아르틴 전이(그룹 이론)

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집단 이론의 수학적 분야에서, 아르틴 전이란 임의의 유한 또는 무한 집단에서 유한 지수의 부분군의 정류자 지수 집단에 이르는 일정한 동형성을 말한다.원래 그러한 매핑은 이상적인 계급 그룹에 아르틴의 상호주의 지도를 적용하고 갈루아 집단의 인용구들 사이의 결과적인 동형성을 분석함으로써 대수적 수 분야의 아벨리아 확장성에 대한 계급확장 동형식의 집단적 이론상대로서 생겨났다.그러나 숫자 이론적 응용과는 별개로, 아르틴이 이전하는 커널과 대상에 대한 부분적인 순서는 최근 후예 나무에서 시각화할 수 있는 유한 p-그룹(prime number p를 갖는) 사이의 부모-하위 관계와 호환되는 것으로 밝혀졌다.따라서 아르틴 이전은 한정된 p-그룹 분류와 아틴 이전 대상의 커널과 대상에 의해 정의된 패턴을 찾아 후예 나무에서 특정 그룹을 검색하고 식별할 수 있는 귀중한 도구를 제공한다.이러한 패턴 인식 전략은 순수 그룹 이론적 맥락에서뿐만 아니라 상위 p-클래스 분야의 갈루아 그룹과 Hilbert p-class 필드 타워에 관한 대수적 수 이론의 적용에도 유용하다.

부분군의 횡단

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를) 그룹으로$$ 하고 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ G ${\displaystyle H\leq G}$을(를) 유한 지수 $n{\displaystyle .}$ ${\displaystyle n.}$의 하위 그룹으로 한다$$.

정의.^[1]$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 왼쪽 횡단면은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 왼쪽 코세트에 대한$$ 대리인의$$ $주문$된 시스템$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$, ,${\displaystyle }$, , , ,$g$)이다$.$

${\displaystyle G=\bigsqcup _{i=1}^{n}g_{i}H.}$

이와 $유사$하게$$G {\$displaystyle$G$$$}$에서$$H {\$displaystyle$H}의 우측 $횡단보도$는$$G {\$displaystyle$ $G$$}$에서$$H {\$displaystyle$ H}의 우측 코스세트에 대한$$ 대리인의$$ 주문된 시스템$d$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$…$d$ )이다$.$

${\displaystyle G=\bigsqcup _{i=1}^{n}Hd_{i}.}$

Remark. For any transversal of ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$, there exists a unique subscript ${\displaystyle 1\leq i_{0}\leq n}$ such that ${\displaystyle g_{i_{0}}\in H}$, resp. ${\displaystyle d_{i_{0}}\in H}$. Of course, this element with subscript i ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 주 코셋(즉, $부분군{\displaystyle }$ H$${\$displaystyle H}$ 그 자체$$)은$$ 중성 요소 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}($으)로 대체될 수 있지만 그럴 필요는 없다$.$

서브 그룹 H{H\displaystyle}과 Lemma.[2]레트 G{G\displaystyle}가 되non-abelian 그룹. 그 다음 역 요소(g1− 1,…,g n− 1)왼쪽으로 횡단하는 H{H\displaystyle}의{\displaystyle(g_{1},\ldots{n,g_})}(g1,…,g n){\displaystyle(g_{1}^{-1},\ldots{n}^{-1},g_)}.$in{\displaystyle }$ G ${\$$displaystyle G}$에서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 오른쪽 횡단면을 형성한다$.$ 더욱이 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$이(가) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 정상적인 부분군이라면$,$ 어떤 왼쪽 횡단도 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G$에서 H$}$의 오른쪽 횡단이다.

증명. $매핑{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$↦ ${\displaystyle {\mathrm{x}}^{}}$- 1 ${\$ x$\mapsto$ x$^{-1}$는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 비자발성이므로$$ 다음을 확인할$$ 수 있다.

${\displaystyle G=G^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}(g_{i}H)^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}H^{-1}g_{i}^{-1}=\bigsqcup _{i=1}^{n}Hg_{i}^{-1}.}$

일반 부분군 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 경우 ${\displaystyle 각}$ $x{\displaystyle }$∈ G ${\displaystyle x\in G}$에 $대해{\displaystyle }$ x ${\displaystyle H}$= ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle$ x$\in$ G}이$($가) 있다$.$

우리는 동형상하에서의 횡단적인 이미지도 횡단적인지 확인해야 한다.

제안.Let ${\displaystyle \phi :G\to K}$ be a group homomorphism and ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$ be a left transversal of a subgroup ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ with finite index ${\displaystyle n.}$$$ 다음 두 가지 조건은 동일하다.

• ${\displaystyle (\phi (g_{1}),\ldots ,\phi (g_{n}))}$ is a left transversal of the subgroup ${\displaystyle \phi (H)}$ in the image ${\displaystyle \phi (G)}$ with finite index ${\displaystyle (\phi (G):\phi (H))=n.}$
• $\displaystyle \ker(\phi )\leq H.}$

증명. ${\displaystyle \phi}$ 세트의 매핑으로 유니언을 다른 조합에 매핑$$:

${\displaystyle \phi(G)=\phi \left(\빅컵 _{i=1}^{n}g_{i}}H\right)=\빅컵 _{i=1}^{n}\phi(g_{i}H)=\빅컵 _{i=1}^{n}\pi(g_{i})\pi(H),}$

그러나 교차로에 대한 동일성을 사소한 포함으로 약화시킨다.

${\displaystyle \emptyset =\phi(\empt )=\phi(g_{i})H\cap g_{j}H)\subseteq \phi(g_{i}H)\cap \phi(g_{j}H)=\phi(g_{i})\phi(H)\cap \phi(g_{j})\qquad ineq.}$

약 $1{\displaystyle \mathrm{}}$≤ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \le }$ n ${\displaystyle 1\leq i\leq j\leq n}$에 대해 다음과 같이 가정하십시오$.$

$\phi(g_{i}\phi(H)\cap \phi(g_{j})\phi(H)\neq \emptyeset }}$

그러면 다음과 같은$$ 요소 $h{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ h ${\displaystyle j_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{i}, h_{j}\in H}$이(가) 존재한다.

${\displaystyle \phi(g_{i})\phi(h_{i})=\phi(g_{j})\phi(h_{j}})}$

그리고 다음이 있다.

${\displaystyle{\begin{정렬}\phi(g_{나는})\phi(h_{나는})=\phi(g_{j})\phi(h_{j})&, \Longrightarrow \phi(g_{j})^{)}\phi(g_{나는})\phi(h_{나는})\phi(h_{j})^{)}=1\\&amp을 말한다.\Longrightarrow \phi \left(g_{j}^{-1}g_{나는}h_{나는}h_{j}^{-1}\right)=1\\&.\Longrightarrow g_{j}^{)}g_{나는}h_{나는}h_{j}^{)}\in \ker(\phi)\\&.\Longrightarrow g_{j}^{)}g_{나는}h_{나는}h_{j}^{)}\in H&,&\ker(\phi )\leq H\\&\Longrightarrow g_{j}^{-1g_{i}\in H&h_{i}h_{j}^{{j}^{-1}\in H\&\\Longrigarrow g_{i}}H=g_{j}H\\&\Longrightarrow i=j\end{aigned}}}$

Conversely if ${\displaystyle \ker(\phi )\nsubseteq H}$ then there exists ${\displaystyle x\in G\setminus H}$ such that ${\displaystyle \phi (x)=1.}$ But the homomorphism ${\displaystyle \phi }$ maps the disjoint cosets ${\displaystyle x\cdot H\cap 1\cdot H=\emp$$타이셋 }$과(와) 동일한 코스셋:

$\phi(x)\phi(H)\cap \phi(1)\phi(H)=1\cdot \phi(H)\cdot \phi=\phi(H)\phi(H)\phi(h)\ph.}$

비고. 우리는 제안의 중요한 등가성을 공식으로 강조한다.

${\displaystyle (1)\quad \ker(\phi )\leq H\quad \Longleftrightarrow \quad {\begin{cases}\phi (G)=\bigsqcup _{i=1}^{n}\phi (g_{i})\phi (H)\\(\phi (G):\phi (H))=n\end{cases}}}$

순열 표현

Suppose ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$ is a left transversal of a subgroup ${\displaystyle H}$ of finite index ${\displaystyle n}$ in a group ${\displaystyle G}$. A fixed element ${\displaystyle x\in G}$ gives rise to a unique permutation ${\displays$$Tyle \pi _{x}\in S_{n}}$의 H ${\displaystyle G}$에 있는 $왼쪽{\displaystyle }$ 코세트의 왼쪽$$ 곱하기:

$\\displaystyle (2)\properties \{1,\ldots,n\}:\qquad xg_{i}H=g_{\pi _{x}(i)}H\Longrightarrow xg_{i}\in g_{\pi _{x}(i)}H.}$

이를 통해${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle {}_{}{n}_{}}$ ) ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n}}$에 $대해$ x ${\displaystyle x}$과(와) 연결된 단일 요소 집합을 정의한다$.$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i):g_{\pi _{x}(i)^{-1}xg_{i}\in H.}$

Similarly, if ${\displaystyle (d_{1},\ldots ,d_{n})}$ is a right transversal of ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$, then a fixed element ${\displaystyle x\in G}$ gives rise to a unique permutation ${\displaystyle \rho _{x}\in S_{n}}$ of the right cosets of $$${\displaystyle }$$H{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $G}$의 H {\$displaystyle$ $H}$ 오른쪽 곱하기:

${\displaystyle (3)\quad \in \{1,\ldots,n\}:\qquad Hd_{i}x=Hd_{\rho _{x}(i)}\Longrightarrow d_{i}x\in Hd_{\rho_{x}(i)}}$

그리고${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle d_{}}$n )$${\$displaystyle (d_{1},\ldots ,d_{n}}$에 $대해$ x$${\$displaystyle x}$과(와) 연관된 단수(monomials)를 정의한다$.$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad w_{x}(i):=d_{i}xd_{\rho_{x}(i)^{-1}\in H.}$

정의.^[1]매핑:

${\displaystyle {\displaysty}G\to S_{n}\\x\mapsto \pi _{x}\end{case}}\qquad {\begin{case}G\to S_{n}\\x\mapsto \rho _{x}\end{case}}}$

$({\displaystyle {}_{}}$$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle g_{}}$) ${\displaystyle$$S_{n},$ ($g_{1},\ldots ,g_{n})$ 및${\displaystyle }$( ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle }$,${\displaystyle }$, ${\displaystyle d_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (d_{1},\dots ,d_{n}}}}$에 대해$$$$ 대칭 그룹 ${\displaystyle S_{}}$ ${\$$displaystylease$ G$}$의 순열 표현이라고 한다.

정의.^[1]매핑:

$displaysty}{\displaysty}G\to H^{n}\time S_{n}\\x}(1)),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x}\end{case}}}}}}}}}}}}}}\qquad{\begin{case}}}}}}}}}G\to H^{n}\time S_{n}\\x\mapsto(w_{x}(1)),\ldots ,w_{x}(n);\rho _{x}\end{case}}}}}}}}}}$

are called the monomial representation of ${\displaystyle G}$ in ${\displaystyle H^{n}\times S_{n}}$ with respect to ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$ and ${\displaystyle (d_{1},\ldots ,d_{n})}$ respectively.

Lemma. For the right transversal ${\displaystyle (g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})}$ associated to the left transversal ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})}$, we have the following relations between the monomials and permutations corresponding to an element ${\di$$splaystyle x\in$ G$\}:$

${\displaystyle (4)\case}{\case}w_{x^{-1(i)=u_{x}(i)^{-1}\leq i\\leq n\\\\rho_{x^{-1}=\x}=\case{case}}}}}$

Proof. For the right transversal ${\displaystyle (g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})}$, we have ${\displaystyle w_{x}(i)=g_{i}^{-1}xg_{\rho _{x}(i)}}$, for each ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$. On the other hand, for the left transversal${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n$ 우리는 다음과 같이 한다.

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i)^{-1}=\left(g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\right)^{-1}=g_{i}^{-1}x^{-1}g_{\pi _{x}(i)}=g_{i}^{-1}x^{-1}g_{\rho _{x^{-1}}(i)}=w_{x^{-1}}(i).}$

This relation simultaneously shows that, for any ${\displaystyle x\in G}$, the permutation representations and the associated monomials are connected by ${\displaystyle \rho _{x^{-1}}=\pi _{x}}$ and ${\displaystyle w_{x^{-1}}(i)=u_{x}(i)^{-1}}$ for each${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le n}$ ${\displaystyle 1\leq$ i$\leq n$

아르틴 전이

정의.^[2][3]Let ${\displaystyle G}$ be a group and ${\displaystyle H}$ a subgroup of finite index ${\displaystyle n.}$ Assume ${\displaystyle (g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})}$ is a left transversal of ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ with associated permutation representation $\pi {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$, ${\displaystyle \pi _{x}:$$다음과$같은 G$\to S_{$n$$}}

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad u_{x}(i):=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H.}$

마찬가지로 (${\displaystyle d}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {d\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$, …${\displaystyle }$, ${\displaystyle d_{}}$n ) ${\displaystyle (d)=(d_{1},\ldots ,d_{n}}}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 $H{\displaystyle }$ ${\\displaystyle$ H$}$의 $오른쪽$ 횡단이며 관련 순열 ${\displaystyle {표현}_{}}$은${\displaystyle {}_{}G}$ → $G{\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle S_{}}$ → ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$이다.$G\to S_{n}$ 그런 것$$.

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad w_{x}(i):=d_{i}xd_{\rho_{x}(i)^{-1}\in H.}$

Artin transfer $T{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle G_{}^{}}$, ${\displaystyle H_{}^{}}$( ${\displaystyle g_{}^{}}$)${\displaystyle {}_{}^{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle H}$/ ${\displaystyle H{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})$에 대한$$ $G\to H/H'}$은(는) 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle (5)\quad \forall x\in G:\qquad T_{G,H}^{(g)}(x):=\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'.}$

이와 유사하게 우리는 다음을 정의한다.

${\displaystyle (6)\quad \forall x\in G:\qquad T_{G,H}^{(d)}(x):=\prod _{i=1}^{n}d_{i}xd_{\rho _{x}(i)}^{-1}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\cdot H'.}$

비고.아이작스는^[4] 그 매핑을 부른다.

${\displaystyle {\begin{case}P:G\to H\\x\mapsto \prod _{i=1}^{nu_{x}(i)\end{case}}\case}\qquad {\begin}P:G\to H\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\end{case}}}}}$

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ H$}($으)로$$ 사전 전송$.$ 사전 전송은 동형성 $\varphi {\displaystyle }$: ${\displaystyle H}$→ A ${\displaysty \phi$:$H{\displaystyle }$ {\$displaystyle H}$에서 아벨 그룹 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$}($으)로$$ H$\$$to A}$을(를) 생성하여 고렌슈타인의 저서에서 발생하는$$$\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \phi}$을(를) $통해{\displaystyle }$ G ${\displaystystyle A}$로 이전하는 보다 일반적인 버전을 정의한다$$.^[5]

${\displaystyle {\begin{case}(\phi \circle P):G\to A\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}\phi(u_{x})(i)\end{case}\qquad {\begin{case}(\phi \circle P):G\to A\\x\mapsto \prod _{i=1}^{n}\phi(w_{x})(i)\end{case}}}$

자연적 경각심을 가져간다.

${\displaystyle {\bases}\phi :H\to H/H'\\v\mapsto vH'\end{case}}$

슈르가^[2] 원형을 그리고 ${\displaystyle {\mathrm{하세}}_{}}$가 베라게룽이라고도 부른 ^[3]에밀 아르틴이 아르틴 이전 ${\displaystyle T_{}}$ G${\displaystyle {}_{}}$, H ${\$디스플레이 $스타일 T_{G,H}$의 선행 정의를 산출한다$$.^[6]일반적으로 전이는 횡단적 동형성이나 집단적 동형성으로부터 독립적이지 않다는 점에 유의한다.

횡단 독립

제안.^{[1][2][4][5][7][8][9]}Artin은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 두 개의 왼쪽 트랜스퍼에 대해$$ 동시에 전송한다.

Proof. Let ${\displaystyle (\ell )=(\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})}$ and ${\displaystyle (g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})}$ be two left transversals of ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$. Then there exists a unique permutation ${\displays$$Tyle$ $\sigma \in S_{n}.$

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad g_{i}H=\ell _{\sigma (i)}H.}$

결과적으로 다음과 같다.

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots,n\}\exists h_{i}h_{i}=\ell _{\sigma (i)}}}$

${\displaystyle \mathrm{고정}}$ 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ G ${\displaystyle$ x$\in G$의 경우 ${\displaystyle {다음}_{}}$과 같은$$ 고유한 순열 $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ X${\displaystyle {}_{}}$S ${\displaystyle n_{}}$ ${\$이(가) 존재한다.

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad \ell _{\bodda _{x}(\displayma (i))}H=x\ell _{\sigma(i)}H=xg_{i}h_{i}}H=xg_{i}H=g_{\pi _{x}(i)}H=g_{\pi _{x}(i)}h_{\pi _{x}(i)}H=\ell _{\sigma(\pi _{x}(i))}}H.}$

Therefore, the permutation representation of ${\displaystyle G}$ with respect to ${\displaystyle (\ell _{1},\ldots ,\ell _{n})}$ is given by ${\displaystyle \lambda _{x}\circ \sigma =\sigma \circ \pi _{x}}$ which yields: ${\dis$$playstyle$ \$lambda$ _${x$}=\sigma $\circle \pi$_{$x}\circle$ \sigma $^{1}\in S_{n}}}}$게다가$$ 두 요소 간의 연결을 위해 다음과 같이 하십시오.

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{x}(i)&:=\ell _{\lambda _{x}(i)}^{-1}x\ell _{i}\in H\\u_{x}(i)&:=g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\in H\end{aligned}}}$

다음이 있음:

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots ,n\}:\qquad v_{x}(\displayma (i))=\ell _{\exda _{x}(\chma (i))}^{-1}x\ell _{\becma (i)}=\ell _{\becma(\pi _{x})(i)}^{-1}xg_{i}h_{i}=\left(g_{\pi _{x}(i)}h_{\pi _{x}(i)}\right)^{-1}xg_{i}h_{i}=h_{\pi _{x}(i)}^{-1}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}h_{i}=h_{\pi _{x}(i)}^{-1}u_{x}(i)h_{i}.}$

마지막으로 $H{\displaystyle }$/ ${\displaystyle H{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$이(가) 아벨리안이고 $\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma },$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$ x$$ ${\$이(가$$) 순열이므로 Artin 전송은 왼쪽 횡단과 독립된 것으로 확인된다.

${\displaystyle T_{G,H}^{(\ell )}(x)=\prod _{i=1}^{n}v_{x}(\sigma (i))\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}h_{\pi _{x}(i)}^{-1}u_{x}(i)h_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\prod _{i=1}^{n}h_{\pi _{x}(i)}^{-1}\prod _{i=1}^{n}h_{i}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot 1\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x}(i)\cdot H'=T_{G,H}^{(g)}(x),}$

공식 (5)에 정의된 바와 같이.

제안.Artin은 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 우측 트랜스퍼 두 개를 동시에$$ 전송한다.

증거. 이전 제안과 유사하다.

제안.The Artin transfers with respect to ${\displaystyle (g^{-1})=(g_{1}^{-1},\ldots ,g_{n}^{-1})}$ and ${\displaystyle (g)=(g_{1},\ldots ,g_{n})}$ coincide.

증명. 공식 (4)과 H${\displaystyle /H{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$을(를) 사용하여 아벨리안(Abelian)이$$ 되는 것.

${\displaystyle T_{G,H}^{(g^{-1})}(x)=\prod _{i=1}^{n}g_{i}^{-1}xg_{\rho _{x}(i)}\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}w_{x}(i)\cdot H'=\prod _{i=1}^{n}u_{x^{-1}}(i)^{-1}\cdot H'=\left(\prod _{i=1}^{n}u_{x^{-1}}(i)\cdot H'\right)^{-1}=\left(T_{G,H}^{(g)}\left(x^{-1}\right)\right)^{-1}=T_{G,H}^{(g)}(x).}$

마지막 단계는 아르틴 전이가 동형상이라는 사실에 의해 정당화된다.이는 다음 절에 제시될 것이다.

코롤러리.Artin 전송은 횡단 선택과 무관하며 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$ 및 $G$ ${\displaystyle G}$에만 의존한다$.$

아르틴은 동음이의어로 전이된다.

정리.^{[1][2][4][5][7][8][9]}Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle {g\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle g_{}}$n )$${\$displaystyle (g_{1},\ldots, g_{n})$은 G$${\$displaystyle G$}에서 H$${\$displaystyle H$}의 왼쪽 횡단이다$.$ Artin 전송

${\displaystyle {\displaysty}T_{G,H:G\to H/H'\\x\mapsto \prod _{i=1}g_{n}g_{\pi _{x}(i)^{-1}xg_{i}\cdot H'\end{cardot{case}}}}}}}}}}}$

순열 표현:

${\displaystyle {\displaysty}G\to S_{n}\\x\mapsto \pi _{x}\end{case}}}}$

그룹 동형성:

${\displaystyle (7)\quad \forall x,y\in G:\qquad T_{G,H}(xy)=T_{G,H}(x)\cdot T_{G,H}(y)\quad {\text{and}}\quad \pi _{xy}=\pi \circpi _{y}.}$

아르틴 전이(Artin transfer)의 동형성 속성을 단형적 표현이라는 관점에서 다시 한 번 조명하고 있다.요인$$ $x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x,y}$의 이미지는

${\displaystyle T_{G,H}(x)=\prod _{i=1}u_{n}u_{n}{x}(i)\cdot H'\quad{\text{and}}\quad T_{G,H(y)=\prod _{j=1}{n}u_{y}j(j)\cdot H'.}$

마지막$$ 증거에서 제품 ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle xy}$의 이미지가

${\displaystyle T_{G,H}(xy)=\prod _{j=1}^{n}g_{\pi _{x}(\pi _{y}(j))$$}^{-1}xg_{\pi _{y}(j)}g_${\pi$_{y}}^{-1}yg_{j$}\$cdot$ H$'=\prod _{j=1}u_{x}(\pi _{y})({y}j$)\$cdot u_{y}\$cdot u(j)\cdodot $u_$cdot u_{cdodot h'\$cdot$ h'\cdot h$'\$cdot h'\cdot h'},

그것은 다음 절에서 더 자세히 논의된 매우 독특한 구성법칙이다.

