}\,su^{2}+\gamma ^{3}\,\alpha \begin \{2}\,u^{3}\end{align}}$

여기서 α, β, γ, αβ, β γ, β γ, β γ, α γ, α γ 및 α β γ는 삼각형의 기준점이고 s, t, u (0 ≤ s, t, u ≤ 1 및 s + t + u = 1)는 삼각형 내부의 무게중심 좌표입니다.

또는 입방체 베지에 삼각형을 다음과 같이 일반화된 공식으로 표현할 수 있습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}p(s,t,u)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,3\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}{3 \선택 i\j\k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,3\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}{\frac {6}{i!j!k!}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}\end{aligned}}$

§ 제차 베지에 삼각형의 공식에 따라

삼각형의 모서리는 점 α, β, γ입니다. 삼각형의 모서리는 그 자체로 베지어 곡선이며, 베지어 삼각형과 동일한 기준점을 갖습니다.

γ항을 제거하면 정규 베지어 곡선이 생성됩니다. 또한 실제 컴퓨터 화면에 표시하기에는 그다지 유용하지 않지만 추가 용어를 추가하면 베지어 사면체 또는 베지어 다면체가 생성됩니다.

방정식의 특성상 삼각형 전체가 기준점들로 둘러싸인 부피 내에 포함될 것이고, 기준점들의 미세한 변환은 삼각형 전체를 같은 방식으로 올바르게 변환할 것입니다.

입방체 베지에 삼각형 반올림

컴퓨터 그래픽에서 베지어 삼각형의 장점은 베지어 삼각형을 두 개의 분리된 베지어 삼각형으로 나누는 것은 부동소수점 산술이 아닌 덧셈과 나눗셈만 필요하다는 것입니다. 이것은 베지어 삼각형이 매끄럽지만, 결과적으로 생성된 삼각형이 충분히 작다고 간주될 때까지 삼각형을 두 개로 재귀적으로 분할함으로써 일반 삼각형을 사용하여 쉽게 근사할 수 있다는 것을 의미합니다.

다음은 모서리 α, 모서리 α와 β 사이의 Bézier 곡선의 중간에 있는 모서리, 세 번째 모서리 γ를 갖는 완전한 Bézier 삼각형의 절반에 대한 새로운 기준점들을 계산합니다.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\alpha ^{3}}{'}\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }{'}\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}{'}\{\boldsymbol {\beta ^{3}}{'}\{'}\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }{'}\{\{\boldsymbol {\beta }\gamma }{'}\{\'}\{\boldsymbol {\gamma ^{2}}}\{'}\{\boldsymbol {\alpha gamma ^{2}}}\{\'}\{\boldsymbol {\boldsymbol {\boldsymbol} {\'} \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}{'}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 8}&{3 \over 8}&{3 \over 8}&{1 \over 8}&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}\end{pmatrix}}}$

동등하게, 덧셈과 나눗셈을 2개만 사용하면,

${\displaystyle {\begin{matrix}&\beta ^{3}:=(\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3})/2\&\alpha \beta ^{2}:=(\alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2})/2&\beta ^{3}:=(\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3})/2\\alpha ^{2}\beta:=(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}\beta )/2&\alpha \beta^{2}:=(\alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2}/2&\beta ^{3}:=(\alpha \beta^{2}+\alpha beta ^{3}:=(\alpha \ \^{2}+) ^{3})/2\\\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\beta ^{2}\gamma :=(\alpha \beta \gamma +\beta ^{2}\gamma)/2\\alpha \beta :=(\alpha ^{2}\gamma +\alpha \beta \gamma )/2&\beta ^{2}\gamma :=(\alpha \beta \gamma +\beta ^{2}\gamma)/2\\end{matrix}}}$

${\displaystyle \beta \gamma ^{2}:=(\alpha \gamma ^{2}+\beta \gamma ^{2}/2}$

여기서 :=는 왼쪽의 벡터를 오른쪽의 벡터로 바꾸는 것을 의미합니다.

베지어 삼각형을 반으로 줄이는 것은 베지어 삼각형의 차수까지 모든 차수의 베지어 곡선을 반으로 줄이는 것과 유사하다는 것을 주목하십시오.

참고 항목

• 베지어 곡선
• Bézier 표면(2차 패치는 Bézier 직사각형)
• 표면

참고문헌

외부 링크

• 2차 베지에 삼각형 드로잉 프리미티브로 평면 및 2차 베지에 삼각형에 대한 더 많은 정보를 포함합니다.
• 큐빅 베지어 패치의 광선 추적 사용에 관한 논문 (독일어)
• "Ray Tracing Triangular Bézier Patches". CiteSeerX 10.1.1.18.5646. {{cite web}}: 누락 또는 비움 url= (도와주세요)
• "Triangular Bézier Clipping". CiteSeerX 10.1.1.62.8062. {{cite web}}: 누락 또는 비움 url= (도와주세요)
• 곡선 PN 삼각형(세제곱 베지에 삼각형의 특별한 종류)
• 다면체 근사에서 곡선 표면 음영에 대한 형상 인식 정규 보간
• 픽셀 셰이더 기반 곡선 삼각형
• "Surface Construction with Near Least Square Acceleration based on Vertex Normals on Triangular Meshes". CiteSeerX 10.1.1.6.2521. {{cite web}}: 누락 또는 비움 url= (도와주세요)