The law is reminiscent of crossed homomorphisms ${\displaystyle x\mapsto u_{x}}$ in the first cohomology group ${\displaystyle \mathrm {H} ^{1}(G,M)}$ of a ${\displaystyle G}$-module ${\displaystyle M}$, which have the property ${\displaystyle u_{xy}=$$u_{x}^{y$}^{y$}\cdot u_{y}}$ ${\displaystyle \mathrm{x<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; u\_\{xy\}=u\_\{x\}^\{y\}\backslash cdot\; u\_\{y\}\}\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/5c6c9961a100e0a85b5c2224b0f380849ced2647"\; style="vertical-align:\; -1.005ex;\; width:12.978ex;\; height:3.176ex;"\; papago-attr-id="110">},}$ y ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x,y\in G}$.

H와 S(n)의 화환제품

앞의 절에서 발생한 특이한 구조는 $화환제품{\displaystyle }$ $H{\displaystyle }$$$≀ ${\displaystyle S_{}}$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ × ${\displaystyle S_{}}$ $【\$${$$n$$}}}$ 그룹에 H ${\displaystyle \wr }$ S 【\$displaystyle$ $H$$}】{$$}$라고 알려진 구성의 특별 법칙을$$ 부여함으로써 해석할 수도 있다.세트${\displaystyle }${${\displaystyle 1,\dots ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \}}$. ${\displaystyle \{1,\ldots,n\}$에 대한$$ $isplaystyle S_{n}.$$}$

정의.$x{\displaystyle }$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle x,y\in G}$의 경우$,$ 관련 단수 및 순열의 화환 제품은 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle (8)\pi _{x}(1)\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x}(n)\cdot(u_{y}(1)),\ldots ,u_{y}(n);\pi _{y}}:=(u_{x}(\pi _{y}(1))\cdot u_{y}(1),\ldots ,u_{x}(\pi _{y}(n))\cdot u_{y}(n);\pi _{x}\circ \pi _{y})=(u_{xy}(1),\ldots ,u_{xy}(n);\pi _{xy}).}$

정리.^[1][7]${\displaystyle {Hn}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$에 대한 이 구성 법칙을 사용하여$$ 단일 표현

${\displaystyle {\displaysty}G\to H\wr S_{n}\\x\mapsto(u_{x}(1)),\ldots ,u_{x}(n);\pi _{x}\end{case}}}}}}}}$

주입식 동형상이야

비고. 정리의 단일한 표현은 순열 표현과 대조적으로 서 있는데, > . ${\displaystyle$ G $>n!$이면 주입할 수 없다.$}$

비고. Huppert는^[1] Artin 이전을 정의하기 위해 단항 표현을 사용하는 반면에, 우리는 공식 (5)와 (6)에 즉각적인 정의를 제공하고, 단지 단항 이식의 도움을 받아 Artin 이체의 동형성 특성을 설명하는 것을 선호한다.

Artin 이전 구성

정리.^[1][7]중첩된 하위 그룹 K≤ H≤ G와 G{G\displaystyle}그룹이{K\leq H\leq G\displaystyle}가(G:H)),(H:K))m{\displaystyle(G:H)=n,(H:K)=m}과(G:K))(G:H)⋅(H:K))nm<>∞.{\displaystyle(G:K)=(G:H)\cdot(H:K)=nm<, \infty.}그리고 아르틴. Emil. 전송 TG, K자 {\dis$Playstyle T_{$${\displaystyle G_{}}$$,K}$는 ${\displaystyle {\mathrm{유도}}_{}}$ $전달$ T${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ H${\displaystyle {}_{}}$, K${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle H{}^{}}$/ H ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ ${\displaystyle K}$/ $′{\${T$}_{H,K$}}}의 합성어다$.$$H/H'\to K/K'}$ 및$$ Artin 전송 $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {G,}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\$ 즉 다음과 같다.

${\displaystyle (9}$) T ${\displaystyle {G,}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}{}_{}}$= T${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ ${\displaystyle H_{,}}$ ${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ T ${\displaystyle {G,}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\$},H$\}\}\}.$

마지막으로, 우리는 단조로운 표현의 구조적 특수성을 강조하고 싶다.

${\displaystyle {\displaysty}G\to K^{n\cdot m}\time S_{n\cdot m}\\x\mapsto (k_{x}(1,1),\ldots ,k_{x}(n,m);\gamma _{x}\case}}}}}}}}}}$

Artin 전송의 조합에 해당하는, 정의

${\displaystyle k_{x}(i,j):=\왼쪽(gh)_{\gamma _{x}(i,j)}\오른쪽)^{-1}x(gh)_{(i,j)}\in K}$

for a permutation ${\displaystyle \gamma _{x}\in S_{n\cdot m}}$, and using the symbolic notation ${\displaystyle (gh)_{(i,j)}:=g_{i}h_{j}}$ for all pairs of subscripts ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$, ${\displaystyle 1\leq j\leq m}$.

앞의 증거는 다음과 같은 것을 알 수 있다.

${\displaystyle k_{x}(i,j)=h_{\nma _{y_{i}}(j)^{-1}g_{\pi _{x}(i)^{-1}xg_{i}h_{j}.}$

Therefore, the action of the permutation ${\displaystyle \gamma _{x}}$ on the set ${\displaystyle [1,n]\times [1,m]}$ is given by ${\displaystyle \gamma _{x}(i,j)=(\pi _{x}(i),\sigma _{u_{x}(i)}(j))}$.두 번째 $구성{\displaystyle }$ 요소 j ${\displaystyle$ $j$$}$에 대한 작업은 첫 번째 구성 $요소{\displaystyle }$ i ${\$$displaystyle$ i$}($순열 ${\displaystyle {u{}_{}{u}_{}}_{}}$ x (${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {)}_{}}$ $∈$ S ${\displaystyle m_{}}${$u_{x}(i)}\in S_{m}})$에 따라$$ 달라지는 반면 첫 번째 구성 $요소{\displaystyle }$ i$${\$dis$$}$에 대한 작업은 두 번째 구성 $요소{\displaystyle }$ j ${\$dis와 독립적이다$$.$$$연극$ 스타일의 $j$따라서 순열 $\gamma {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}{n}_{}}$ S${\displaystyle n_{}}$ {$$m {\$displaystyle \gamma _{x$}\$in S_{n\cdot$ m$}}$을(를) 멀티플릿으로 식별할 수 있다$$.

${\displaystyle(\pi _{x};\sigma _{u_{x}(1)},\ldots,\sigma _{u_{x}(n)}}\in S_{n}\time S_{m}^{n}}}}}}}}}}}}$

다음 절에서 뒤틀린 형태로 쓰여질 것이다.

S(m)와 S(n)의 화환제품

$단일{\displaystyle {}_{}}$ 표현에서 두 번째 성분으로 발생한 순열 ${\displaystyle {perm}_{}}$ x ${\$

${\displaystyle {\displaysty}G\to K\wr S_{n\cdot m}\\x\mapsto(k_{x}(1,1),\ldots ,k_{x}(n,m);\gamma _{x}\case}}}}}}}}$

앞의 절에서, 매우 특별한 종류다.그것들은 해당 매트릭스$(직사각형$ 배열)의 n ${\displaystyle$$$[1,$n]\times [$1,m$]}$ 행에$$$$ 세트 [1$,{\displaystyle n}$ ${\displaystyle \times }$ [${\displaystyle 1}$,$m$의 자연적 장비화의 스태빌라이저에 속한다.이전 절의 Artin 전송 구성의 특수성을 이용하여, 이 스태빌라이저가 ${\displaystyle {}_{}}$$\{{\displaystyle 1}$…에 대하여$$ S ${\displaystyle m_{}}$${\$${m}\wr S_{n}}}$ 대칭군 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$${\$의 화환 제품에 이형성이 있음을 보여 준다.${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots,n$ 그 기본 집합 $S{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$은(는) 다음과 같은 구성 법칙을 부여받는다$$.

${\displaystyle {\begin{aligned}(10)\quad \forall x,z\in G:\qquad \gamma _{x}\cdot \gamma _{z}&=(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(n)};\pi _{x})\cdot (\sigma _{u_{z}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{z}(n)};\pi _{z})\\&=(\sigma _{u_{x}(\pi _{z}(1))}\circ \sigma _{u_{z}(1)},\ldots ,\sigma _{u_{x}(\pi _{z}(n))}\reason \u_{z}(n);\pi _{x}\pi \x}\pi _{xz}(1)}\&=(\cdma _{u_{xz}(1)},\ldma _{xz};\pi _{xz}\&gt;}\={liged}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

This law reminds of the chain rule ${\displaystyle D(g\circ f)(x)=D(g)(f(x))\circ D(f)(x)}$ for the Fréchet derivative in ${\displaystyle x\in E}$ of the compositum of differentiable functions ${\displaystyle f:$${\displaystyle E}$$\to F}$ 및$$ $g{\displaystyle }$: ${\displaystyle F}$→ G ${\displaystyle g:$완전한 표준 공간 사이의$$ F$\to G}$

위의 고려사항은 세 번째 대표인 스태빌라이저 대표성을 확립한다.

${\displaystyle {\displaysty}G\to S_{m}\wr S_{n}\x\mapsto(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots,\sigma _{u_{x}(n);\pi _{x}\case}}}}}}}}}}$

화환 제품 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ {\$displaystyle S_{m}\wr S_{n}}$에 $있는{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle G$} 그룹의 경우 순열 표현 및 단일 표현과 유사하다$.$후자와 반대로 스태빌라이저 대표성은 일반적으로 주입될 수 없다.예를 들어 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$이(가) 무한인 경우 확실히 그렇지 않다.공식(10)은 다음과 같은 진술을 증명한다.

정리.스태빌라이저 표현

${\displaystyle {\displaysty}G\to S_{m}\wr S_{n}\x\mapsto \gamma _{x}=(\sigma _{u_{x}(1)},\ldots ,\{u_{x}(n);\pi _{x}엔드}$

대칭 그룹의$$ 화환 제품 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\$에 있는$$ $그룹{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle G}$의 그룹은 동일형 집단이다.

사이클 분해

$그룹{\displaystyle }$ G${\displaystyle }$${\displaystyle G}$ 및$$$$$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mapsto }$ ↦ ${\displaystyle {}_{}}$ π x ${\displaystyle x_{}}$ x${\displaystyle {}_{}}$x ${$ {$\$$displaystyle$ $N$${\displaystyle {}_{}}$의 $부분군{\displaystyle }$ H ${\$$displaystystyle$H}의 왼쪽 횡단$(g_{n},$ $displaystystystyle$ $\$$pi _{x})$이 연관 표현되도록 한다.

정리.^{[1][3][4][5][8][9]}Suppose the permutation ${\displaystyle \pi _{x}}$ decomposes into pairwise disjoint (and thus commuting) cycles ${\displaystyle \zeta _{1},\ldots ,\zeta _{t}\in S_{n}}$ of lengths ${\displaystyle f_{1},\ldots f_{t},}$ which is unique up to the ordering of the cycles.좀 더 명시적으로, 다음과 같이 가정한다.

${\displaystyle (11)\quad \left(g_{j}H, g_{\zeta_{j}H, g_{j}^{{j}^{j}}H,\ldots, g_{j_{j}^{f_{j}-1}-1}(j)}H\right)=\왼쪽(g_{j}H,xg_{j}H,x^{2}G,\ldots,x^{f_{j}-1}g_{j}H\right),}$

$1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1\\leq$ j$\leq t}$및 $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle \cdots }$+ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t_{}}$= n${\displaystyle }$. ${\displaystyle f_{1}+\cdots +f_{t}=n.}$의 경우$$ 그런 다음 Artin $전송$에 ${\displaystyle \mathrm{따른}}$ x${\displaystyle }$g$$G {\$displaystyle x\in$G}의 이미지는

${\displaystyle (12)\quad T_{G,H}(x)=\prod _{j=1}^{j}g_{j}^{-1}x^{f_{j}g_{j}}\cdot H'.}$

주기 분해는 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle$$(\langle x\angle$ ,$H)$의 (${\displaystyle ⟨}$ x ${\displaystyle ⟩}$, ${\displaystyle H}$) ${\displaystyle$ (\langle x\angle ,H$)}$ 이중$$ 코셋 분해에 해당한다$.$

${\displaystyle G=\bigsqcup _{j=1}^{t}\langle x\angle g_{j}H}$

그것은 E가 부여한 전이 동형성의 이 순환 분해 형태였다.아르틴은 1929년 초기의 논문을 썼다.^[3]

정규 부분군으로 이동

Let ${\displaystyle H}$ be a normal subgroup of finite index ${\displaystyle n}$ in a group ${\displaystyle G}$. Then we have ${\displaystyle xH=Hx}$, for all ${\displaystyle x\in G}$, and there exists the quotient group ${\displaystyle G/H}$ of order ${\displaystyle n}$. Foran element ${\displaystyle x\in G}$, we let ${\displaystyle f:=\mathrm {ord} (xH)}$ denote the order of the coset ${\displaystyle xH}$ in ${\displaystyle G/H}$, and we let ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{t})}$ be a left transversal of the subgroup ${\displaystyle }$${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle x}$,${\displaystyle H}$ $display$ {\$displaystyle$$\langle x$$,$$H\rangele$ $\},$ $여기$서 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$/ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle t=n/f$

정리.Artin transfer $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$, ${\displaystyle H_{}}$ ${\$ T_${G,H}$ $아래$의 x${\displaystyle g}$ G$${\$displaystyle$ t_{G,$H$$}$의 이미지는 다음과$$ 같다.

${\displaystyle }($$14$) $T$ G${\displaystyle {}_{}}$,$H$( $x$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ j${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= 1 ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}}$- $1 x$f$j$ ⋅${\displaystyle {}^{}}$′ ′ { { { { { {$${ { { { { { { { { { { { { { { { {${$ { {, { { { { { { { { { { { { { { { { { { { { {$${ { { { { { { { { { {

코롤러리.${\displaystyle \mathrm{특히}}$ 요소 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ H ${\displaystyle x\in H}$의 내부 전달은 다음과 같은 상징적 힘으로 주어진다$$.

${\displaystyle (16)\quad T_{G,H}(x)=x^{\mathrm {Tr} _{G}(H)}\cdot H'}$

미량 원소로

${\displaystyle (17)\quad \mathrm {Tr} _{G}(H)=\sum _{j=1}^{t}g_{j}\in \mathb {Z}[G]}$

$기호{\displaystyle }$ 지수로 G$$$$ {\$displaystyle G}$의$$H {\$displaystyle$ H$}$을(를) 사용한다$.$

다른 극단으로는 G/${\displaystyle G/H$을(를) 생성하는$$ 요소 x$x{\displaystyle }$ G ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle$ x\$in$G\$setminus H}$의 외부 전달이 있다.${\displaystyle }즉{\displaystyle }$, ${\displaystyle G}$ = ${\displaystyle ⟨}$ x${\displaystyle ,}$ H$⟩, Langle$ $\}.$

그것은 단지 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ th의$$ 전력일 뿐이다.

${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 18}$) ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle G_{}}$, H${\displaystyle {}_{}}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ H$\text{'}\}.$

정상 서브그룹으로의 이전은 후속편에서 가장 중요한 경우가 될 것인데, 이 글의 중심 개념인 후예나무에 추가적인 구조를 내포한 아르틴 패턴은 G $그룹{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ G$}$에서 중간 $그룹{\displaystyle {}^{}}$ G ${\displaystyle \prime }$ ${\displaystyle H}$ display G {\$displaystyle G'\$로 이전하는 대상과 알맹이로 구성되어 있기 때문이다.$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$과(와) $G{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ G$'}$ 사이의$$ $leq$ H$\leq$ G$\}.$ 이러한 중간 그룹에 대해 다음과 같은 보조정리기가 있다.

보조정리. 정류자 부분군을 포함하는 모든 부분군은 정상이다.

가장 간단한 상황에서 Artin 전송의 명시적 구현은 다음 절에 제시되어 있다.

연산 구현

타입의 아벨리안화(p,p)

Let ${\displaystyle G}$ be a p-group with abelianization ${\displaystyle G/G'}$ of elementary abelian type ${\displaystyle (p,p)}$. Then ${\displaystyle G}$ has ${\displaystyle p+1}$ maximal subgroups ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$ of index ${\displaystyle p}$${\displaystyle$

보조정리. 이 특별한 경우, 모든 최대 부분군의 교차점으로 정의되는 Frattini 부분군은 정류자 부분군과 일치한다.

Proof. To see this note that due to the abelian type of ${\displaystyle G/G'}$ the commutator subgroup contains all p-th powers ${\displaystyle G'\supset G^{p},}$ and thus we have ${\displaystyle \Phi (G)=G^{p}\cdot G'=G'}$.

각 $1{\displaystyle \mathrm{}}$≤ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle \mathrm{p}}$+ 1 ${\displaystyle 1\leq i\leq p+1}$에 대해$$${\displaystyle {Ti}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$/ H ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$G\to H_{i}/H_{i}'}$는 아르틴 전이 동형상이다.According to Burnside's basis theorem the group ${\displaystyle G}$ can therefore be generated by two elements ${\displaystyle x,y}$ such that ${\displaystyle x^{p},y^{p}\in G'.}$ For each of the maximal subgroups ${\displaystyle H_{i}}$, which are also normal we need a generator${\displaystyle h_{i}}$ with respect to ${\displaystyle G'}$, and a generator ${\displaystyle t_{i}}$ of a transversal ${\displaystyle (1,t_{i},t_{i}^{2},\ldots ,t_{i}^{p-1})}$ such that

${\displaystyle {\reasoned}H_{i}&=\langle h_{i},G'\angle \\g&=\langle t_{i},H_{i}\rangele =\bigsqcup _{j=0}^{p-1}t_{i}^{j}H_{i}\end{aigned}}}$

편리한 선택은 다음에 의해 주어진다.

${\displaystyle (19)\case}h_{1}=y\\t_{1}=x\h}=xy^{i-2}\leq p+1\t_{i}=y&2\leq p+1\case}}}$

그런 다음 각 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ p${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1\leq$ i$\leq p+1}$에 대해 내부 및 외부 전송을 구현하기 위해 방정식(16)과 (18)을 사용한다.

${\$$&=h_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(H_{i})}\cdot H_{i}'=h_{i}^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\cdots +t_{i}^{p-1}}\cdot H_{i}'=h_{i}\cdot \left(t_{i}^{-1}h_{i}t_{i}\right)\cdot \left(t_{i}^{-2}h_{i}t_{i}^{2}\right)\cdots \left(t_{i}^{-p+1}h_{i}t_{i}^{p-1}\right)\cdot H_{i}'=\left(h_{i}t_{i}^{-1}\right)^{p}t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\\(21)\quad T_{i}(t_{i})$$&=t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\end{aigned$

$그{\displaystyle }$ 이유는 G${\displaystyle }$/ ${\displaystyle H_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle G/H_{i},}$ ${\displaystyle \mathrm{o<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; G/H\_\{i\},\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/23d41e65b2db9ad3a7dde71af5f5c4c651843d58"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:6.367ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="371">}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}(}$ h ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrmatrm {ord}(h_{i})$이기 때문이다.$H_{i}=1$} 및$$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ r ${\displaystyle \mathrm{d}({}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {Hi}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$. ${\displaystyle \mathrm {ord}(t_{i})$$H_{i}=p.$$}$

Artin 전송 ${\displaystyle {Ti}_{}}$ ${\$의 완전한 사양에는 파생된 하위 그룹 ${\displaystyle {Hi}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에 대한 명시적 지식도$$ $필요$하다$.$ G${\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystyle$$$$G'}$은 ${\displaystyle {Hi}_{}}${\$displaystystyle H_{i}}}}$의 인덱스$p$의 정상적인 하위 그룹이기 때문이다$.$tion은 ${\displaystyle {Hi}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle H_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$, ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$= (${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {h{}_{}}^{}}$ -${\displaystyle {{}_{}1}^{}}$, ${\displaystyle H_{i}'=[]$로 가능하다.$H_{i},H_{i}]=[G',H_{i}]=(G')^{h_{i}-1},}$^[10] but a presentation of ${\displaystyle G}$ must be known for determining generators of ${\displaystyle G'=\langle s_{1},\ldots ,s_{n}\rangle }$, whence

${\displaystyle (22)\quad H_{i}'=^{h_{i}-1}=\langle [s_{1}, h_{i}],\ldots ,[s_{n},h_{i}]\rangle .}$

타입의 아벨리안화(p²,p)

Let ${\displaystyle G}$ be a p-group with abelianization ${\displaystyle G/G'}$ of non-elementary abelian type ${\displaystyle (p^{2},p)}$. Then ${\displaystyle G}$ has ${\displaystyle p+1}$ maximal subgroups ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$ of index ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle p+1}$ subgroups ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{p+1}}$ of index ${\displaystyle p^{2}.}$ For each ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,p+1\}}$ let

${\displaystyle {\reasoned}T_{1,i:G&\to H_{i}/H_{i}'\\T_{2,i:G&\to U_{i}/U_{i}'\end{aigned}}}$

아르틴 전이 동형상이다번사이드의 기본 정리는 $그룹{\displaystyle }$ G ${\displaystyle G}$이(가) ${\displaystyle x}$ x${\displaystyle }$, y ${\displaystyle x,y},$ $x{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {p{}^{}}^{}}$ ${\displaystyle {{2\mathrm{}}^{}}^{}}$,${\displaystyle {{}^{}}^{}}$y ${\displaystyle p^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}.}$ ${\displaysty x^{p^{2}},y^{p}\in G'$과 같은 두 개의 $요소$에 의해 생성될 수 있다고$$ 주장한다.$}$

우리는 첫 번째 부분군 층을 고려하는 것으로 시작한다.일반 부분군 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 대해 제너레이터를 선택하십시오$.$

${\displaystyle (23)\filency h_{i}=xy^{i-1}$

such that ${\displaystyle H_{i}=\langle h_{i},G'\rangle }$. These are the cases where the factor group ${\displaystyle H_{i}/G'}$ is cyclic of order ${\displaystyle p^{2}}$. However, for the distinguished maximal subgroup ${\displaystyle H_{p+1}}$, for which요인 그룹 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$/ ${\displaystyle G{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은$({\displaystyle }$는) 유형(${\displaystyle p}$, ${\displaystyle p}$) ${\displaystyle(p,p)}$의 자전거로$,$ 다음 두 개의 발전기가 필요하다.

${\displaystyle (24)\case}h_{p+1}=y\\h_{0}=x^{p}\case}}}}$

such that ${\displaystyle H_{p+1}=\langle h_{p+1},h_{0},G'\rangle }$. Further, a generator ${\displaystyle t_{i}}$ of a transversal must be given such that ${\displaystyle G=\langle t_{i},$$H\_{\displaystyle \mathrm{}}$${i}\rangele }$ 각 1 ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i\le }$ ${\displaystyle p}$ + ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq p+1}$에 대해 $.$정의하기 편리하다.

${\displaystyle (25)\displaystyle{case}t_{i}=y&1\leq i\leq p\\t_{p+1}=x\end{case}}}}}$

그런 다음 각 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ p + ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq p+1}$에 대해$$내부 및 외부 전송:

${\displaystyle {\begin}(26)\quad T_{1,i}(h_{i})&=h_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(H_{i})}\cdot H_{i}'=h_{i}^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\ldots +t_{i}^{p-1}}\cdot H_{i}'=\left(h_{i}t_{i}^{-1}\right)^{p}t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\\(27)\quad T_{1,i}(t_{i})&=t_{i}^{p}\cdot H_{i}'\end{aigned}}}$

$o{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}(}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {ord}(h_{i})$ 이후${\displaystyle \mathrm{H\_}}$${i}=1}$및$$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ r ${\displaystyle \mathrm{d}(t_{}}$ i H ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$= p ${\displaystyle \mathrm {ord}(t_{i})$$H_{i}=p}$.

이제 우리는 두 번째 부분군 층을 고려하면서 계속한다.각 일반 $부분군{\displaystyle {}_{}}$ U ${\displaystyle i_{}}$ ${\$에 대해 제너레이터를 선택하십시오$.$

${\displaystyle (28)\case}u_{1}=y\\u_{i}=x^{p^{p-1}{p-1}#2\leq i\leq p\c\u_{p+1}=x^{p}\case}}}}}}$

such that ${\displaystyle U_{i}=\langle u_{i},G'\rangle }$. Among these subgroups, the Frattini subgroup ${\displaystyle U_{p+1}=\langle x^{p},G'\rangle =G^{p}\cdot G'}$ is particularly distinguished.$생성자{\displaystyle }$ t${\displaystyle {}_{}}$ $w{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$, w i ${\$${\displaystyle {w\_}_{}}$${i}}$을(를) 정의하는 균일한 방법. G${\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ U ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle$ G$=\langle t_},w_{i},$$U_{i}\rangele }$을$($를) 설정하려면

${\displaystyle (29)\case}t_{i}=x&1\leq i\\leq p\\w_{i}=x^{p}&1\leq i\leq p\t_{p+1}=x\w_{p+1}=y\end{case}}}}}}}}}}}}}}"$

$o{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{r}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}(}$ ${\displaystyle u_{}}$ I ${\displaystyle U_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mathrm {ord}(u_{i})$ 이후$U_{i}=1$ 그러나 다른 한편으로는 ${\displaystyle \mathrm{o}}$ r ${\displaystyle \mathrm{d}({}_{}}$ I ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$$U_{i}=p^{2}}$ 및$$ ${\displaystyle \mathrm{o}}$ r${\displaystyle ({}_{}}$ I ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \mathrm {ord}(w_{i})$$U_{i}=p$${\displaystyle \},}$$$${\displaystyle \mathrm{or}}$ ${\displaystyle \mathrm{d}{(}_{}{}_{}}$${\displaystyle \mathrm{p}}$+ 1 ${\displaystyle {\mathrm{U}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ) = p {\$displaystyle$$$1$\$$leq$ i${\displaystyle {}_{}}$$leq$ p$+1$}, ${\displaystyle 단}$ $하나$의 예외로$,$ ord$(t_{p+1}U_{p+1}=p$ 내부 및 전송에 대해 다음 식을 얻는다.

${\displaystyle {\begin}(30)\quad T_{2,i}(u_{i})&=u_{i}^{\mathrm {Tr} _{G}(U_{i})}\cdot U_{i}'=u_{i}^{\sum _{j=0}^{p-1}\sum _{k=0}^{p-1}w_{i}^{j}t_{i}^{k}}\cdot U_{i}'=\prod _{j=0}^{p-1}\prod _{k=0}^{p-1}(w_{i}^{j}t_{i}^{k})^{-1}u_{i}w_{i}^{j}t_{i}^{k}\cdot U_{i}'\\(31)\quad T_{2,i}(t_{i})&=t_{i}^{p^{2}}\cdot U_{i}'\end{aigned}}}}$

예외적으로

${\displaystyle {\begin{aligned}&(32)\quad T_{2,p+1}\left(t_{p+1}\right)=\left(t_{p+1}^{p}\right)^{1+w_{p+1}+w_{p+1}^{2}+\ldots +w_{p+1}^{p-1}}\cdot U_{p+1}'\\&(33)\quad T_{2,i}(w_{i})=\left(w_{i}^{p}\right)^{1+t_{i}+t_{i}^{2}+\ldots +t_{i}^{p-1}}\cdot U_{i}'&&1\leq i\leq p+1\end{aligned}}}$

Artin 전송의 동작을 완전히 지정하려면 파생된 하위 그룹 ${\displaystyle {Hi}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$와 ${\displaystyle {Ui}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$의 구조를 알아야 한다$$.

커널 및 대상 전송

Let ${\displaystyle G}$ be a group with finite abelianization ${\displaystyle G/G'}$. Suppose that ${\displaystyle (H_{i})_{i\in I}}$ denotes the family of all subgroups which contain ${\displaystyle G'}$ and are therefore necessarily normal, enumerated by a finite index set ${\displaystyle I}$${\displaystyle I$ 각 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \in }$ I ${\displaystyle i\in I$에 ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle {T{G}_{}}_{}}$, H i {\$displaystyle T_{i}:$$=T_{G,H_{i}}}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 아벨리안화 $H{\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}^{}H{}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\$으)로의$$ Artin 이전이다$.$

정의.^[11]정상 하위 그룹의 제품군 $\varkappa {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle H_{}}$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle {Ti}_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}${ ${\displaystyle I_{}}$ ${\$$_{i\in I}}$과(와) 관련, $G{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $G}$의 전송 커널 유형(TKT)으로 불리며$$$,$${\displaystyle }$(${\displaystyle H_{}{}_{}}$) ${\displaystyle I_{}}$ I {$_{i}_{i\in$ I$}$ 및 아벨리아화 계열(resp)이다.their abelian type invariants) ${\displaystyle \tau _{H}(G)=(H_{i}/H_{i}')_{i\in I}}$ is called the transfer target type (TTT) of ${\displaystyle G}$ with respect to ${\displaystyle (H_{i})_{i\in I}}$. Both families are also called multiplets whereas a single 구성요소는 singlet라고 불릴 것이다.

이러한 개념에 대한 중요한 예는 다음의 두 섹션에 제시되어 있다.

타입의 아벨리안화(p,p)

Let ${\displaystyle G}$ be a p-group with abelianization ${\displaystyle G/G'}$ of elementary abelian type ${\displaystyle (p,p)}$. Then ${\displaystyle G}$ has ${\displaystyle p+1}$ maximal subgroups ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$ of index ${\displaystyle p}$${\displaystyle p$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}$ p${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle i\in \{1,\ldots,p+1\}}$을(를) ${\displaystyle {Ti}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ $/$ {\$displaystytle T_{i}:$$G\to H_{i}/H_{i}'}$는 아르틴 전이 동형성을 나타낸다.

정의.The family of normal subgroups ${\displaystyle \varkappa _{H}(G)=(\ker(T_{i}))_{1\leq i\leq p+1}}$ is called the transfer kernel type (TKT) of ${\displaystyle G}$ with respect to ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$.

비고. 간결성을 위해 TKT는 멀티플릿 (${\displaystyle \varkappa }$( ${\displaystyle i}$)${\displaystyle {}_{1\mathrm{}}}$ ${\displaystyle {\le }_{}}$ i${\displaystyle {\le }_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ + ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$i\$leq$ p$+1}$로 식별된다$.$

${\displaystyle \varkappa (i)={\begin{case}0&\ker(T_{i})=G\\j&\ker(T_{i})=H_{j}{\text{{{}}{{1}\leq j\leq p+1\end{case}}일부 }}$

여기서는 전송 대상 ${\displaystyle {Hi}_{}{H}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$ $\ker(T_$${i}})$가 아벨이므로$$ 각 전송 커널 kernel ${\displaystyle \ker }$ker${\$displaystyle $G}$의 정류자 $하위{\displaystyle {}^{}}$ 그룹 G$$′ ${\$$displaystyle G$$'}$을(를) 포함해야 함을 고려한다$.$그러나 최소 케이스 ${\displaystyle \ker }$ ker${\displaystyle }$(T${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$′ ${\$$G'}$은(는) 발생할 수 없다$$.

비고. 최대 부분군 ${\displaystyle {Ki}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\pi }_{}}$( ${\displaystyle i_{}}$) ${\$의 반복$H_{\pi (i)}}$ and of the transfers ${\displaystyle V_{i}=T_{\pi (i)}}$ by means of a permutation ${\displaystyle \pi \in S_{p+1}}$ gives rise to a new TKT ${\displaystyle \lambda _{K}(G)=(\ker(V_{i}))_{1\leq i\leq p+1}}$ with respect t${\displaystyle o}$ $K{\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, …${\displaystyle }$,${\displaystyle K_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathrm{K\_}}$${p+1$${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\le }_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ + ${\displaystyle 1_{}}$ { i + 1${\displaystyle {}_{}}${ p + 1 $\$ 여기서 확인$.$

${\displaystyle \lambda(i)={\begin{case}0&\ker(V_{i})=G\\j&\ker(V_{i})=K_{j}{\text{{{}}{\text{{}}일부 }1\leq j\leq p+1\case}}}}$

TKTs $\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle K_{}}$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$~ ${\displaystyle \varkappa }$ H${\displaystyle {}_{}}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \lambda _{K}(G)\sim \varkappa _{H}(G)}$을 동등한 것으로$$ 보는 것이 적당하다.우리가 해왔기 때문에.

${\displaystyle K_{\lambda(i)}=\ker(V_{i})=\ker(T_{\pi(i)}}=H_{\varkappa(\pi(i))}}=K_{\tilde {\pi }^{-1}(\varkappa(\pi(i))}}}$

the relation between ${\displaystyle \lambda }$ and ${\displaystyle \varkappa }$ is given by ${\displaystyle \lambda ={\tilde {\pi }}^{-1}\circ \varkappa \circ \pi }$. Therefore, ${\displaystyle \lambda }$ is another representative of the orbit ${\displaystyle \varka$$ppa ^{S_{p+1}}}$ of ${\displaystyle \varkappa }$ under the action ${\displaystyle (\pi ,\mu )\mapsto {\tilde {\pi }}^{-1}\circ \mu \circ \pi }$ of the symmetric group ${\displaystyle S_{p+1}}$ on the set of all mappings from ${\di$$splaystyle \{1,\ldots ,p+1\}\to \{0,1,\ldots ,p+1\},}$ where the extension ${\displaystyle {\tilde {\pi }}\in S_{p+2}}$ of the permutation ${\displaystyle \pi \in S_{p+1}}$ is defined by ${\displaystyle {\tilde {\pi }}(0)=0,}$ and formally ${\displaystyle H_0=G,K_0=G}$${\displaystyle H_{0}=G,K_{0}=G.$$}$

정의.궤도 $\varkappa {\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {S{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{\mathrm{p}}_{}}^{}}$+ 1 ${\$는 대표$$$representative{\displaystyle }$ ${\displaysty$ \$varkappa }$의 불변성으로, 그 전달 커널 타입으로 잠깐 TKT라고 불린다.

비고$.{\displaystyle \mathrm{}}$ # ${\displaystyle H_{\mathrm{}}}$ 0${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle :=\mathrm{}}$#${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle p}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \mid }$ ϰ${\displaystyle \varkappa }$ ( ${\displaystyle i}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle \#{\mathcal \H}_{0}(G):$$=\#\{1\leq i\leq p+1\mid \varkappa$${\displaystyle ({}_{}}$$0\}}$ =${\displaystyle }$G ${\displaystyle \ker(T_{i})$의 카운터$=G}$, 그룹 $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 불변성$.$ 1980년에 S. M. Chang과 R.Foote[12], 어떤 이상한 총리 p{p\displaystyle}과 정수 0≤ n≤을 위해 p+1{\displaystyle 0\leq n\leq p+1}을 증명했다,metabelian p-groups G{G\displaystyle}{\displaystyle(p,p)}형식(p, p)의 abelianization G/G′{\displaystyle G/G의}을 보내고 있는 것처럼#H 0(G)=존재한다.n${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)=n}$. However, for ${\displaystyle p=2}$, there do not exist non-abelian ${\displaystyle 2}$-groups ${\displaystyle G}$ with ${\displaystyle G/G'\simeq (2,2)}$, which must be metabelian of maximal class, such that ${\displ$$aystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)\geq 2}$. Only the elementary abelian ${\displaystyle 2}$-group ${\displaystyle G=C_{2}\times C_{2}}$ has ${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)=3}$. See Figure 5.

카운터${\displaystyle \mathrm{}}$# ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \#{{\mathcal{H}_{0}(G$에 대한 다음 구체적인 예와 이 글의 나머지 부분에서는 H. U. Besche, B에 의한 SmallGroups 라이브러리에서 유한 p-group의 식별자를 사용한다.에이크와 에이. 오브라이언.^[13][14]

$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle p=3}$의 경우$,$

• ${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)=0}$ for the extra special group ${\displaystyle G=\langle 27,4\rangle }$ of exponent ${\displaystyle 9}$ with TKT ${\displaystyle \varkappa =(1111)}$ (Figure 6),
• ${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)=1}$ for the two groups ${\displaystyle G\in \{\langle 243,6\rangle ,\langle 243,8\rangle \}}$ with TKTs ${\displaystyle \varkappa \in \{(0122),(2034)\}}$ (Figures 8 and 9),
• ${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)=2}$ for the group ${\displaystyle G=\langle 243,3\rangle }$ with TKT ${\displaystyle \varkappa =(0043)}$ (Figure 4 in the article on descendant trees),
• ${\displaystyle \mathrm{\#}}$ ${\displaystyle H_{\mathrm{}}}$ ${\displaystyle 0{}_{}}$( G${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= $그룹$ G$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle 81,}$ ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle G=\langle 81,$ TKT $\varkappa {\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle 2000}$) ${\$displaystyle $\varkappa =(2000)}$ ${\$$displaysty$ $\#{\mathcal {H}{0}(G)=3}=$3}}=3$}}}}}}}}}}}}}}=3}}}}).$
• ${\displaystyle \#{\mathcal {H}}_{0}(G)=4}$ for the extra special group ${\displaystyle G=\langle 27,3\rangle }$ of exponent ${\displaystyle 3}$ with TKT ${\displaystyle \varkappa =(0000)}$ (Figure 6).

타입의 아벨리안화(p²,p)

$G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$을(를$)$ 비원소 아벨리안 유형$({\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}p}$)의$$ 아벨리안화 $G{\displaystyle /G{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$$displaystyle$ $G/G'}$을(를) 가진 p-그룹으로 한다$$$(p^{2},p).$$}$ Then ${\displaystyle G}$ possesses ${\displaystyle p+1}$ maximal subgroups ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$ of index ${\displaystyle p}$ and ${\displaystyle p+1}$ subgroups ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{p+1}}$ of index ${\displaystyle p^2.}$${\displaystyle p^{2}.$$}$

가정.가정하다

${\displaystyle H_{p+1}=\prod _{j=1}^{p+1}U_{j}}$

저명한 최대 부분군이며

${\displaystyle U_{p+1}=\빅캡 _{j=1}^{p+1}H_{j}}$

$모든{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {최대\mathrm{}}^{}}$ 부분군의 교차점으로서 G {\$displaystyle$ $G}$의 Frattini 부분군 $){\$$displaystyle$ $\Phi(G)}$인 지수$$ p 2${\$ p$^{2}}$의 구분 부분군이다$.$

첫 번째 층

각 $1{\displaystyle \mathrm{}}$≤ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle p}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1\leq$ i$\leq p+1}$에 대해 $T{\displaystyle {}_{}}$ 1,$$I :${\displaystyle {G\mathrm{}}_{}}$→ ${\displaystyle H_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$/ ${\displaystyle H{}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$G\to H_{i}/H_{i}'}$는 아르틴 전이 동형성을 나타낸다.

정의.The family ${\displaystyle \varkappa _{1,H,U}(G)=(\ker(T_{1,i}))_{i=1}^{p+1}}$ is called the first layer transfer kernel type of ${\displaystyle G}$ with respect to ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{p+1}}$ and ${\displaystyle U_1,\dots ,U_{p+}}$${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ 그리고 (${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 1{}_{}}$(${\displaystyle {}_{}^{}}$i ) ${\displaystyle i_{}^{}}$ =${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}_{}^{}}$+ 1 ${\displaystyle$ (\varkappa $_{1}(i))$과 동일하다.$_{i=1}^{p+1$ 어디에

${\displaystyle \varkappa _{1}(i)={\begin}0&\ker(T_{1,i})=H_{p+1},\\j&\ker(T_{1,i})=U_{j}{\text{{{}}{{{{}}} 일부의 경우, }}{{1}\leq j\leq p+1.\end{case}}}$

Remark. Here, we observe that each first layer transfer kernel is of exponent ${\displaystyle p}$ with respect to ${\displaystyle G'}$ and consequently cannot coincide with ${\displaystyle H_{j}}$ for any ${\displaystyle 1\leq j\leq p}$, since ${\displaystyle H_{j}/G'}$ is cy순서 $p{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$${\displaystyle$ p$^{2$ 반면 ${\displaystyle H_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$/ ${\displaystyle G{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$는 유형$({\displaystyle p}$, p ${\displaystyle )}$의 자전거 입니다$.$

두 번째 층

각 $1{\displaystyle \mathrm{}}$≤ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle p}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq p+1}$에 대해 $T{\displaystyle {}_{2\mathrm{}}}$,$$I $:$${\displaystyle {}_{}{G}_{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$/ U ${\displaystyle i{}_{}^u}$ ${\$$G\to U_{i}/U_{i}'}$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$에서 U ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ U_${i}}$의 아벨리안화로의 아르틴 전이 동형상이다$.$

정의.The family ${\displaystyle \varkappa _{2,U,H}(G)=(\ker(T_{2,i}))_{i=1}^{p+1}}$ is called the second layer transfer kernel type of ${\displaystyle G}$ with respect to ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{p+1}}$ and ${\displaystyle H_1,\dots ,H_{p+}}$${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle i{}_{}^{}}$) ${\displaystyle i_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle 1_{}^{}}$, ${\displaystyle (\varkappa _{2}(i))$과 동일하다.$_{i=1}^{p+1},$ 여기서$$

${\displaystyle \varkappa _{2}(i)={\begin}0&\ker(T_{2,i})=G,\\j&\ker(T_{2,i}=}H_{j}{\text{{}}{{{{}}{{}}}{{{}}}{{{}}}{{}}}}{{}}}}\end{case}}}$

전송 커널 유형

Combining the information on the two layers, we obtain the (complete) transfer kernel type ${\displaystyle \varkappa _{H,U}(G)=(\varkappa _{1,H,U}(G);\varkappa _{2,U,H}(G))}$ of the p-group ${\displaystyle G}$ with respect to ${\displa$$ystyle H_{1},\ldots, H_{p+1},$ U$$${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ $U_{p+1}.$

비고. ${\displaystyle {\mathrm{구별}}_{}}$되는 부분군 ${\displaystyle H_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$+ 1 ${\$ $및$ U${\displaystyle p_{}}$ +${\displaystyle {}_{}{1}_{}}$ = ${\displaystyle \mathrm{\phi }}$(${\displaystyle G}$ ) ${\displaystyle U_{p+1}=\Phi(G)}$은 G$${\$displaysty G}$의 고유한 불변성분임으로$$, 반복해서는 안 된다.그러나 나머지 최대 부분군 ${\displaystyle {Ki}_{}}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\tau }_{}}$( ${\displaystyle i_{}}$)${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ p$){\displaystyle K_{i}=$의 독립적 반복.${\displaystyle {H\_\mathrm{}}_{}}$${\\tau (i)}(1\leq i\leq p)}$ 및$$ $전송{\displaystyle {}_{}}$ V 1, i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle {T\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {\tau }_{}}$( i${\displaystyle {}_{}}$) ${\$$T_{1,\tau (i)}}$ by means of a permutation ${\displaystyle \tau \in S_{p}}$, and of the remaining subgroups ${\displaystyle W_{i}=U_{\sigma (i)}(1\leq i\leq p)}$ of index ${\displaystyle p^{2}}$ and the transfers ${\displaystyle V_{2,i}$$=T_{2,\sigma (i)}}$ by means of a permutation ${\displaystyle \sigma \in S_{p}}$, give rise to new TKTs ${\displaystyle \lambda _{1,K,W}(G)=(\ker(V_{1,i}))_{i=1}^{p+1}}$ with respect to ${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{p+1}}$및 W ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… , ${\displaystyle W_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$( ${\displaystyle i{}_{}^{}}$) ${\displaystyle i_{}^{}}$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ${\$로 식별됨$_{i=1}^{p+1$ 어디에

${\displaystyle \lambda _{1}(i)={\begin}0&\ker(V_{1,i})=K_{p+1},\\j&\ker(V_{1,i})=W_{j}{\text{{{}}{{}}{{1}\leq j\leq p+1,\end{case}}}일부 }$

and ${\displaystyle \lambda _{2,W,K}(G)=(\ker(V_{2,i}))_{i=1}^{p+1}}$ with respect to ${\displaystyle W_{1},\ldots ,W_{p+1}}$ and ${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{p+1}}$, identified with ${\displaystyle ({\lambda }_2(i){)}_i^{}}$${\displaystyle(\\da _{2}(i))$$_{i=1}^{p+1},$ 여기서$$

${\displaystyle \lambda _{2}(i)={\begin}0&\ker(V_{2,i})=G,\\j&\ker(V_{2,i})=K_{j}{\text{{{{}}{{{{}}} 일부의 경우, }}{{1}\leq j\leq p+1.\end{case}}}$

It is adequate to view the TKTs ${\displaystyle \lambda _{1,K,W}(G)\sim \varkappa _{1,H,U}(G)}$ and ${\displaystyle \lambda _{2,W,K}(G)\sim \varkappa _{2,U,H}(G)}$ as equivalent.우리가 해왔기 때문에.

${\displaystyle {\reasoned}W_{\lambda _{1}(i)}&=\ker(V_{1,i})=\ker(T_{1,{\hat {\tau }}}}=U_{\varkappa _{1}({\hat {\tau }}})(i)}=W_{{\tilde {\sigma }}^{-1}(\varkappa _{1}({\hat {\tau }}(i)))}\\K_{\lambda _{2}(i)}&=\ker(V_{2,i})=\ker(T_{2,{\hat {\sigma }}(i)})=H_{\varkappa _{2}({\hat {\sigma }}})(i)}}=K_{\tilde {\tau }^{-1}(\varkappa _{2}({\hat {\sigma })(i)}}}\end{aigned}}}}}}}}$

$\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\$}와$$ $\varkappa {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$ $_{$$1},$$$$\lambda {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$} 사이의$$ 관계는 다음과 같다$.$

${\displaystyle \lambda _{1}={\tilde{\\\\ma }^{-1}\varkappa _{1}\hat {\tau}}}}$

${\displaystyle \lambda _{2}={\tilde {\tau }^{-1}\i1\i1\i1\varkapa _{2}\hat {\\\ma}}}}}$

Therefore, ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2})}$ is another representative of the orbit ${\displaystyle \varkappa ^{S_{p}\times S_{p}}}$ of ${\displaystyle \varkappa =(\varkappa _{1},\varkappa _{2})}$ under the action:

${\displaystyle ((\sigma ,\tau ),(\mu _{1},\mu _{2}))\mapsto \left({\tilde {\sigma }}^{-1}\circ \mu _{1}\circ {\hat {\tau }},{\tilde {\tau }}^{-1}\circ \mu _{2}\circ {\hat {\sigma }}\right)}$

of the product of two symmetric groups ${\displaystyle S_{p}\times S_{p}}$ on the set of all pairs of mappings ${\displaystyle \{1,\ldots ,p+1\}\to \{0,1,\ldots ,p+1\}}$, where the extensions ${\displaystyle {\hat {\pi }}\in S_{p+1}}$ and ${\displaystyle \stackrel{}{\pi }}$${\displaystyle {\tilde {\pi }}\in S_{p+2}}$ of a permutation ${\displaystyle \pi \in S_{p}}$ are defined by ${\displaystyle {\hat {\pi }}(p+1)={\tilde {\pi }}(p+1)=p+1}$ and ${\displaystyle {\tilde {\pi }}(0)=0}$, and formally $$$displaystyle H_{0}=K_{0}=G,K_{p+1}=H_{$$$$U_$${0}=W_{0}=H_{p+1},$ ${\displaystyle {\mathrm{W}}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle U_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$= ${\displaystyle \mathrm{\phi }(G}$ ${\displaystyle )}$. ${\displaystyle W_{p+1}={p+1}=\Phi(G).$$}$

정의.The orbit ${\displaystyle \varkappa (G)=\varkappa ^{S_{p}\times S_{p}}}$ of any representative ${\displaystyle \varkappa =(\varkappa _{1},\varkappa _{2})}$ is an invariant of the p-group ${\displaystyle G}$ and is called its transfer kernel type, briefly TKT.

도면층 간 연결

Artin transfer $T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$i${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ U ${\displaystyle i_{}^{}{}_{}}$/ ${\displaystyle U{}_{}^{}}$ i ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$G\to U_{i}/U_{i}'}$ is the composition ${\displaystyle T_{2,i}={\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}\circ T_{1,j}}$ of the induced transfer ${\displaystyle {\tilde {T}}_{H_{j},U_{i}}:$$H_{j}/H_{j}'\to U_{i}/{i}}$에서 $U\_{\displaystyle {}_{}}$${$i}/{i}}}($으{\displaystyle {}_{}}$)로 H j ${\$으)로$$$$, Artin 전송${\displaystyle {}_{}}T{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, :${\displaystyle {}_{}G}$→ ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ /${\displaystyle {}_{}H{}_{}^{}}$ ${\displaystyle j_{}^{}.}${\$displaystystyle T_{1,j}:$$G\to H_{j}/H_{j}.'$$}$

중간 부분군에는 두 가지 옵션이 있다.

• 부분군 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…의 경우 U ${\displaystyle p_{}}$ ${\$$displaystyle$ $U_{1},\ldots$,$U_{p}}}$만 중간 ${\displaystyle {부분군}_{}}$이다${\displaystyle {.}_{}}$
• Frattini 부분군 $U{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{p}}_{}}$+ 1 =${\displaystyle {}_{}\phi }$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle U_{p+1}=\Phi(G)}$의 경우, 모든 최대 부분군 $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle H_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$는 중간 부분군이다$$.

이로 인해 두 번째 계층의 전송$$ 커널 유형 ${\displaystyle {\varkappa \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle 2{}_{}}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varkappa _{2}(G)}$에 대한 제한이 발생한다.

${\displaystyle \ker(T_{2,i})=\ker({\tilde{T}_{H_{j},U_{i}}\circule T_{1,j}\supset \ker(T_{1,j}),},}$

따라서

${\displaystyle \forall i\in \{1,\ldots,p\}:\qquad \ker(T_{2,i})\supset \ker(T_{1,p+1}).}$

하지만 심지어

${\displaystyle \ker(T_{2,p+1})\supset \left\langle \bigcup _{j=1}^{p+1}\ker(T_{1,j}\rigle.}$

Furthermore, when ${\displaystyle G=\langle x,y\rangle }$ with ${\displaystyle x^{p}\notin G',y^{p}\in G',}$ an element ${\displaystyle xy^{k-1}(1\leq k\leq p)}$ of order ${\displaystyle p^{2}}$ with respect to ${\displaystyle G'$$\}\}$은(는${\displaystyle {}_{}}$ 모든 중간 하위 그룹 U < J< G > ${\displaystyle$ $\$$ker(T_{2,i})$에$$대한 $p{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $p}$ th 전력이$$ ${\displaystyle \ker ({}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle j_{}}$)에 포함되어 있는$$ ${\displaystyle \mathrm{경우}}$에만 ker $displaysty \$$ker(T_{1$,$j})$에 속할 수 있다.H_{j}<, G}고, 따라서:)yk− 1∈ker⁡(T2, i){\displaystyle xy^{k-1}\in \ker(T_{2,i})}, 특정한 1≤에 나는, k≤ p{1\leq i,k\leq p\displaystyle}, p+1{\displaystyle \varkappa_{1}(p+1)=p+1}, 그러나)yk− 1∈ker⁡(T2, p+1){\di 첫번 째 층 TKTsingulet ϰ 1(p+1))를 실시했다.spl$aystyle xy^{k-1}\in \ker(T_{2,p+1})}$, for some ${\displaystyle 1\leq k\leq p}$, even specifies the complete first layer TKT multiplet ${\displaystyle \varkappa _{1}=((p+1)^{p+1})}$, that is ${\displaystyle \varkappa _{1}(j)=p+1}$, for all ${\dis$$재생$ 스타일 $1\leq j\leq p+1$

인용부로부터의 상속

유한$$ p-그룹 간의 모든 부모-후속 관계의 공통적인 특징은 부모 ${\displaystyle \pi }$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \pi (G)}$이(가) 적절한 정상 부분군 $N{\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ $G$$}$에 의한$$ $후위{\displaystyle }$ G ${\displaystyle$$$G}의$$ $지수{\displaystyle }$ G$N}$이라는 것이다. 따라서 동등한 $정의$를 선택할 수 있다.an epimorphism ${\displaystyle \phi :G\to {\tilde {G}}}$ with ${\displaystyle \ker(\phi )=N.}$ Then the group ${\displaystyle {\tilde {G}}=\phi (G)}$ can be viewed as the parent of the descendant ${\displaystyle G}$.

다음 절에서 이 관점은 유한한 p-그룹뿐만 아니라 일반적으로 임의집단에 대해 취해진다.

아벨리아화 통과

제안.$A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 아벨 그룹이고 ${\displaystyle \varphi }$: G${\displaystyle }$→ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \phi :G\to A}$이(가) 동형체라고 가정하자.$\Omega {\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$/ ${\displaystyle G{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$:$G\to G/G'}$은 표준 투영 지도를 나타낸다$$.Then there exists a unique homomorphism ${\displaystyle {\tilde {\phi }}:G/G'\to A}$ such that ${\displaystyle \phi ={\tilde {\phi }}\circ \omega }$ and ${\displaystyle \ker({\tilde {\phi }})=\ker(\phi )/G'}$ (See Figure 1).

증명. 이 진술은 유도 동형성에 관한 기사에서 제2차 코롤라리의 결과물이다.Nevertheless, we give an independent proof for the present situation: the uniqueness of ${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$ is a consequence of the condition ${\displaystyle \phi ={\tilde {\phi }}\circ \omega ,}$ which implies for any ${\displaystyle x\in G}$ we have:

${\displaystyle {\tilde {\\tilde {\pi(xG')={\tilde {\phi(x)}=({\tilde {\phi }}\circle \omega)=\phi(x),}$

${\displaystyle \stackrel{}{\varphi }}$~ ${\$은(는) 동형상이며, ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \in }$ G ${\displaystyle x,y\in G}$을(를) 임의로 하도록$$ 한 다음, 다음과 같이 한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\phi }}\left(xG'\cdot yG'\right)&={\tilde {\phi }}((xy)G')=\phi (xy)=\phi (x)\cdot \phi (y)={\tilde {\phi }}(xG')\cdot {\tilde {\phi }}(xG')\\\phi ([x,y])&=\phi \ft(x^{-1}y^{-1}y^{-1}xy\right)=\phi(x^{-1})\phi(x)=[\phi(x)]=1&A{\text{\text}=는 아벨리안이다.}}}\end{정렬}}$

따라서 정류자 부분군 $G{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle \subset }$ ker ker ${\displaystyle \ker }$ ker${\displaystyle }$ker${\displaystyle \ker }$ ( { ) ${\displaystyle$ G$'\subset \ker(\phi$ $)\},$ 마지막으로 $\varphi {\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$의 정의가 코제트 대표자와 독립적이라는$$ 것을 알 수 있다.

${\displaystyle {\begin{aligned}xG'=yG'&\Longrightarrow y^{-1}x\in G'\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow 1=\phi (y^{-1}x)={\tilde {\phi }}(y^{-1}xG')={\tilde {\phi }}(yG')^{-1}\cdot {\tilde {\phi }}(xG')\\&\Longrightarrow {\tilde {\phi }}(xG')={\tilde {\phi }}(yG')\end{aligned}}}$

TTT싱글릿

제안.Assume ${\displaystyle G,{\tilde {G}},\phi }$ are as above and ${\displaystyle {\tilde {H}}=\phi (H)}$ is the image of a subgroup ${\displaystyle H.}$ The commutator subgroup of ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ is the image of the commutator subgroup of ${\displayst$$Yle H.}$ 따라서$$ $\varphi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \pi }$은(는) 고유한 경구동성 ${\displaystyle \varphi \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$: ${\displaystyle H{}^{}}$/ H ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ ${\displaystyle H{\stackrel{}{}}^{}\stackrel{}{}}$~${\displaystyle {\stackrel{}{}\prime }^{}}$ ${\$을(를) 유도한다$$.$H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'}$, and thus ${\displaystyle {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'}$ is a quotient of ${\displaystyle H/H'.}$ Moreover, if ${\displaystyle \ker(\phi )\leq H'}$, then the map ${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$ is an isomorphism (See 그림 2).

증명. 이 주장은 유도 동형성에 관한 글의 주요 정리의 결과물이다.그럼에도 불구하고, 독립된 증거는 다음과 같이 제시된다: 첫째, 정류자 부분군의 이미지는 다음과 같다.

$[\displaystyle \phi(H')=\phi([H,H])=\phi(\langle [u,v] u,v\in H\rangle )=\langle [\pi(u),\pi(v)]\mid u,v\in H\rangle =[\phi(H)]=\phi(H)={tilde {H}}'}.}$

둘째, 경구체 { ${\displaystyle \pi }$은(는) 경구체 ${\displaystyle {}_{}}$ H${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle H}$→ ${\displaystyle H\stackrel{}{}}$~ ${\$로 제한될 수 있다$$.$H\to {\tilde{H$ 앞의 절에 따르면 복합 인식론$({\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle H\stackrel{}{}{\stackrel{}{}}_{}}$~${\displaystyle {}_{}\varphi {\stackrel{}{}}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle }$: H${\displaystyle }$→ H${\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$/ H ~${\displaystyle {\stackrel{}{}\prime }^{}}$ ${\$dilde${H$}\$displaystyle (\omega _{\tilde}}\circle \phi _{H}):$$H\to {\tilde {H}/{\tilde {H}}$인자를$$ $H{\displaystyle /H{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$을(를) 통해 고유하게 결정된 경구동성 ${\displaystyle \varphi \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$: ${\displaystyle H{}^{}}$/ H${\displaystyle }$→ ${\displaystyle H{\stackrel{}{}}^{}}$ ~ ${\displaystyle H\stackrel{}{}}$ ~${\displaystyle {\stackrel{}{}\prime }^{}}$ ${\$$H/H'\to {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'}$ such that ${\displaystyle {\tilde {\phi }}\circ \omega _{H}=\omega _{\tilde {H}}\circ \phi _{H}}$. Consequently, we have ${\displaystyle {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq (H/H')/\ke$$r({\tilde {\phi }})}$. Furthermore, the kernel of ${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$ is given explicitly by ${\displaystyle \ker({\tilde {\phi }})=(H'\cdot \ker(\phi ))/H'}$.

Finally, if ${\displaystyle \ker(\phi )\leq H'}$, then ${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$ is an isomorphism, since ${\displaystyle \ker({\tilde {\phi }})=$$H'/H'=1$

정의.^[15]Due to the results in the present section, it makes sense to define a partial order on the set of abelian type invariants by putting ${\displaystyle {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\preceq H/H'}$, when ${\displaystyle {\tilde {H}}/{$$\tilde {H}}'\simeq (H/H')/\ker({\tilde {\phi }})}$, and ${\displaystyle {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'=H/H'}$, when ${\displaystyle {\tilde {H}}/{\tilde {H}}'\simeq H/H'}$.

TKT싱글릿

제안.Assume ${\displaystyle G,{\tilde {G}},\phi }$ are as above and ${\displaystyle {\tilde {H}}=\phi (H)}$ is the image of a subgroup of finite index ${\displaystyle n.}$ Let ${\displaystyle T_{G,H}:$$G\to H/H'}$과 ${\displaystyle {T\stackrel{}{}}_{}}$ $G{\displaystyle {}_{\stackrel{}{}}}$~ ,${\displaystyle {H\stackrel{}{}}_{}}$~${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle G\stackrel{}{}\stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$→ ${\displaystyle H\stackrel{}{}\stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$/ ${\displaystyle H{\stackrel{}{}}^{}}$ ~ ${\displaystyle {~}^{}}$ ${\$tilde ${$H}}}}}:{\$tilde{\tilde$ {H}}}}}아티엔 아트 트랜스퍼가 된다$$$.$If ${\displaystyle \ker(\phi )\leq H}$, then the image of a left transversal of ${\displaystyle H}$ in ${\displaystyle G}$ is a left transversal of ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ in ${\displaystyle {\tilde {G}}}$, and ${\displaystyle \varphi (\ker (T_{G,H}))\subset \ker (T_{\tilde{G},\stackrel{}{}}}$${\displaystyle \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}).}$ Moreover, if ${\displaystyle \ker(\phi )\leq H'}$ then ${\displaystyle \phi (\ker(T_{G,H}))=\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})}$ (See Figure 3).

증명. (${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle }$g ${\displaystyle n_{}}$) ${\displaystyle (g_{1},\ldots, g_{n})$은 G ${\displaystyle G}$에서 $H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$의 왼쪽 횡단이다$.$ 그러면 우리는 다음과 같은 분리된 결합을 갖게 된다.

${\displaystyle G=\bigsqcup _{i=1}^{n}g_{i}H.}$

이 해체된 연합의 이미지를 생각해봐, 반드시 해체된 것은 아니지만,

${\displaystyle \phi(G)=\빅컵 _{i=1}^{n}\pi(g_{i})\pi(H),}$

그리고 $j{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \in }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \}.}$ ${\displaystyle j,k\in \{1,\ldots,n\}$이(가) 있음:

${\displaystyle{\begin{정렬}\phi(g_{j})\phi(H)=\phi(g_{k})\phi(H)&, \Longleftrightarrow \phi(H)=\phi(g_{j})^{)}\phi(g_{k})\phi(H)=\phi(g_{j}^{-1}g_{k})\phi(H)\\&amp을 말한다.\Longleftrightarrow\phi(g_{j}^{-1}g_{k})=\phi(h)&,&{일부 \text{에}}h\in H\\&amp을 말한다.\Longleftrightarrow \phi(h^{-1}g_{j}^{-1}g_{k})=1\\&.\Longleftrightarrow h^{)}g_{j}^{)}g_{k}\in\ker(\phi )\subset H\\&\Long 왼쪽 오른쪽 화살표 g_{j}^{-1g_{k}\in H\&\Long 왼쪽 오른쪽 화살표 j=k\\\end}}}}}$

${\displaystyle \varphi \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$: H${\displaystyle }$/ ${\displaystyle H{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ ${\displaystyle H{\stackrel{}{}}^{}\stackrel{}{}}$~ ${\displaystyle /}$ ${\$$H/H'\to {\tilde{H}/{\tilde{H}}}$은(는) 이전 명제의 인식론이다$$.다음이 있음:

${\displaystyle {\tilde {\phi }}(T_{G,H}(x))={\tilde {\phi }}\left(\prod _{i=1}^{n}g_{\pi _{x}(i)}^{-1}xg_{i}\cdot H'\right)=\prod _{i=1}^{n}\phi \left(g_{\pi _{x}(i)}\right)^{-1}\phi (x)\phi (g_{i})\cdot \phi (H').}$

Since ${\displaystyle \phi (H')=\phi (H)'={\tilde {H}}'}$, the right hand side equals ${\displaystyle T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}(\phi (x))}$, if ${\displaystyle (\phi (g_{1}),\ldots ,\phi (g_{n}))}$ is a lefttransversal of ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ in ${\displaystyle {\tilde {G}}}$, which is true when ${\displaystyle \ker(\phi )\subset H.}$ Therefore, ${\displaystyle {\tilde {\phi }}\circ T_{G,H}=$$T_{\tilde{G},{\tilde{H}}\circle \phi .}$ 따라서$$ ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \varphi }$ )${\displaystyle }$H ${\displaystyle \ker(\phi$)\$subset$ H$}$는 포함을 암시한다$$.

${\displaystyle \phi(\ker(T_{G,H})\subset \ker(T_{\tilde{G},{\tilde {H}})}$

마지막으로 ${\displaystyle \ker }$ker (${\displaystyle \varphi }$ ) ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {}^{}}${ ${\$ H$'}$이$($가)라면 이전 명제 $\varphi {\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$에 의한 이형성이다$$.Using its inverse we get ${\displaystyle T_{G,H}={\tilde {\phi }}^{-1}\circ T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}}\circ \phi }$, which proves

${\displaystyle \phi^{-1}\왼쪽(\ker(T_{\tilde{G},{\tilde{H}}}\오른쪽)\subset \ker(T_{G,H})}$

현재 보유하고 있는 포함 항목 조합:

${\displaystyle{\begin{정렬}{\begin{경우}\phi(\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde{G}},{\tilde{H}}})\\\phi ^ᆮ\left(\ker(T_{{\tilde{G}},{\tilde{H}}})\right)\subset \ker(T_{G,H})\end{경우}}&.\Longrightarrow{\begin{경우}\phi)\subset \ker(T_{{\tilde{G}},{\tilde{H}}})\\\phi \left(\phi ^{)}\left(\ker(T_{{\tilde{G}},{\til(\ker(T_{G,H}).de {H}}}\오른쪽)\subset \pi(\ker(T_{G,H})\end{case}\\[8pt]&\Longrightarrow \phi \left(\phi ^{-1}\left(\ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\right)\right)\subset \phi (\ker(T_{G,H}))\subset \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})\\[8pt]&\Longrightarrow \ker(T_{\tilde {G},{\tilde {H}}})\subset \pt(\ker(T_{G,H})\cker(T_{\tilde {G},{\t}})\8pt]\Longrightarrow \phi(\ker(T_{G,H})=\ker(T_{{\tilde{G},{\tilde{H}}}}\ended}}}}}}}}$

정의.^[15]In view of the results in the present section, we are able to define a partial order of transfer kernels by setting ${\displaystyle \ker(T_{G,H})\preceq \ker(T_{{\tilde {G}},{\tilde {H}}})}$, when ${\displa$$ystyle \phi(\ker(T_{G,H})\subset \ker(T_{\tilde {G},{\tilde {H})$$}$

TTT 및 TKT 멀티 테넌트

$G{\displaystyle }$, ${\displaystyle G\stackrel{}{}}$~ ,${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle G,{\tilde {$$G},\$$phi }$이(가) 위와 같으며 G${\displaystyle \stackrel{}{}}$/ ${\displaystyle G{\stackrel{}{}}^{}{\prime }^{}}$ ${\$이(가) 등형이며 유한하다고 가정한다.Let${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle I_{}{}_{}}$) ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle {\in }_{}}$ I ${\$은 $G{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ G$'}$을(일반 부분군의 유한 계열로) 포함하는 모든 부분군의 패밀리를 나타낸다$$.$$각 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$에 대해 다음을 수행하십시오$$.

${\displaystyle {\begin{aigned}{\tilde {H_{i}}&:=\phi(H_{i})\\\\T_{i}&:=T_{G,H_{i}}}:G\to H_{i}/H_{i}'\\{\tilde{T_{i}}}&:=T_{\tilde{G},{\tilde{H_{i}}}}, {\tilde{G}\tilde{H_{i}}/{\tilde {H_{i}}}}/{\tilde {H_{i}}}}'\ended{aigned}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

$J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$을(를) I ${\displaystyle I}$의 비어 있지 않은 하위 집합으로$$ 만드십시오$.$ 그러면 ${\displaystyle {\varkappa }_{}}$ H${\displaystyle {}_{}}$( G${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle T_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle {}_j}$ $∈$ ${\displaystyle J_{}}$ {\$display$ style $\$를 정의하는 것이 편리하다.$_{j\in J}}$, called the (partial) transfer kernel type (TKT) of ${\displaystyle G}$ with respect to ${\displaystyle (H_{j})_{j\in J}}$, and ${\displaystyle \tau _{H}(G)=(H_{j}/H_{j}')_{j\in J},}$ called the (partial) transfer target type (TTT) of ${\displaystyle G}$$$$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}{}_{}}$) ${\displaystyle {j\mathrm{respect<img\; alt="G"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.827ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="1077">}}_{}}$ J ${\$에 대한 $\{\backslash$$displaystyle$ G$}.$

앞의 두 절에서 확립된 싱글릿의 규칙 때문에, TTTs와 TKTs의 복수형은 다음과 같은 기본 상속법을 준수한다.

상속법 제1호If ${\displaystyle \ker(\phi )\leq \cap _{j\in J}H_{j}}$, then ${\displaystyle \tau _{\tilde {H}}({\tilde {G}})\preceq \tau _{H}(G)}$, in the sense that ${\displaystyle {\tilde {H_{j}}}/{\ti$$lde {H_{j}}}'\preceq H_{j}/H_{j}'}$, for each ${\displaystyle j\in J}$, and ${\displaystyle \varkappa _{H}(G)\preceq \varkappa _{\tilde {H}}({\tilde {G}})}$, in the sense that ${\displaystyle \ker(T_{j})\preceq \ker({\tilde {T_{j}}})}$각 $j$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$, ${\displaystyle \in }$ J ${\displaystyle j\in$ J$\}.$

상속법 제2조.If ${\displaystyle \ker(\phi )\leq \cap _{j\in J}H_{j}'}$, then ${\displaystyle \tau _{\tilde {H}}({\tilde {G}})=\tau _{H}(G)}$, in the sense that ${\displaystyle {\tilde {H_{j}}}/{\tilde$${H_{j}}}'=$$H_{j}/H_{j}'}$, for each ${\displaystyle j\in J}$, and ${\displaystyle \varkappa _{H}(G)=\varkappa _{\tilde {H}}({\tilde {G}})}$, in the sense that ${\displaystyle \ker(T_{j})=\ker({\tilde {T_{j}}})}$, for each ${\displaysty$$le j\in J$

유전자동화

추가적인 상속 재산은 Artin이 즉시 이전하는 것과 관련이 없지만 후손 나무들에 대한 신청에 유용하다는 것이 증명될 것이다.

상속법 제3조.$G{\displaystyle }$, ${\displaystyle G\stackrel{}{}}$~ ,${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle$ G$,{\tilde${${\displaystyle G}$$},\phi }$이(가) 위와 같으며$$and${\displaystyle }A{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ t (${\displaystyle }$G${\displaystyle }$) .${\displaystyle \sigma \in \mathrm$ {$Aut}(G$)이라고 가정한다.$}$ If ${\displaystyle \sigma (\ker(\phi ))\subset \ker(\phi )}$ then there exists a unique epimorphism ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}:{\tilde {G}}\to {\tilde {G}}}$ such that ${\displaystyle \phi \circ \sigma ={\tilde {\sigma }}\circ \phi }$$$. If ${\displaystyle \sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi ),}$ then ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}\in \mathrm {Aut} ({\tilde {G}}).$$}$

증명. 이형성 $G{\displaystyle \stackrel{}{}}$~ =${\displaystyle \varphi }$ (${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \simeq }$ ${\displaystyle G}$/ ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \varphi }$ ) ${\displaystyle {\tilde{G}=\pi(G)\simeq G/\ker(\phi )}$를 사용하여 다음과 같이 정의한다$$.

${\displaystyle {\begin{case}{\tilde{G}}\\tilde{G}\\\\\tilde{\tilde{\\tilde}}}}}}}(g\ker(\phi )}):=\\chma(g)\ker(\phi )\end{case}}}$

먼저 우리는 이 지도가 잘 정의되어 있다는 것을 보여준다.

${\displaystyle{\begin{정렬}(\phi)=h\ker(\phi)&,\Longrightarrow h^{)}g\in \ker(\phi)\\&amp을 말한다.\Longrightarrow \sigma(h^{-1}g)\in \sigma(\ker(\phi))\\&amp을 말한다.\Longrightarrow \sigma(h^{-1}g)\in \ker(\phi)&,&\sigma(\ker(\phi))\subset \ker(\phi)\\&amp을 말한다.\Longrightarrow \sigma(h^{-1})\sigma(g)\in \ker(\phi)\\&amp을 말한다.\Longrightarrow \sigma(g)\ker(\phi)=\sigma (h)\ker(\phi )\end{aigned}}$

$~{\$이(가) 허탈한 동형상이며 $satisfies{\displaystyle }$ =${\displaystyle \sigma \stackrel{}{~}}$ ~${\displaystyle \{}$ { { { $\pi \captyle \sigma \}}}$을(를) 만족한다는 사실은 쉽게 확인된다$$.

그리고 $만약{\displaystyle }$ ${\displaystyle (}$ (${\displaystyle \ker }$(${\displaystyle \varphi }$) = ${\displaystyle \ker (}$ ( ${\displaystyle )}$ )$$\$displaystyle \sigma (\ker(\phi )=\ker(\phi )},$$\sigma {\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$의 주입성은 의 결과물이다$$.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\tilde{\sigma}}(g\ker(\phi))=\ker(\phi)&,\Longrightarrow \sigma(g)\ker(\phi)=\ker(\phi)\\&amp을 말한다.\Longrightarrow \sigma(g)\in \ker(\phi)\\&amp을 말한다.\Longrightarrow \sigma ^ᆪ(\sigma(g))\in \sigma ^ᆫ(\ker(\phi))\\&amp을 말한다.\Longrightarrowg\in \sigma ^ᆩ(\ker(\phi))\\&amp을 말한다.\Longrightarrow g\in \ker(\phi)&,&\sigma ^{)}(\ker(\phi.))\\subset \ker(\phi )\\&\Longrightarrow g\ker(\phi )=\ker(\phi )\end}}}$

$\Omega {\displaystyle }$: ${\displaystyle G}$→ ${\displaystyle G}$/ ${\displaystyle G{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$:$G\to G/G'}$ be the canonical projection then there exists a unique induced automorphism ${\displaystyle {\bar {\sigma }}\in \mathrm {Aut} (G/G')}$ such that ${\displaystyle \omega \circ \sigma ={\bar {\sigma }}\circ \omega }$, that is,

${\displaystyle \forall g\in G:\qquad {\bar {\sigma }}(G')={\bar {\sigma }}(\omega(g))=\omega(\ma(g))=\sigma (g)G',}$

${\$의 주입성 이유는 다음과 같다$$.

${\displaystyle \sigma(g)G'={\bar {\sigma }}=G'\Rightarrow \sigma \sigma ^{-1(\sigma(g)\in G',},}$

$G{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은(는) $G{\displaystyle }$ ${\displaystyle G}$의 특성 부분군이기 때문에$.$

정의.${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G$$}$은(는)${\displaystyle }\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle A\mathrm{}}$ ${\displaystyle \mathrm{u}}$ t${\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Aut}(G)}$이(가) 존재하면 모두 $G{\displaystyle }$/ ${\displaystyle G{}^{}}\prime$ ${\$ G$/G$'에 대한 반전처럼 작용하는 경우 σ-group이라고 불린다$$.

${\displaystyle g\in G:\qquad \sigma \sigma(g)={\bar {\sigma }}}=g^{-1}G'\Longleftriprigarrow \sigma(g)\in G'.}$

The Inheritance Law III asserts that, if ${\displaystyle G}$ is a σ−group and ${\displaystyle \sigma (\ker(\phi ))=\ker(\phi )}$, then ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ is also a σ−group, the required automorphism being ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}}$. This can be seen$epimorphism{\displaystyle }$${\displaystyle \prime \{\backslash }$$displaystyle \pi }$을(를${\displaystyle {)}^{}}$ 방정식 $\sigma {\displaystyle ({}^{}}$) ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ = ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{¯}}$ ¯ ¯ ${\displaystyle ¯}$ \ {${\displaystyle }${ { ${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle {\{}^{}}$ \${\displaystyle 1^{}}$ ${\displaystyle {}^{}{}^{}}$\ \$displaysty \sigma (g)={\bar {\sigma}}g^{-1}G}$G}G}G}G'}G}G}G}G}G$}$G}G}G.

${\displaystyle \fall x=\phi(g)\in \phi(g)={\tilde{\tqquad {\\tqqilde{\\\sigma}}}{\tilde{\tilde{\tilde{\\\\\\\\sigma(g){\tilde{G}}=\phi(\sigma(g)\phi(G')=\phi(g^{-1})=\phi(g')=\phi(g)^{\tilde{G}=x^{-1}{\tilde}}.}$

안정화 기준

본조에서는, 전조의 시세에 의한 TTT 및 TKT의 상속에 관한 결과를 가장 단순한 경우에 적용하고 있는데, 다음과 같은 특징이 있다.

가정.The parent ${\displaystyle \pi (G)}$ of a group ${\displaystyle G}$ is the quotient ${\displaystyle \pi (G)=G/N}$ of ${\displaystyle G}$ by the last non-trivial term ${\displaystyle N=\gamma _{c}(G)\triangleleft G}$ of the lower central series of ${\displaysty$$le G}$, where ${\displaystyle c}$ denotes the nilpotency class of ${\displaystyle G}$. The corresponding epimorphism ${\displaystyle \pi }$ from ${\displaystyle G}$ onto ${\displaystyle \pi (G)=G/\gamma _{c}(G)}$ is the canonical projection, whose kernel is given by ${\displaystyle \ker (\pi }$${\displaystyle )}$= ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle c_{}}$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \ker(\pi )=\gamma _{c}(G)}$.

이러한 가정 하에서 Artin이 이전하는 커널과 대상은 유한한 p-그룹들 간의 부모-하위 관계와 호환되는 것으로 판명된다.

호환성 기준.$p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$을(를) 기본 숫자로 설정하십시오$$.Suppose that ${\displaystyle G}$ is a non-abelian finite p-group of nilpotency class ${\displaystyle c=\mathrm {cl} (G)\geq 2}$. Then the TTT and the TKT of ${\displaystyle G}$ and of its parent ${\displaystyle \pi (G)}$ are comparable in the sense that ${\display$$스타일 \tau (\PI$ ($G))\preceq \tau$ (${\displaystyle G}$$)}$ 및 $\varkappa$ ( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle ⪯}$( ${\displaystyle G}$)$$⪯ ( ) $displaystyle \varkappa (G)\preceq \varkappa (\pi (G$

The simple reason for this fact is that, for any subgroup ${\displaystyle G'\leq H\leq G}$, we have ${\displaystyle \ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{2}(G)=G'\leq H}$, since ${\displaystyle c\geq 2}$.

이 섹션의 나머지 부분에 대해, 조사된 그룹은 (${\displaystyle p}$, ${\displaystyle p}$) ${\$$displaystyle 2$ 순위$2$의 기본 아벨리안화 G${\displaystyle /G{}^{}}$′ ${\$을$({\displaystyle }$를) 가진 유한 메타벨리안 p-group $G{\displaystyle }${\$displaystyle (p,p)$가 되어야 한다$.$

최대 클래스에 대한 부분 안정화.A metabelian p-group ${\displaystyle G}$ of coclass ${\displaystyle \mathrm {cc} (G)=1}$ and of nilpotency class ${\displaystyle c=\mathrm {cl} (G)\geq 3}$ shares the last ${\displaystyle p}$ components of the TTT ${\displaystyle \tau (G)}$ and of the TKT ${$$\displaystyle \varkappa (G)}$ with its parent ${\displaystyle \pi (G)}$. More explicitly, for odd primes ${\displaystyle p\geq 3}$, we have ${\displaystyle \tau (G)_{i}=(p,p)}$ and ${\displaystyle \varkappa (G)_{i}=0}$ for ${\displaystyle 2\leq i\l$$eq p+1$

${\displaystyle \mathrm{이}}$ 기준은 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ 3 ${\displaystyle c\geq 3}$이(${\displaystyle 가)}$ ${\displaystyle \ker }$ ${\displaystyle }$( ${\displaystyle \gamma }$ ) = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$ (${\displaystyle {}_{}G}$)${\displaystyle {}_{}\le }$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ( G${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$i ${\displaystyle i_{}^{}}$ ${\$를 내포하고 있기$$ 때문이다.$마지막{\displaystyle }$ $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$ 최대$$ 하위 그룹 H ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle {\mathrm{H}}_{}}$+ 1 ${\$ G ${\displaystyle G$의$$.

조건 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle c\geq 3}$은 부분 안정화 기준에 실제로 필요하다$$.For odd primes ${\displaystyle p\geq 3}$, the extra special ${\displaystyle p}$-group ${\displaystyle G=G_{0}^{3}(0,1)}$ of order ${\displaystyle p^{3}}$ and exponent ${\displaystyle p^{2}}$ has nilpotency class ${\displaystyle c=2}$ only, and the last ${\displaystyle }$${\displaystyle p}$ components of its TKT ${\displaystyle \varkappa =(1^{p+1})}$ are strictly smaller than the corresponding components of the TKT ${\displaystyle \varkappa =(0^{p+1})}$ of its parent ${\displaystyle \pi (G)}$ which is the elementary abelian ${\displaystyle$형식(p, p){\displaystyle(p,p)}의 P}-group. p 위해[16])2{\displaystyle p=2}, coclass1{1\displaystyle}과 수업의 c)2{\displaystyle c=2}의 특별한 2{2\displaystyle}-groups은, 일반quaternion 그룹 G=G0대 3(0,1){\displaystyle G=G_{0}(0,1)}TKT. ϰ${\displaystyle \varkappa =(123)}$ and the dihedral group ${\displaystyle G=G_{0}^{3}(0,0)}$ with TKT ${\displaystyle \varkappa =(023)}$, have strictly smaller last two components of their TKTs than their common parent ${\displaystyle \pi (G)=C_{2}\times$$$TKT $\varkappa {\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 000}$) ${\displaystyle \varkappa =(000)}$이(가) 있는 $C_{2$$\}\}.$

최대 등급 및 양의 결함에 대한 전체 안정화.

A metabelian p-group ${\displaystyle G}$ of coclass ${\displaystyle \mathrm {cc} (G)=1}$ and of nilpotency class ${\displaystyle c=m-1=\mathrm {cl} (G)\geq 4}$, that is, with index of nilpotency ${\displaystyle m\geq 5}$, shares all ${\displaystyle p+1}$ componeNts은 TTT의 부모 π(G){\displaystyle \pi(G)}, 교환 가능. k= km그리고 4.9초 만(G)의 긍정적인 결함 ≥ 1{\displaystyle k=k(G)\geq 1}이 제공된. km그리고 4.9초 만 ≥ 1{\displaystyle k\geq 1}3≥ p를 암시하(G){\displaystyle \tau(G)}과 TKT ϰ(G){\displaystyle \varkappa(G)}의[11]참고 τ. {\di$splaystyle p\geq$ 3$\},$ ${\displaystyle {그리고}_{}}$ $우리$는${\displaystyle }1{\displaystyle \mathrm{}}$${\displaystyle }$(${\displaystyle G{}_{}}$) i${\displaystyle {}_{}}$= 0 ${\displaystyle \varkappa (G)_{i}=0}$을(를) 1 have ${\displaystyle i}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystystyle 1\leq i\leq p+1}$에 대해 가지고 있다$.$

이 진술은 조건 치고 ≥ 5{\displaystyle m\geq 5}과 k ≥ 1{\displaystyle k\geq 1}을 암시하고ker ⁡(π))γ m− 1(G)≤ γ m− k(G)H≤ 나는 H_{나는}의 _ᆲ(G)\leq}{\displaystyle \ker(\pi)=\gamma_{m-1}(G)\leq \gamma ′, 모든 p에[17]+1{\displaystyle p+1}maxi을 관찰하는 것만으로 볼 수 있다.말$부분군{\displaystyle }$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}\dots ,}$ ${\displaystyle H_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ G$$ ${\displaystyle G$

조건 $k{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k\geq 1}$은 전체 안정화를 위해 실제로 필요하다.이를 확인하려면 TKT의 첫 번째 구성 요소만 고려하면 된다.For each nilpotency class ${\displaystyle c\geq 4}$, there exist (at least) two groups ${\displaystyle G=G_{0}^{c+1}(0,1)}$ with TKT ${\displaystyle \varkappa =(10^{p})}$ and ${\displaystyle G=G_{0}^{c+1}(1,0)}$ with TKT ${\displaystyle \varkappa =({20}^p)}$${\displaystyle \varkappa =(20^{p})}$, both with defect ${\displaystyle k=0}$, where the first component of their TKT is strictly smaller than the first component of the TKT ${\displaystyle \varkappa =(0^{p+1})}$ of their common parent ${\displaystyle \pi (G)=$$G_{0}^{c}(0,0)}$.

최대값이 아닌 클래스의 부분 안정화.

$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle p=3}$을(를) 고정하십시오.A metabelian 3-group ${\displaystyle G}$ with abelianization ${\displaystyle G/G'\simeq (3,3)}$, coclass ${\displaystyle \mathrm {cc} (G)\geq 2}$ and nilpotency class ${\displaystyle c=\mathrm {cl} (G)\geq 4}$ shares the last two (among the four) components of the TTT $\tau {\displaystyle }$( ${\displaystyle G}$) ${\displaystyle \tau (G)}$과($와{\displaystyle }$) 상위 ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (}$G ) {\$displaystyle$ \$varkappa$(G$$$)}$이$($가) 있는 TKT $\varkappa {\displaystyle }$(${\displaystyle G}$${\displaystyle )}$의 \$displaysty \PI (G)}.$

이 기준은 다음과 같은 고려에 의해 정당화된다.If ${\displaystyle c\geq 4}$, then ${\displaystyle \ker(\pi )=\gamma _{c}(G)\leq \gamma _{4}(G)\leq H_{i}'}$ ^[17] for the last two maximal subgroups ${\displaystyle H_{3},H_{4}}$ of ${\displaystyle G}$.

The condition ${\displaystyle c\geq 4}$ is indeed unavoidable for partial stabilization, since there exist several ${\displaystyle 3}$-groups of class ${\displaystyle c=3}$, for instance those with SmallGroups identifiers ${\displaystyle G\in \{\langle 243,3\rangle$$,\langle 243,6\rangle ,\langle 243,8\rangle \}}$, such that the last two components of their TKTs ${\displaystyle \varkappa \in \{(0043),(0122),(2034)\}}$ are strictly smaller than the last two components of the TKT ${\displaystyle \varkappa =(0000)}$ of their common parent ${\displaystyle \pi (G}$${\displaystyle \pi (G)=$$G_{0}^{3}(0,0)}$.

최대값이 아닌 클래스와 주기적인 중심에 대한 전체 안정화.

$다시{\displaystyle }$ p${\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle p=3}$을(를) 고정시키십시오$$.A metabelian 3-group ${\displaystyle G}$ with abelianization ${\displaystyle G/G'\simeq (3,3)}$, coclass ${\displaystyle \mathrm {cc} (G)\geq 2}$, nilpotency class ${\displaystyle c=\mathrm {cl} (G)\geq 4}$ and cyclic centre ${\displaystyle \ze$$ta _{1}(G)}$은(는) TTT $\tau {\displaystyle }$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \tau (G)}$ 및 TKT ${\displaystyle \varkappa }$( G${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varkappa (G)}$의 네 가지 구성 요소를 모두 상위 $\pi {\displaystyle }$(${\displaystyle G}$) ${\displaystystyle \pi (G)$와 공유한다$.$

The reason is that, due to the cyclic centre, we have ${\displaystyle \ker(\pi )=\gamma _{c}(G)=\zeta _{1}(G)\leq H_{i}'}$ ^[17] for all four maximal subgroups ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{4}}$ of ${\displaystyle G}$.

자전거 센터가 있는 집단의 경우 두 가지 가능성이 있기 때문에 순환 센터의 조건은 전체 안정화를 위해 정말로 필요하다.아무거 γ c(G))ζ 1(G){\displaystyle \gamma_{c}(G)=\zeta _ᆳ(G)}또한,(Wordsworth). γ c({\displaystyle \gamma_{c}(G)}H2′{\displaystyle H_{2}'에}포함된 것은 없다, 또는γ c(G)<>ζ 1(G){\displaystyle \gamma_{c}(G)<, \zeta _ᆷ(G)}지만con지 않다 순환은 두 윤생체를 이룬 있다.tained in $H{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$

요약하자면, 마지막 네 가지 기준은 Artin의 이전이 유한한 p-그룹 분류를 위한 경이로운 도구를 제공한다는 사실을 뒷받침한다고 말할 수 있다.

다음 절에서는 이러한 아이디어가 아틴 이전 대상과 알맹이가 정의한 패턴을 찾아 후예 나무의 특정 집단을 탐색하고 추가적인 구조로 후예 나무를 기르기 위해 어떻게 적용될 수 있는지 보여 줄 것이다.이러한 패턴 인식 전략은 순수 집단 이론과 대수적 수 이론에서 유용하다.

구조화된 하위 트리(SDT)

이 절에서는 유한 p-그룹 이론에서 후예 나무의 용어를 사용한다.그림 4에서, Artin 전송이 나무의 각 꼭지점에 대한 추가 구조를 제공하는 방법을 보여주기 위해 약간의 복잡성을 가진 후손 트리를 예시적으로 선택한다.보다 정확히 말하면, $기본{\displaystyle }$ 원수는 ${\displaystyle \mathrm{p}}$= 3 ${\displaystyle p=3}$이고$,$ 선택한 후예 트리는 실제로 B ${\displaystyle \mathrm{지점}(}$7${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ 3}의 깊이 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 3$\}$ 및 $길이{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\$$displaystyle$ $2$$}$의 엄격한 주기성을 가진 코클라스트리다$.$$\}\}.$ 초기 프리시기는 B$){\displaystyle {\mathcal{B}}}$와 $B{\displaystyle \mathcal{}(6)}$ ${\displaystyle {\mathcal{B}(6)}$의 구조상$$ 예외적인 분기로 구성된다.Branches ${\displaystyle {\mathcal {B}}(7)}$ and ${\displaystyle {\mathcal {B}}(8)}$ form the primitive period such that ${\displaystyle {\mathcal {B}}(j)\simeq {\mathcal {B}}(7)}$, for odd ${\displaystyle j\geq 9}$, and ${\displaystyle {$$\mathcal {B}(j)\simeq {\mathcal {B}(8$ 조차 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle j\geq 10$트리의 루트는 식별자 $R{\displaystyle }$= ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle 243}$,${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle$ R$=\langle 243,6\rangele}$을$($를) 가진 메타벨리안 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$3$}$- 그룹$$, 즉 ${\displaystyle 순서}$ R${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ =${\displaystyle {}^{}{3\mathrm{}}^{}}$ =$$ {$displaysty R$= $3^{5}=243},$ 계수$$ $번호{\displaystyle \mathrm{}}$ 6${\displaystystystystystyp$이 루트는 코클라스가 정착되지 않았으며, 전체 하위 트리 T${\displaystyle }$($){\displaystyle {\$$mathcal${$T}(R)$는 그림$$ 4의 도표에 처음 6개의 가지가 그려진 ${\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\displaystyle$ $2$${\displaystyle {}^{}}$ 하위 트리$$ T ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ ($R)$보다 복잡도가 상당히 높다$.$추가 구조는 트리가 내장된 일종의 좌표계로 볼 수 있다.수평 abscissa는 전송 커널 유형(TKT)$\varkappa {\displaystyle }$ {\$displaystyle$ \$varkappa }$로 라벨을 표시하며, 수직 세로좌표는 전송 대상 유형($)$의 단일 구성 요소 $\tau {\displaystyle }$ ( 1 )${\displaysty \tau($1)로 라벨을 표시한다.나무의 꼭지점은 주기적인 무한 시퀀스 구성원이 공통 TKT를 공유하는 수직 기둥을 형성하는 방식으로 그려진다.한편$,$ $최대{\displaystyle \mathrm{}}$1(\$displaystyle$1)에서 깊이의 정점으로 대표되는 고정된 순서의 메타벨리안 그룹은 TTT의 공통적인 첫 번째 구성요소를 공유하는 수평줄을 형성한다.(잘못된 해석을 막기 위해 우리는 비메타벨리안 그룹이나 메타벨리안 그룹의 TTT의 첫 번째 구성요소는 repr.깊이 $2{\displaystyle \mathrm{}}${\디스플레이 스타일 $2$의 정점에 의해 esisted 된, 안정화 현상으로 인해 보통 예상보다 작다!)The TTT of all groups in this tree represented by a big full disk, which indicates a bicyclic centre of type ${\displaystyle (3,3)}$, is given by ${\displaystyle \tau =[A(3,c),(3,3,3),(9,3),(9,3)]}$ with varying first component ${\displayst$$yle \tau (1)=A(3,c)}$, the nearly homocyclic abelian ${\displaystyle 3}$-group of order ${\displaystyle 3^{c}}$, and fixed further components ${\displaystyle \tau (2)=(3,3,3){\hat {=}}(1^{3})}$ and ${\displaystyle \tau (3)=$$\tau (4)=(9,3){\hat {=}}($21$)$는$$아벨리아식 불변량을 주기성분의 순서 또는 반복을 나타내는 지수를 가진 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 3}$ -logarithms로$$ 쓴다.(후자 표기법은 그림 4에서 채택하고 있다.) 이 트리에 있는 모든 그룹의 $코클라스$는 2 ${\displaystyle 2$}이므로$,$ $순서{\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {3n}^{}}$ ${\$ 3$^{n}}}$와 nilpensency 등급 사이의 연결은 $c{\displaystyle }$= ${\displaystyle n}$- ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle c=n-2}$에 의해 주어진다$.$

패턴인식

아틴이 전송하는 커널과 대상에 의해 정의된 패턴을 찾아 후예 트리에서 특정 그룹을 검색하는 경우, 예를 들어 원하는 특수 속성의 그룹을 체로 처리하여 복잡성이 높은 밀집 트리의 가지에서 정점 수를 줄이는 것이 자주 적절하다.

• ▼ ${\displaystyle \sigma }$ - 그룹$$ $필터링{\displaystyle }$,
• 특정 전송 커널 유형 집합 제거,
• 모든 비-메타벨리안 그룹 취소(그림 4의 작은 등고선 사각형으로 표시)
• 사이클 중심(그림 4의 작은 전체 디스크로 표시됨)으로 메타벨리안 그룹 제거
• 중심선으로부터의 거리(깊이)가 일부 하한을 초과하는 정점을 잘라낸다.
• 여러 가지 체외 처리 기준을 결합하는 것.

그러한 체이빙 절차의 결과를 원하는 속성 집합에 관하여 가지치기된 하위 트리라고 한다.그러나 어떤 경우든, 코클라스 트리의 주선은 나무 대신 유한 그래프의 단절된 무한 집합이 되기 때문에 제거되는 것은 피해야 한다.For example, it is neither recommended to eliminate all ${\displaystyle \sigma }$-groups in Figure 4 nor to eliminate all groups with TKT ${\displaystyle \varkappa =(0122)}$. In Figure 4, the big double contour rectangle surrounds the pruned coclass tree ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\ast }^{$${}(R$ $여기$서 TKT $\varkappa {\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2122}$) ${\displaystyle \varkappa$ = $(2122)$가 있는 수많은 정점이 완전히 제거된다$$.예를 들어 $TTT$의 TKT$$$\varkappa {\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1122}$) ${\displaystyle \sigma$\sigma $}$ 그룹과$$$$ 첫 번째 구성 요소${\displaystyle }\tau {\displaystyle }$(1${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle 43}$) ${\displaystyle \tau(1)=($43$)$를 검색하는 데 유용할 것이다.이 경우 검색 결과는 독특한 그룹일 수도 있다.우리는 중요한 예에 대한 다음의 세부적인 논의에서 이 아이디어를 더 확장한다.

과거 사례

Artin 전송을 통한 패턴 인식 전략에 의해 유한 p-그룹을 검색한 가장 오래된 예는 A가 있던 1934년으로 거슬러 올라간다.숄츠와 O.Taussky[18]은 갈루아 군 G를 결정하기 위해)G3∞(K))G는 나는(F 3∞(K)K){\displaystyle G=\mathrm{G}_ᆮ^ᆯ(K)=\mathrm{갈락토오스}(\mathrm{F}_{3}^{\infty}(K)K)}은 힐베르트 3{3\displaystyle}-class 분야 탑, 그 최대 unramified 세계 3{3\displaystyle}extensio 노력했다.n${\displaystyle {\mathrm{F}}_{}^{}}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$( $K{\displaystyle }$) {\$displaystyle \mathrm {F} _{3}^{\infit }(K$ 복잡한 2차 숫자 필드 K = ${\displaystyle Q\mathbb{}(\sqrt{}}$- ${\displaystyle \sqrt{9748}}$)${\displaystyle }$. ${\displaysty K=\mathb {Q}({\sqrt{-9748}).$$}$ They actually succeeded in finding the maximal metabelian quotient ${\displaystyle Q=G/G''=\mathrm {G} _{3}^{2}(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{2}(K) K)}$ of ${\displaystyle G}$, that is the Galois group of the second Hilbert ${\displaystyle 3$$}}-$$class$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ F ${\displaystyle 3}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$( K${\displaystyle }$) ${\displaystyle \mathrm {F} _{$3}^{$2}(K$$).$ $그러나$ M$.$ R. 부시와 D$.$까지 ${\displaystyle \mathrm{78년}}${\$displaysty$ 78$}$이 필요했다.[15]은(잠재적으로 무한한)3{3\displaystyle}-tower 그룹 G=G3∞(K){\displaystyle G=\mathrm{G}_ᆰ^ᆱ(K)}은 플레이어와 한정되어 3{3\displaystyle}-group과 일치하는 C. 메이어는 2012년에, G3첫번째 엄격한 증거 3(K))G는 나는(F 33(K)K){\displaystyle을 제공했다.\m$athrm {G} _{3}^{3}(K)=\mathrm {Gal} (\mathrm {F} _{3}^{3}(K) K)}$ of derived length ${\displaystyle \mathrm {dl} (G)=3}$, and thus the ${\displaystyle 3}$-tower of ${\displaystyle K}$ has exactly three stages, stopping at the third Hilbert ${\displaystyle 3}$-class field ${\dis$$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 $\mathrm {F} _{3}^{3}(K)$를 $재생$하십시오$.$

표 1: K의 3-타워 그룹 G의 가능한 인용구_c P

c	주문 P의c	SmallGroups P의c 식별자	TKT $\varkappa {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varkappa }$ P의c	TTT $\tau {\displaystyle }$ ${\displaystyle \tau }$ P의c	ν	μ	자손의 P의c 수
${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle 9}$	$\displaystyle \langle 9,2\angle }$	${\displaystyle (0000)}$	${\displaystyle [(1)(1)(1)(1)]}$	$(\displaystyle 3}$	$(\displaystyle 3}$	${\displaystyle 3/2;3/3;1/1}$
${\displaystyle 2}$	$(\displaystyle 27)$	$\displaystyle \langle 27,3\angle }$	${\displaystyle (0000)}$	${\displaystyle [(1^{2})(1^{2})(1^{2})(1^{2})]}$	${\displaystyle 2}$	$(\displaystyle 4}$	$(\displaystyle 4/1;7/5}$
$(\displaystyle 3}$	$(\displaystyle 243}$	$\displaystyle \langle 243,8\angle }$	$(2034년)$	${\displaystyle [(21)(21)(21)]}$	${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle 3}$	$(\displaystyle 4/4}$
$(\displaystyle 4}$	$(\디스플레이 스타일 729}$	$\displaystyle \langle 729,54\angle }$	$(2034년)$	${\displaystyle [(21)(2^{2})(21)(21)]}$	${\displaystyle 2}$	$(\displaystyle 4}$	${\displaystyle 8/3;6/3}$
$(\displaystyle 5)$	${\displaystyle$	$\displaystyle \langle 2187,302\angle }$	${\displaystyle (2334)}$	${\displaystyle [(21)(32)(21)]}$	${\displaystyle 0}$	$(\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0/0}$
$(\displaystyle 5)$	${\displaystyle$	$\displaystyle \langle 2187,306\angle }$	$(\displaystyle (2434년))$	${\displaystyle [(21)(32)(21)]}$	${\displaystyle 0}$	$(\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0/0}$
$(\displaystyle 5)$	${\displaystyle$	$\displaystyle \langle 2187,303\angle }$	$(2034년)$	${\displaystyle [(21)(32)(21)]}$	${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle 4}$	$(\디스플레이 스타일 5/2$
$(\displaystyle 5)$	$(\displaystyle 6561}$	${\displaystyle \langle 729,54\angle -\#2;2}$	${\displaystyle (2334)}$	${\displaystyle [(21)(32)(21)]}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0/0}$
$(\displaystyle 5)$	$(\displaystyle 6561}$	${\displaystyle \langle 729,54\angle -\#2;6}$	$(\displaystyle (2434년))$	${\displaystyle [(21)(32)(21)]}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0/0}$
$(\displaystyle 5)$	$(\displaystyle 6561}$	${\displaystyle \langle 729,54\angle -\#2;3}$	$(2034년)$	${\displaystyle [(21)(32)(21)]}$	${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle 3}$	$(\displaystyle 4/4}$
${\displaystyle 6}$	$(\displaystyle 6561}$	${\displaystyle \langle 2187,303\angle -\#1;1}$	$(2034년)$	${\displaystyle [(21)(21)(3^{2})(21)]}$	${\displaystyle 1}$	$(\displaystyle 4}$	$7/3(\Displaystyle 7/3)$
${\displaystyle 6}$	$19683년식 디스플레이$	${\displaystyle \langle 729,54\angle -\#2;3-\#1;1}$	$(2034년)$	${\displaystyle [(21)(21)(3^{2})(21)]}$	${\displaystyle 2}$	$(\displaystyle 4}$	${\displaystyle 8/3;6/3}$

이 검색은 M. F. 뉴먼과 E. A. 오브라이언에 의해 p-그룹 생성 알고리즘의 도움을 받아 수행된다.^[20] 알고리즘의 초기화를 위해 두 가지 기본 불변제를 결정해야 한다.첫째, 생성될 p-group 중$$ 제너레이터 등급 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ d$}$이다.Here, we have ${\displaystyle p=3}$ and ${\displaystyle d=r_{3}(K)=d(\mathrm {Cl} _{3}(K))}$ is given by the ${\displaystyle 3}$-class rank of the quadratic field ${\displaystyle K}$. Secondly, the abelian type invariants of the ${\displaystyle 3}$-class group $$${\displaystyle {}_{}}$$C$ ${\displaystyle {\mathrm{l}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( K${\displaystyle }$) ${\displaystyle \simeq }$( 1 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$) $\displaystyle \mathrm {Cl} _{3}(K)\simeq (1^{2})$ K ${\displaystyle$ K$}.$ 이 두 불변은 연속적으로 생성될 하위 트리의 뿌리를 나타낸다$.$p-그룹 생성 알고리즘은 하위 지수-p 중앙 시리즈를 통해 상위-하위 정의를 사용하도록 설계되어 있지만, 일반적인 하위 중앙 시리즈를 사용하여 정의에 적합할 수 있다.초급 아벨리안 p-그룹의 경우 뿌리로서 차이가 그리 크지 않다.So we have to start with the elementary abelian ${\displaystyle 3}$-group of rank two, which has the SmallGroups identifier ${\displaystyle \langle 9,2\rangle }$, and to construct the descendant tree ${\displaystyle {\mathcal {T}}(\langle 9,2\rangle )}$. We do that by iterating the p-group generati알고리즘에서, 이전 루트의 적절한 능력 있는 후손을 다음 루트로 삼고, 항상 단위별로 nilpension 클래스의 증분을 실행한다.

패턴 인식 섹션의 시작 부분에서 설명했듯이, 필드 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$의 산술에 의해 $결정$되는 3$${\$displaystyle$3} -타워$$ $그룹{\displaystyle }$ G$${\$displaystyle$G$\}$의 불변성 TKT 및 TTT에 대해 하위 트리를 $\varkappa {\displaystyle \in }$ {${\displaystyle 2334}$, (${\displaystyle 2434}$ )$}$ {$displaystylease$}로$$ 다듬어야 한다.$\varkappa \in \{(2334),(2434)\}}$ (exactly two fixed points and no transposition) and ${\displaystyle \tau =[(21)(32)(21)(21)]}$. Further, any quotient of ${\displaystyle G}$ must be a ${\displaystyle \sigma }$-group, enforced by number theoretic requirements for the quadratic field ${\displaystyle K}$$(\backslash$$displaystyle$ K$})$

The root ${\displaystyle \langle 9,2\rangle }$ has only a single capable descendant ${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$ of type ${\displaystyle (1^{2})}$. In terms of the nilpotency class, ${\displaystyle \langle 9,2\rangle }$ is the class-${\displaystyle 1}$ quotient $$${\displaystyle G/\gamma _{2}(G)}$ of ${\displaystyle G}$ and ${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$ is the class-${\displaystyle 2}$ quotient ${\displaystyle G/\gamma _{3}(G)}$ of ${\displaystyle G}$. Since the latter has nuclear rank two, there occurs a bifurcation ${\displaystyle {\mathcal {T}}(\langle 27,3\rangle )={\mathcal {T}}^{1}(\langle 27,3\rangle )\sqcup {\mathcal {T}}^{2}(\langle 27,3\rangle )}$, where the former component ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(\langle 27,3\rangle$$)}$은(는) 최대 등급의 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 3$}$ 그룹$$ $모두$의 TKT에 대한$$ 안정화 기준 $\varkappa {\displaystyle }$= (${\displaystyle \ast }$ ${\displaystyle 000}$) ${\displaystyle \varkapa =(\ast 000)}$에 의해 제거될$$ 수 있다.

Due to the inheritance property of TKTs, only the single capable descendant ${\displaystyle \langle 243,8\rangle }$ qualifies as the class-${\displaystyle 3}$ quotient ${\displaystyle G/\gamma _{4}(G)}$ of ${\displaystyle G}$. There is only a single capable ${\displaystyle \sigma }$$$-group ${\displaystyle \langle 729,54\rangle }$ among the descendants of ${\displaystyle \langle 243,8\rangle }$. It is the class-${\displaystyle 4}$ quotient ${\displaystyle G/\gamma _{5}(G)}$ of ${\displaystyle G}$ and has nuclear rank two.

This causes the essential bifurcation ${\displaystyle {\mathcal {T}}(\langle 729,54\rangle )={\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,54\rangle )\sqcup {\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,54\rangle )}$ in two subtrees belonging to different coclass graphs ${\displaystyle \mathcal{G}(3,2}$${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$ and ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,3)}$. The former contains the metabelian quotient ${\displaystyle Q=G/G''}$ of ${\displaystyle G}$ with two possibilities ${\displaystyle Q\in \{\langle 2187,302\rangle ,\lan$ 보다 큰관계 순위 = 3 > 2 = d ${\displaystyle$ r$=3>2=d}$과(와) 균형을 이루지 않는 gle $2187,$$\rangele$ $\backslash \}\}.$The latter consists entirely of non-metabelian groups and yields the desired ${\displaystyle 3}$-tower group ${\displaystyle G}$ as one among the two Schur ${\displaystyle \sigma }$-groups ${\displaystyle \langle 729,54\rangle -\#2;2}$ and ${\displaystyle \langle 729,$$r{\displaystyle }$= ${\displaystyle 2}$= ${\displaystyle \mathrm{d}}$ ${\displaystyle r=2=d}$인 54$\backslash$rangele $-\#2;6}.$

Finally the termination criterion is reached at the capable vertices ${\displaystyle \langle 2187,303\rangle -\#1;1\in {\mathcal {G}}(3,2)}$ and ${\displaystyle \langle 729,54\rangle -\#2;3-\#1;1\in {\mathcal {G}}(3,3)}$, since the TTT ${\displaystyle \tau =[(21)(3^{2})(21)(21)]>[(21)(32)(21)(21)]}$ is too big and will even increase further, never returning to ${\displaystyle [(21)(32)(21)(21)]}$.The complete search process is visualized in Table 1, where, for each of the possible successive p-quotients ${\displaystyle P_{c}=G/\gamma _{c+1}(G)}$ of the ${\displaystyle 3}$-tower group ${\displaystyle G=\mathrm {G} _{3}^{\infty }(K)}$ of ${\displaystyle K=\mathbb{Q}(\sqrt{-9748})}$${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt {-9748}})}$, the nilpotency class is denoted by ${\displaystyle c=\mathrm {cl} (P_{c})}$, the nuclear rank by ${\displaystyle \nu =\nu (P_{c})}$, and the p-multiplicator rank by ${\displaystyle \mu =\mu (P_{c})}$.

정류자 미적분학

이 절은 알틴이 명시적으로 이전하는 커널과 대상을 결정하기 위해 정류자 미적분학을 어떻게 사용할 수 있는지를 예시적으로 보여준다.구체적인 예로 그림 4의 코클라스 트리 다이어그램에서 자전거 중심부가 있는 $메타벨리안{\displaystyle \mathrm{}}$ 3 ${\displaystyle 3}$ 그룹을$$ 정점으로 표현한다.그것들은 10개의 주기적인 무한 시퀀스를 형성한다, 4개의 resp. 6개의 resp, 짝수 resp.홀수, nilpensency 클래스 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$및 파라메터화된 다주기식 파워 커머터 프레젠테이션의 도움으로 특징지어질 수 있다.

1 ${\displaystyle {\reasoned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\ t_{3}^{3}=1,\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $c{\displaystyle }$≥ 5${\displaystyle c\geq$ 5$}$는 nilpensency 클래스, ${\displaystyle {3n}^{}}$ ${\$ $n{\displaystyle }$= c${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 2}$ ${\$$displaystyle$ $n=c+2}$가 순서$$, $0{\displaystyle \mathrm{}\le }$ ${\displaystyle \mathrm{w},}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle z}$≤ $0\leq w\1\leq$ 1,\$leq$ z\leq z\leq z\$leq$ z\$leq$ z\leq z\leq 1}이 매개 변수$$$.$

The transfer target type (TTT) of the group ${\displaystyle G=G^{c,n}(z,w)}$ depends only on the nilpotency class ${\displaystyle c}$, is independent of the parameters ${\displaystyle w,z}$, and is given uniformly by ${\displaystyle$$\tau =[A(3,c$), $($3$,3,3$), $(9,3$), $(9,3$ 이러한 현상을 첫 번째 요소에서 양극화, 더 정확히 말하면 단극화라고 한다.^[11]

The transfer kernel type (TKT) of the group ${\displaystyle G=G^{c,n}(z,w)}$ is independent of the nilpotency class ${\displaystyle c}$, but depends on the parameters ${\displaystyle w,z}$, and is given by c.18, ${\displaystyle \varkappa =(0122)}$, for ${\displays$$tyle w=z=0}$ (a mainline group), H.4, ${\displaystyle \varkappa =(2122)}$, for ${\displaystyle w=0,z=\pm 1}$ (two capable groups), E.6, ${\displaystyle \varkappa =(1122)}$, for ${\displaystyle w=1,z=0}$ (a terminal group), and E.14, ${\$$displaystyle$ \varkappa$\in$ \{($4122),$ ($3122)\}}},$$w{\displaystyle }$= ${\displaystyle 1,}$ z${\displaystyle }$=${\displaystyle }$± 1 ${\displaystyle w=1,z=\pm 1}($두 터미널 그룹)의 경우.nilpensency 클래스의 경우에도 변수 $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ z$}$의 부호에서만 다른 H.4와 E.14 유형의 두 그룹은 이형성이다.

이러한 진술은 다음과 같은 고려사항을 통해 추론할 수 있다.

As a preparation, it is useful to compile a list of some commutator relations, starting with those given in the presentation, ${\displaystyle [a,x]=1}$ for ${\displaystyle a\in \{s_{c},t_{3}\}}$ and ${\displaystyle [a,y]=1}$ for ${\d$$isplaystyle a\in \{s_{3},\ldots ,s_{c},t_{3}\}}$, which shows that the bicyclic centre is given by ${\displaystyle \zeta _{1}(G)=\langle s_{c},t_{3}\rangle }$. By means of the right product rule ${\displaystyle [a,xy]=[a,y]\cdot [a,x]\cdot [[a,$$x],y]}$ and the right power rule ${\displaystyle [a,y^{2}]=[a,y]^{1+y}}$, we obtain ${\displaystyle [s_{2},xy]=s_{3}t_{3}}$, ${\displaystyle [s_{2},xy^{2}]=s_{3}t_{3}^{2}}$, and ${\displaystyle [s_j,xy]=[s_j}$${\displaystyle }$$,$ ${\displaystyle x}$ y ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$= ${\displaystyle [s}$ ${\displaystyle j_{}}$ x ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle {\mathrm{s}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ 1 ${\$}=$s_{j$$+$$1$$\},$ $}.$

$G$ ${\displaystyle G}$의 최대 하위 그룹은 계산 구현 섹션, 즉,

${\displaystyle {\reasoned}H_{1}&=\langle y, G'\angle \\\\H_{2}&=\langle x, G'\angle \\\\H_{3}&=\langle xy,G'\rangle \\langle \H_{4}&=\langle xy^{2},G'\rangele \\\end}}}}$

그들의 파생된 하위 그룹은 Artin 전송의 행동에 매우 중요하다.By making use of the general formula ${\displaystyle H_{i}'=(G')^{h_{i}-1}}$, where ${\displaystyle H_{i}=\langle h_{i},G'\rangle }$, and where we know that ${\displaystyle G'=\langle s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,$현$$ $상황에서 s_{$c}\$rangele },$ 그 뒤를 따른다.

${\displaystyle {\reasoned}H_{1}'&=\좌측\langles s_{2}^{y-1}\우측\랑글 =\좌측\langle t_{3}\우측\랑글 \\\\\\H_{2}'&=\left\langles s_{2}^{x-1},\ldots,s_{c-1}^{x-1}\right\rangele =\left\langles s_{3},\ldots ,s_{c}\right\rangele\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}H_{3}'&=\left\langle s_{2}^{xy-1},\ldots ,s_{c-1}^{xy-1}\right\rangle =\left\langle s_{3}t_{3},s_{4},\ldots ,s_{c}\right\rangle \\H_{4}'&=\left\langle s_{2}^{xy^{2}-1},\ldots ,s_{c-1}^{xy^{2}-1}\right\rangle =\left\langle s_{3}t_{3}^{2},s_{4},\ldots ,s_{c}\right\rangle \end{aligned}}}$

Note that ${\displaystyle H_{1}}$ is not far from being abelian, since ${\displaystyle H_{1}'=\langle t_{3}\rangle }$ is contained in the centre ${\displaystyle \zeta _{1}(G)=\langle s_{c},t_{3}\rangle }$.

첫 번째 주요 결과로서, 현재 우리는 파생된 인용구의 아벨형 불변량을 결정할 수 있는 위치에 있다.

${\displaystyle H_{1}/H_{1}'=\langle y,s_{2},\ldots,s_{c}\langle H_{1}'/H_{1}의\simeq A(3,c),}$

the unique quotient which grows with increasing nilpotency class ${\displaystyle c}$, since ${\displaystyle \mathrm {ord} (y)=\mathrm {ord} (s_{2})=3^{m}}$ for even ${\displaystyle c=2m}$ and ${\displaystyle \ma$$srm {ord} (y)=3^{m+1},\mathrm {ord}(s_{2})=3^{m}},$ 홀수$$ $c{\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{2m}}$+ 1 ${\displaysty c=2m+1$

${\displaystyle {\reasoned}H_{2}/H_{2}'&=\langle x,s_{2},t_{3}\angle H_{2}'/H_{2}'\simeq (3,3)\\\\\H_{3}/H_{3}'&=\langle xy,s_{2}}t_{3}\angle H_{3}'/H_{3}'\simeq (9,3)\\H_{4}/H_{4}'&=\langle xy^{2},s_{2},t_{3}\angle H_{4}'/H_{4}'\simeq(9,3)\end{igned}}}}}}}}}$

since generally ${\displaystyle \mathrm {ord} (s_{2})=\mathrm {ord} (t_{3})=3}$, but ${\displaystyle \mathrm {ord} (x)=3}$ for ${\displaystyle H_{2}}$, whereas ${\displaystyle \mathrm {ord} (xy)=\mathrm {ord} (x$$y$$^{2}=9}:$ $H{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ $4{\displaystyle {}_{}}$ ${\$

이제 아르틴 전이 동형체 $T{\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle G}$→ H ${\displaystyle i_{}^{}{}_{}}$/ H ${\displaystyle i{}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$$G\to H_{i}/H_{i$ $유도{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ 전송 T${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ I${\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle G}$/ ${\displaystyle G{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$→ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}{}_{}{}_{}^{}}$ ${\$$G/G'\to H_{i}/H_{i}'}$ and to begin by finding expressions for the images ${\displaystyle {\tilde {T}}_{i}(gG')}$ of elements ${\displaystyle gG'\in G/G'}$, which can be expressed in the form

${\displaystyle g\equiv x^{j}y^{\ell }{\pmod {G'},\qquad j,\ell \in \{-1,0,1\}.}$

첫째, 가능한 한 외부 전송을 활용한다.

${\displaystyle {\begin}x\notin H_{1}&\오른쪽 화살표 {\tilde {T}_{1}(xG')=x^{3}H_{1}'=s_{c}^{w}H_{1}'\\y\notin H_{2}&\오른쪽 화살표 {\tilde{T}}_{2}(yG')=y^{3}H_{2}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}H_{2}'=1\cdot H_{2}'\x\x,y\notin H_{3},H_{4}&\오른쪽 화살표 {\begin{tild}{T}}}}(xG')=x^{3}H_{i}'=s_{c}^{w}H_{i}'=1\cdot H_{i}'\\{\tilde{T}_{{i}(yG')=y^{3}H_{i}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}H_{i}'=s_{3}^{2}H_{i}'\case}\end{case}&&#3\leq i\leq 4\end{aigned}}}$

다음으로, 우리는 피할 수 없는 내부 이전을 다루는데, 그것은 더욱 복잡하다.이를 위해 다항식 아이덴티티를 사용한다.

${\displaystyle X^{2}+X+1=(X-1)^{2}+3(X-1)+3}$

다음을 얻으려면:

${\displaystyle {\begin}y\in H_{1}&\오른쪽 화살표 {\tilde{T}}(yG')=y^{1+x+x^{2}}H_{1}'=y^{3+3(x-1)+(x-1)^{2}}H_{1}'=y^{3}\cdot [y,x]^{3}\cdot [[y,x],x]H_{1}'=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z}s_{2}^{3}s_{3}H_{1}'=s_{2}^{3}s_{3}^{3}s_{3}s_{4}s_{c}^{z}H_{1}'=s_{c}^{z}H_{1}'\\x\in H_{2}&\오른쪽 화살표 {\tilde{T}}{{2}(xG')=x^{1+y+y^{2}}}H_{2}'=x^{3+3(y-1)+(y-1)^{2}}H_{2}'=x^{3}\cdot [x,y]^{3}\cdot [[x,y],y]H_{2}'=s_{c}^{w}s_{2}^{-3}t_{3}^{-1}H_{2}'=t_{3}^{-1}H_{2}'\end{aligned}}}$

마지막으로, 우리는 결과를 조합한다: 일반적으로

${\displaystyle {\t}_{i}(gG')={\tilde {{T}{{{i}(xG')^{j}{\tilde{T}}{{T}}(yG')^{\ell }}}}}}$

그리고 특히

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {T}}_{1}(gG')&=s_{c}^{wj+z\ell }H_{1}'\\{\tilde {T}}_{2}(gG')&=t_{3}^{-j}H_{2}'\\{\tilde {T}}_{i}(gG')&=s_{3}^{2\ell }H_{i}'&&3\leq i\leq 4\end{aligned}}}$

커널을 결정하려면 다음 방정식을 풀어야 한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{c}^{wj+z\ell }H_{1}'=H_{1}'&\Rightarrow {\begin{cases}{\text{arbitrary }}j,\ell {\text{ and }}w=z=0\\\ell =0,{\text{arbitrary }}j{\text{ and }}w=0,z=\pm 1\\j=0,{\text{arbitrary }}\ell {\text{ and }}w=1,z=0\\j=\mp \ell ,w=1,z=\pm 1\end{cases}}\\t_{3}^{-j}H_{2}'=H_{2}'&\Rightarrow j=0{\text{with }}}\\el \\s_{3}^{2\ell }H_{i}'=H_{i}'&\Rightarrow \el =0{\text{{{\text{}(임의의 경우) }j&3\leq i\leq 4\end}}}$

${\displaystyle 1}$equival ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \le }$ 4 ${\displaystyle 1\leq i\leq 4}$에 대해 다음과 같은 동등성은 문장의 정당성을 마무리한다$.$

• ${\displaystyle j,\ell }$ both arbitrary ${\displaystyle \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle x,y,G'\rangle =G\Leftrightarrow \varkappa (i)=0}$.
• ${\displaystyle j=0}$ with arbitrary ${\displaystyle \ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle y,G'\rangle =H_{1}\Leftrightarrow \varkappa (i)=1}$,
• ${\displaystyle \ell =0}$ with arbitrary ${\displaystyle j\Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle x,G'\rangle =H_{2}\Leftrightarrow \varkappa (i)=2}$,
• ${\displaystyle j}$= ${\displaystyle {}_{}}$ ker${\displaystyle \ker }$ (${\displaystyle \mathrm{Ti}}$ ) =${\displaystyle ⟨}$ x${\displaystyle }$y ,${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\displaystyle ⟩}$ = ${\displaystyle {H\mathrm{}}_{}}$ 3 $⇔$ ${\displaystyle \varkappa }$ϰ ${\displaystyle \varkappa }$ ( i ) = 3 $displaysty$ j$=\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i}})=\langle xy,G'\rangele$ =$H_{3}\좌우측 \varkappkapparkappa(i3=3$3}, \i)=3}, \i3$}$
• ${\displaystyle j=-\ell \Leftrightarrow \ker(T_{i})=\langle xy^{-1},G'\angle =H_{4}\Leftrightarrow \varkappa(i)=4}$

따라서 TKT의 마지막 세 가지 구성요소는 $매개변수{\displaystyle }$ w${\displaystyle }$, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle w,z}$와 무관하며, 이는$$ TTT와 TKT 모두 첫 번째 구성요소에서 단극화가 나타난다는 것을 의미한다.

SDT의 체계적 라이브러리

이 섹션의 목적은 파라메트리된 프리젠테이션과 불변성의 간결한 요약과 함께 유한한 p-그룹의 구조화된 코클라스 트리(SCT)의 컬렉션을 제시하는 것이다.기본 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle p}$은(는) 작은 값 $p{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }${ ${\displaystyle 2}$,${\displaystyle 3}$,${\displaystyle 5}$} ${\displaystyle p\in \{2,3,5\}$로 제한된다$.$나무들은 증가하는 코클라스 $r{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r\geq 1}$과 각 코클라스 내의 다른 아벨리아니화에 따라 배열된다.하위 번호를 관리할 수 있도록, 한 개 이상의 깊이의 정점을 제거하여 나무를 가지런히 다듬는다.또한, 안정화 기준이 모든 정점의 공통 TKT를 시행하는 나무는 생략한다. 왜냐하면 우리는 그러한 나무를 더 이상 구조화된 것으로 간주하지 않기 때문이다.열거된 불변성에는 다음이 포함된다.

• 사전 준비 및 기간 길이,
• 가지 깊이 및 너비,
• 단극화, TTT, TKT,
• ${\displaystyle }$▼ ${\displaystyle \sigma }$ - ${\displaystyle \mathrm{그룹}}$.

우리는 불변제가 발표에서 도출되는 방식이 정류자 미적분학 섹션에서 예시되어 왔기 때문에 불변제에 대한 정당성을 부여하지 않는다.

코클라스 1호

For each prime ${\displaystyle p\in \{2,3,5\}}$, the unique tree of p-groups of maximal class is endowed with information on TTTs and TKTs, that is, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(\langle 4,2\rangle )}$ for ${\displaystyle p=2,{\mathcal {T}}^{1}(\lang$$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$의 경우$$$$$le$ 9$,2\rangele$ $)\},$ $p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle p=3}$의 경우 $T{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle 1^{\mathrm{}}(⟨}$ ${\displaystyle 25,}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle ⟩}$) ${\mathcal {T}^{1}(\langle 25,2\rangele$ $)\}.$ 마지막의 경우 트리는 메타벨리안 $5{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$5 -$}$로 제한된다.

그림 5의$$ $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 2}$ - coclass $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$ 그룹은$$ Blackburn의 프레젠테이션과는 상당히 다른 다음과 같은 파라메트리화된 다순환 pc-프레젠테이션으로 정의할 수 있다.^[10]

2 ${\displaystyle {\reasoned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{2}=s_{c}^{w},\ y^{2}=s_{c}^{z},\ s_{j}^{2}=s_{j+1}s_{j+2}{\text{ for }}2\leq j\leq c-2,\ s_{c-1}^{2}=s_{c},\\&s_{2}=[y,x],\ s_{j}=[s_{j-1},x]=[s_{j-1},y]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}}$

여기서 nilpotency 클래스는 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle c\geq$3$\},$ $순서$는 ${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\$이며$,$${\displaystyle }$n =${\displaystyle c}$ + ${\displaystyle 1}${\$displaystyn=c+1$},${\displaystyle w}$ , z$${\$displaystystyle w,z}$이 매개$$ 변수다.분기는 $period{\displaystyle \mathrm{}}$ 1$${\$displaystyle$ 1$$$}$ 및 period $길이{\displaystyle \mathrm{}}$ 1 ${\displaystyle 1$$},$ $깊이$ 1 ${\displaystyle$ 1} 및 $너비{\displaystyle \mathrm{}}$ 3 ${\displaystystyle 3}$으로 엄격히 주기적이다$.$ TTT는 $\tau {\displaystyle }$=${\displaystyle }$[${\displaystyle }$( ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}{}^{}}$2 )${\displaystyle }$,${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2}$)${\displaystyle }$, $],${\$displaystypisplaystyptu$ = $[1^2}$이다.$),(1^{2}),A(2,c)]}$, only dependent on ${\displaystyle c}$ and with cyclic ${\displaystyle A(2,c)}$. The TKT depends on the parameters and is ${\displaystyle \varkappa =(210)}$ for the dihedral mainline vertices with ${\displaystyle w=z=0}$, ${\displaystyle \varkappa =(21$$3$) ${\displaystyle w}$= ${\displaystyle \mathrm{z}}$= 1$${\$displaystyle w=1}$을(를$)$ 사용하는 터미널 일반화 쿼터니온 그룹에 대해$$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mathrm{그리고}}$${\displaystyle }$w${\displaystyle }$= 1 , ${\displaystyle \mathrm{z}}$= 0$,$$${\$displaystyle$$\varkappa$= ($211)$을(를) 사용하는 터미널 세미 다이헤드럴 그룹에 대해$$, $w{\displaystyle }$$$= 1$,z=0$There are two exceptions, the abelian root with ${\displaystyle \tau =[(1),(1),(1)]}$ and ${\displaystyle \varkappa =(000)}$, and the usual quaternion group with ${\displaystyle \tau =[(2),(2),(2)]}$ and ${\displaystyle \varkappa =(123)}$.

그림 $6$의 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 3}$ - coclass 1 ${\displaystyle 1}$ 그룹은$$ Blackburn의 프레젠테이션과는 약간 다른 다음과 같은 파라메트리화된 다순환 pc-프레젠테이션으로 정의할 수 있다.^[10]

3 ${\displaystyle {\reasoned}G_{a}^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ t_{3}=s_{c}^{a},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}}$

여기서 nilpotency 클래스는 ${\displaystyle \mathrm{c}}$ ${\displaystyle \ge }$ 5 ${\displaystyle c\geq$ 5$\},$ 순서는 ${\displaystyle {3n}^{}}$ ${\$ 3$^{n}$이며, $n$${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{c}}$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n=c+1$ a${\displaystyle }$, ${\displaystyle w}$ ,${\displaystyle }$z ${\displaystystyle a,w,z}$이 매개$$ 변수다.분기는 period $2{\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle 2}$과 period$$ 길이 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 2$\},$ $깊이$ 1 ${\displaystyle 1}$과 $너비{\displaystyle \mathrm{}}$ 7 ${\$displaysty $7}$으로 엄격히 주기적이다$.$ TTT는 $\tau {\displaystyle }$=${\displaystyle A}$(${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$, c - a${\displaystyle }$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$( ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$( 1${\displaystyle {}^{}}$) ,${\displaystyle }$( ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ) ${\displayplayplayplayplays$)이다.$tyle{\displaystyle }$ $\tau =[A(3,c-a),(1^{2}),(1^{2}),(1^{2}]},$ c ${\displaystyle c}$ 및$$ ${\displaystyle a}$에만 의존함$.$The TKT depends on the parameters and is ${\displaystyle \varkappa =(0000)}$ for the mainline vertices with ${\displaystyle a=w=z=0,\varkappa =(1000)}$ for the terminal vertices with ${\displaystyle a=0,w=1,z=0,\varkappa =(2000)}$ for the terminal vertices with ${\displaystyle a=w=0,z=\pm 1}$, and ${\displaystyle \varkappa =(0000)}$ for the terminal vertices with ${\displaystyle a=1,w\in \{-1,0,1\},z=0}$.There exist three exceptions, the abelian root with ${\displaystyle \tau =[(1),(1),(1),(1)]}$, the extra special group of exponent ${\displaystyle 9}$ with ${\displaystyle \tau =[(1^{2}),(2),(2),(2)]}$ and ${\displaystyle \varkap$$pa =(1111)}$, and the Sylow ${\displaystyle 3}$-subgroup of the alternating group ${\displaystyle A_{9}}$ with ${\displaystyle \tau =[(1^{3}),(1^{2}),(1^{2}),(1^{2})]}$. Mainline vertices and vertices on odd branches are ${\displaystyle \sigma }$-groups

메타벨리안 $5{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 5}$ - 그림 7의$$ 코코클라스 $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 1}$ 그룹은$$ Miech의 프레젠테이션과는 약간 다른 다음과 같은 파라메트리화 다순환 pc-프레젠테이션으로 정의할 수 있다.^[21]

4 ${\displaystyle {\reasoned}G_{a}^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{5}=s_{c}^{w},\ y^{5}=s_{c}^{z},\ t_{3}=s_{c}^{a},\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}}$

여기서 nilpotency 클래스는 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle c\geq$3$\},$ $순서$는 ${\displaystyle {5n}^{}}$ ${\$ 5$^{n}$이며$,$${\displaystyle }$n =${\displaystyle c}$ + ${\displaystyle 1}${\$displaystyle n=c+1$},${\displaystyle }a{\displaystyle }$ , $,$ ${\displaystyle z}$ {\$displaystystyle a, w,z}$이 매개$$ 변수다.(메타벨리안!) 가지는 $period{\displaystyle \mathrm{}}$ 3 ${\displaystyle 3}$과 period $길이{\displaystyle \mathrm{}}$ 4 ${\displaystyle 4$로 엄격히 주기적이며 $깊이{\displaystyle \mathrm{}}$ 3 ${\displaystyle$ 3$}$과 너비$$ $[\displaystystyle 67$을 가지고 있다.(비메타벨리안 그룹들을 포함한 전체 트리의 가지는 사실상 주기적 너비만 있다.n경계 깊이!)첫 번째 구성 요소에 양극화가 발생하며 TTT는 $is{\displaystyle }$=${\displaystyle }$[ A${\displaystyle }$( ${\displaystyle 5}$,${\displaystyle }$c${\displaystyle }$- ${\displaystyle k}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$( 1 ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}{}^{}}$) ${\displaystyle {5\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \tau =[A(5,c-k$), $(1^{2}^{5$$}}}}}}},$ $c$에만 의존하며$$ c ${\displaystytyle$ k}의$$결함에 의존한다$.$The TKT depends on the parameters and is ${\displaystyle \varkappa =(0^{6})}$ for the mainline vertices with ${\displaystyle a=w=z=0,\varkappa =(10^{5})}$ for the terminal vertices with ${\displaystyle a=0,w=1,z=0,\varkappa =(20^{5})}$ for t$a$= w${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$$,$ z ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle a=w=0,z$\$neq$ 0$\},$ 그리고 $\varkappa {\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle {0\mathrm{}}^{}}$6 ) ${\$$displaystyle$ $\varkappa$ = $(0^{$$6})$가 $있는{\displaystyle }$ 터미널 정점$.$There exist three exceptions, the abelian root with ${\displaystyle \tau =[(1)^{6}]}$, the extra special group of exponent ${\displaystyle 25}$ with ${\displaystyle \tau =[(1^{2}),(2)^{5}]}$ and ${\displaystyle \varkappa =(1^{6})}$, and the group ${\displaystyle ⟨}$${\displaystyle 15625,}$ ${\displaystyle 631}$ ${\displaystyle ⟩}$=${\displaystyle }$[ ( ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$5${\displaystyle }$)${\displaystyle }$, ( ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}{}^{}}$2 ) ${\displaystyle 5^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle$$\langle 15625,631\rangle },$ $\tau {\displaystyle }$=${\displaystyle }$[(1 2 ) ] {\displaysty $\tau$ $=[(1^{5}),$ ($1^{5}}^{$5$\}]\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$ 홀수분지점의 메인라인 정점과 $정점$은$$odd {$displaystegroup$$.$

코클라스 2

타입의 아벨리안화(p,p)

Three coclass trees, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )}$ and ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,40\rangle )}$ for ${\displaystyle p=3}$, aTTT와 TKT에 관한 정보를 제공받는다.

$T{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ (${\displaystyle }$24 ${\displaystyle 243,}$ ${\displaystyle 6)}$ ) ${\displaystyle${\$mathcal{T}^{2}(\langle 243,6\rangele )}$ 나무에서 그림 8에 자전거 중심이 있는$$ $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 3}$ 그룹의$$ $코클라스{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\displaystyle 2}$ 그룹을 다음과 같은 파라미터로 정의할 수 있다$.$^[11]

5 ${\displaystyle {\reasoned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},t_{3},s_{3},\ldots ,s_{c}\mid {}\\&x^{3}=s_{c}^{w},\ y^{3}=s_{3}^{2}s_{4}s_{c}^{z},\ s_{j}^{3}=s_{j+2}^{2}s_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ s_{c-2}^{3}=s_{c}^{2},\ t_{3}^{3}=1,\\&s_{2}=[y,x],\ t_{3}=[s_{2},y],\ s_{j}=[s_{j-1},x]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}}$

여기서 nilpotency 클래스는 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle c\geq$5$\},$ $순서$는 ${\displaystyle {3n}^{}}$ ${\$이며,${\displaystyle }$n =${\displaystyle c}$ + ${\displaystyle 2}${\$displaystyn=c+$2$\},$${\displaystyle }w{\displaystyle }$ , ${\displaystyle z}${\$displaystystyle w,z}$이 매개$$ 변수다.가지들은 $pre-period{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 {\$displaystyle$$$$2}$ 및 period 길이 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 2$\},$ 깊이 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 3}$ 및$$ 너비 ${\displaystyle 18}$ ${\$$displaystystyle$ $18}$으로 엄격히 주기적이다$.$ TTT는 ${\displaystyle \tau }$=${\displaystyle }$[ A${\displaystyle }$( ${\displaystyle 3}$,${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle }$,${\displaystyle }$( 1${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ )${\displaystyle }$,${\displaystyle }$(${\displaystyle 21}$ ) , ${\displaystyle )}$ , ( 21${\displaystyle }$)이다$.$$A(3,c),(1^{3}),(21),(21$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에만 의존함$.$The TKT depends on the parameters and is ${\displaystyle \varkappa =(0122)}$ for the mainline vertices with ${\displaystyle w=z=0}$, ${\displaystyle \varkappa =(2122)}$ for the capable vertices with ${\displaystyle w=0,z=\pm 1}$, ${\displaystyle \varkappa$$=(1122)}$ for the terminal vertices with ${\displaystyle w=1,z=0}$, and ${\displaystyle \varkappa =(3122)}$ for the terminal vertices with ${\displaystyle w=1,z=\pm 1}$. Mainline vertices and vertices on even branches are ${\displaystyle \sigma }$-groups.

$T{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ (${\displaystyle 24}$ 243${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 8)}$ ) ${\displaystyle${\$mathcal{T}^{2}(\langle 243,8\rangele )}$ 나무에서 $그림{\displaystyle \mathrm{}}$ 9의 자전거 중심이 있는$$ 3 ${\displaystyle 3$$}$ 그룹의$$ 코클라스 $2{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ 2)는 다음과 같은 파라메트리 다순환 pc-표시로 정의할 수 있다$.$^[11]

6 ${\displaystyle {\reasoned}G^{c,n}(z,w)=&\langle x,y,t_{2},s_{3},t_{3},\ldots ,t_{c}\mid {}\\&y^{3}=s_{3}t_{c}^{w},\ x^{3}=t_{3}t_{4}^{2}t_{5}t_{c}^{z},\ t_{j}^{3}=t_{j+2}^{2}t_{j+3}{\text{ for }}2\leq j\leq c-3,\ t_{c-2}^{3}=t_{c}^{2},\ s_{3}^{3}=1,\\&t_{2}=[y,x],\ s_{3}=[t_{2},x],\ t_{j}=[t_{j-1},y]{\text{ for }}3\leq j\leq c\rangle ,\end{aligned}}}$

여기서 nilpotency 클래스는 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle c\geq$6$\},$ $순서$는 ${\displaystyle {3n}^{}}$ ${\$ 3$^{n}$이며,${\displaystyle }$n =${\displaystyle c}$ + ${\displaystyle 2}${\$displaystyn=c+2$${\displaystyle }w{\displaystyle }$ , ${\displaystyle z}${\$displaystystyle w,z}$이 매개$$ 변수다.가지들은 $pre-period{\displaystyle \mathrm{}}$ 2 {\$displaystyle$ 2$}$과 $period{\displaystyle \mathrm{}}$ $길이$ 2 {\displaystyle $2$ $깊이$ 3 {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle<img\; alt="3"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f"\; style="vertical-align:\; -0.338ex;\; width:1.162ex;\; height:2.176ex;"\; papago-attr-id="2095">}}$ $3}$과 $너비$ 16 {\displaystystyle $16}$으로 엄격히 주기적이다$.$ TTT는 $\tau {\displaystyle }$=${\displaystyle }$[${\displaystyle }$( ${\displaystyle 21}$)${\displaystyle }$, A${\displaystyle }$,${\displaystyle }$( ${\displaystyle 21}$)${\displaystyle ,}$( $21$ ) , $($ 21 )이다$.$$,A(3,c),(21),(21$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$에만 의존함$.$The TKT depends on the parameters and is ${\displaystyle \varkappa =(2034)}$ for the mainline vertices with ${\displaystyle w=z=0}$, ${\displaystyle \varkappa =(2134)}$ for the capable vertices with ${\displaystyle w=0,z=\pm 1}$, ${\displaystyle \varkappa$$=(2234)}$ for the terminal vertices with ${\displaystyle w=1,z=0}$, and ${\displaystyle \varkappa =(2334)}$ for the terminal vertices with ${\displaystyle w=1,z=\pm 1}$. Mainline vertices and vertices on even branches are ${\displaystyle \sigma }$-groups.

타입의 아벨리안화(p²,p)

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,3\rangle )}$ and ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,4\rangle )}$ for ${\displaystyle p=2}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,15\rangle )}$ and ${\displaystyle {\mathcal{T}}^2(⟨243}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 17}$ $){\displaystyle {\mathcal{T}^{2}(\langle 243,17\angle )}$의 p${\displaystyle }$= 3 ${\displaystyp=3}$.

유형의 아벨리아화(p,p,p)

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 16,11\rangle )}$ for ${\displaystyle p=2}$, and ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 81,12\rangle )}$ for ${\displaystyle p=3}$.

코클라스 3

타입의 아벨리안화(p²,p)

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,13\rangle )}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,18\rangle )}$ and ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 729,21\rangle )}$ for ${\displaystyle p=3}$.

유형의 아벨리아화(p,p,p)

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,35\rangle )}$ and ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,181\rangle )}$ for ${\displaystyle p=2}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 243,38\rangle )}$ and ${\displaystyle {\mathcal{T}}^3(}$${\displaystyle }$$p{\displaystyle }$= ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle p=3$에 대한$$ ${\displaystyle 243,}$ ${\displaystyle 41}$ ${\displaystyle ⟩}$) {\$displaystyle {\mathcal{T}^{3}(\langle 243,41\angle )}.$

산술적용

대수적 수 이론과 계급장 이론에서 유한 p-그룹의 구조화된 하위 트리(SDT)는 훌륭한 도구를 제공한다.

• 대수적 숫자 필드 $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$과(와) 연관된$$ 다양한 비-아벨리안 p-그룹 $G{\displaystyle (K}$) ${\displaystyle G(K)}$의 위치를 시각화한다$.$
• 해당 정점에 부착된 레이블에$$ $G{\displaystyle }$ (${\displaystyle K}$) ${\displaystyle G(K)}$ 그룹에 대한 추가 정보 표시
• 고치 나무 가지에 $있는$ G${\displaystyle }$( ${\displaystyle K}$) ${\displaystyle G(K)}$ 그룹의 발생 주기성을 강조한다.

For instance, let ${\displaystyle p}$ be a prime number, and assume that ${\displaystyle F_{p}^{2}(K)}$ denotes the second Hilbert p-class field of an algebraic number field ${\displaystyle K}$, that is the maximal metabelian unramified extension of ${\displaystyle K}$ of degree a power of ${\d$$isplaystyle p}$.Then the second p-class group ${\displaystyle G_{p}^{2}(K)=\mathrm {Gal} (F_{p}^{2}(K) K)}$ of ${\displaystyle K}$ is usually a non-abelian p-group of derived length ${\displaystyle 2}$ and frequently permits to draw conclusions about the entire p-class field tower of $$${\displaystyle K}$, that is the Galois group ${\displaystyle G_{p}^{\infty }(K)=\mathrm {Gal} (F_{p}^{\infty }(K) K)}$ of the maximal unramified pro-p extension ${\displaystyle F_{p}^{\infty }(K)}$ of ${\displaystyle K}$.

Given a sequence of algebraic number fields ${\displaystyle K}$ with fixed signature ${\displaystyle (r_{1},r_{2})}$, ordered by the absolute values of their discriminants ${\displaystyle d=d(K)}$, a suitable structured coclass tree (SCT) ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$, or also thefinite sporadic part ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$ of a coclass graph ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,r)}$, whose vertices are entirely or partially realized by second p-class groups ${\displaystyle G_{p}^{2}(K)}$ of the fields ${\displaystyle K}$ is end각 정점 $V{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle T\mathcal{}}$ ${\$ resp.${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}p}$ ${\displaystyle ,}$ r${\displaystyle }$) ${\displaystyle V\in {\mathcal {G}_{0}(p,r)}$은$($는) $K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$ 필드와 관련된 데이터에$$ 매핑되며, ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$= G ${\displaystyle {}_{}^{}(}$K$$) {\$displaystyle$ V$=G_{p$}^${\displaystyle 2}($$K)}).$

예

To be specific, let ${\displaystyle p=3}$ and consider complex quadratic fields ${\displaystyle K(d)=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ with fixed signature ${\displaystyle (0,1)}$ having ${\displaystyle 3}$-class groups with type invariants ${\displaystyle (3,3)}$. See OEISA242863 [1]그들의 두 번째 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $3}$ - 클래스$$ 그룹 $G{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$( K${\displaystyle }$) ${\displaystyle G_{3}^{2}(K)}$는 D에 의해 결정되었다$$.C. 범위에 대한 메이어- 6< d< > 0{\$displaystyle -10^{6$ 그리고 가장 최근에는 N. 보스턴, M. R. 부시, F.확장 범위의 Hajir^[22]- 8< < ${\displaystyle -10^{8}<d<0}$.

Let us firstly select the two structured coclass trees (SCTs) ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )}$ and ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )}$, which are known from Figures 8 and 9 already, and endow these trees with additional arithmetical 실현된 꼭지점 $V{\displaystyle }$ ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ $V}$을(를) 원으로$$ 둘러싸고 밑줄 친 굵은 얼굴 ${\displaystyle 정수}$ ${\displaystyle \{d}$∣ V${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ (${\displaystyle {}_{}^{}}$K${\displaystyle )\}}$ ${\displaystyle \min\{d \mid V=G_{3}^{2}(k(d)$를 부착하여 구조화한다.$\}}$$V{\displaystyle }$ ${\displaystyle V}$이(가) 두 $번째{\displaystyle \mathrm{}}$ 3 ${\displaystyle 3}$ - 클래스$$ 그룹 $G{\displaystyle {}_{}^{}}$ 3 ${\displaystyle {}_{}^{}}$(${\displaystyle K}$(${\displaystyle }$) ${\displaysty G_{3}^{2}(k)(d)}$에 의해 실현되는$$ 것과 같은 최소한의 절대 판별력을 부여한다$.$그런 다음 그림 10과 11에서 산술적으로 구조화된 코클라스 트리(ASCTs)를 얻는데, 특히, 두 번째 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 3}$ -class$$ 그룹의 실제 분포에 대한 인상을 준다.^[11]OEIS A242878 [2]를 참조하십시오.

표 2: 6개 시퀀스 상태에 대한 최소 절대 판별

주 ${\displaystyle \uparrow ^{n}}$	TKT E.14 ${\displaystyle \varkappa = (3122)}$	TKT E.6 ${\displaystyle \varkappa = (1122)}$	TKT H.4 ${\displaystyle \varkappa = (2122)}$	TKT E.9 ${\displaystyle \varkappa = (2334)}$	TKT E.8 $\displaystyle \varkappa = (2234)}$	TKT G.16 ${\displaystyle \varkappa = (2134)}$
${\displaystyle {GS\mathrm{}}^{}}$ $\uparrow {\displaystyle {}^{}}$ 0 ${\$	$디스플레이 스타일 16627}$	$디스플레이 스타일 15544}$	${\displaystyle$	$(\displaystyle 9748}$	$(\displaystyle 34867}$	${\displaystyle 17131}$
ES1 $\uparrow {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$	${\displaystyle 262744}$	${\displaystyle 268040}$	$(\displaystyle 446788}$	${\displaystyle 297079}$	$(\displaystyle 370740)$	$819743}$
ES2 $\uparrow {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$	$(\displaybackstyle$	${\displaystyle 1062708}$	${\displaystyle 3843907}$	${\displaystyle 1088808}$	$(\displaystyle 4087295}$	${\displaystyle 2244399}$
${\displaystyle {ES3\mathrm{}}^{}}$ $\uparrow {\displaystyle {}^{}}$ 3 ${\$	$(\displaystyle 40059363}$	$(\displaystyle 27629107}$	${\displaystyle 52505588}$	$(\displaystyle 11091140)$	$'19027947'$	${\displaystyle 30224744}$
${\displaystyle {ES4\mathrm{}}^{}}$ $\uparrow {\displaystyle {}^{}}$ 4 ${\$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$	${\디스플레이 스타일 94880548}$	${\displaystyle }$	${\displaystyle }$

복잡한 2차 분야의 두번째 3{3\displaystyle}-class 그룹의 항목의 주기성에 관한 G 32(K(d)){\displaystyle G_{3}(K(d))}, 나무의 그림에 한번 정도만 다른 지점 10,11이metabelian 3{3\displaystyle}-groups하고 있으며 월 구성될 수 있proved[17]다.e디stribution sets in with a ground state (GS) on branch ${\displaystyle {\mathcal {B}}(6)}$ and continues with higher excited states (ES) on the branches ${\displaystyle {\mathcal {B}}(j)}$ with even ${\displaystyle j\geq 8}$. This periodicity phenomenon is underpinned by three sequences with fixed TKTs^[16]

• E.14 $\varkappa {\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle 312}$) ${\displaystyle \varkappa$ = $(3122$ OEIS A247693 [3],
• E.6 $\varkappa {\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 1122}$) ${\displaystyle \varkappa =(1122$ OEIS A247692 [4],
• H.4 $\varkappa {\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2122}$) ${\displaystyle \varkappa$ = $(212$ OEIS A247694 [5]

ASCT $T{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle 2^{\mathrm{}}}$ (${\displaystyle {}^{}⟨}$ ${\displaystyle 243}$,${\displaystyle 6}$ ${\displaystyle ⟩}$) ${\displaystyle {\mathcal{T}^{2}(\langle 243,6\rangele )}$및 고정 TKT가 있는 세 시퀀스

• E.9 $\varkappa {\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2334}$) ${\displaystyle \varkappa$ = $(2334$ OEIS A247696 [6],
• E.8 $\varkappa {\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2234}$) ${\displaystyle \varkappa$ = $(2234$ OEIS A247695 [7],
• G.16 $\varkappa {\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle 2134}$) ${\displaystyle \varkappa$ = $(2134$OEIS A247697 [8]

on the ASCT ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )}$. Up to now,^[22] the ground state and three excited states are known for each of the six sequences, and for TKT E.9 ${\displaystyle \varkappa =(2334)}$ even the fourth excited state occurred already.6개의 주기적 시퀀스 각각에 대한 다양한 상태에 대한 최소 절대적 차별은 표 2에 제시되어 있다.지면 상태(GS) 및 첫 번째 흥분 상태(ES1)에 대한 데이터는 D에서 가져갔다.C. 메이어,^[17] 두 번째, 세 번째, 네 번째 흥분 상태(ES2, ES3, ES4)에 대한 가장 최근의 정보는 N. 보스턴, M. R. 부시, F. 때문이다.하지르.

표 3: 산발적인 $4개$의 절대 및 상대 주파수$([\displaystyle 3}$ - 그룹$$)

$(\displaystyle d })$ <	합계 ${\displaystyle \#}$	TKT D.10 ${\displaystyle \varkappa = (3144)}$ ${\displaystyle \tau =[(21)(1^{3})((21)]}$ $(\displaystyle G=\langle 243,5\angle }$	TKT D.5 ${\displaystyle \varkappa = (1133)}$ ${\displaystyle \tau =[(21)^{3})((21)(1^{3})}}$ $(\displaystyle G=\langle 243,7\angle }$	TKT H.4 ${\displaystyle \varkappa = (4111)}$ ${\displaystyle \tau =[(1^{3})(1^{3})(1^{3})(21)]}$ $G=\langle 729,45\angle }$	TKT G.19 ${\displaystyle \varkappa = (2143)}$ ${\displaystyle \tau =[(21)(21)(21)]}$ ${\displaystyle G=\langle 729,57\angle }$
${\displaystaystyle b=10^}}$	$2020년 디스플레이 스타일$	${\displaystyle 667\(33.0\%)}$	$269\(13.3\%)}$	$297\(14.7\%)}$	$(\displaystyle 94\ (4.7\%)}$
${\displaystaystyle b=10^}}$	$(\displaystyle 24476}$	$7622\(31.14\%)}$	$(14.81\%) 디스플레이 스타일 3625$	$3619\ (14.79\%)$	$1019\ (4.1987\%)$
${\displaystaystyle b=10^}}$	${\displaystyle 276375}$	${\displaystyle 83353\(30.155\%)}$	${\displaystyle 41398\(14.979\%)}$	$40968\(14.823\%)}$	${\displaystyle 10426\(3.7724\%)}$

이와는 대조적으로, ${\displaystyle \mathrm{산발적}}$인 부분 G${\displaystyle {}_{}{0}_{\mathrm{}}}$ (${\displaystyle }3{\displaystyle \mathcal{}}$,${\displaystyle 2)\{\backslash }$표시$$ 스타일 {\$mathcal{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$ ${\mathcal$ {$G}{0$}(3$,2)}$의 산발적인 부분을 두 번째로 선택하여 추가 산술적 구조를 후예 나무에 부착하는 또 다른 방법이 카운터$#{$$}$을 표시한다는 것을 입증한다${\displaystyle \#\{d <b\mid V=G_{3}^{2}(K(d)))$$\}}$ of hits of a realized vertex ${\displaystyle V}$ by the second ${\displaystyle 3}$-class group ${\displaystyle G_{3}^{2}(K(d))}$ of fields with absolute discriminants below a given upper bound ${\displaystyle b}$, for instance ${\displaystyle b=10^{8}}$. With respect to모든 복잡한 2차 필드의 형식(3,3){\displaystyle(3,3)}과 판별 − b의 3{3\displaystyle}-class 그룹인 것은 d<0{\displaystyle -b<, d<0}과 총 카운터 276375{276375\displaystyle}, 이것은 populatio의 점근 밀도에 대한 근사치로 상대적인 주파수를 준다.그림에서 n12와 표 3.Exactly four vertices of the finite sporadic part ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$ of ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$ are populated by second ${\displaystyle 3}$-class groups ${\displaystyle G_{3}^{2}(K(d))}$:

• ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle 243}$,${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle 243,5\rangele$ $\},$ OEIS A247689[9],
• ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle 243}$,${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle 243,7\rangele$ $\},$ OEIS A247690 [10],
• ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle 729,}$ ${\displaystyle 45}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle 729,45\angle$ $\},$ OEIS A242873 [11],
• ${\displaystyle ⟨}$ ${\displaystyle 729,}$ ${\displaystyle 57}$ ${\displaystyle ⟩}$ ${\displaystyle \langle 729,57\angle$ $\},$ OEIS A247688[12].

다양한 프라임의 비교

Now let ${\displaystyle p\in \{3,5,7\}}$ and consider complex quadratic fields ${\displaystyle K(d)=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ with fixed signature ${\displaystyle (0,1)}$ and p-class groups of type ${\displaystyle (p,p)}$. The dominant part of the second p-class이들 필드의 그룹은 산발적인 부분 G ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}p,}$ ${\displaystyle 2}$)의 상위$$ $p{\displaystyle {}^{}}$ $({\$$displaystyle$ p$^{5})$에 P의 줄기에 속하는 코클라스 그래프 $G{\displaystyle \mathcal{}(\mathrm{p},}$ 2${\displaystyle }$)의 ${\$displaystyle$$${G$}{$0$$}($$p,2)$를 채운다$.$홀의 isoclinism 가족. 최고급 제품;3{\displaystyle p> 3}, Φ 6{\displaystyle \Phi_{6}의 줄기}p+7개의 정규 p-groups{\displaystyle p+7}과 다소 균일 behav을 드러내는 구성으로 6{\displaystyle \Phi_{6}}, 또는 명령 p6{\displaystyle p^{6}의 직계 후손}p을 Φ.iourTKTs 및 TTTs에 대해서는, 그러나 $\phi {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {6\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 줄기에 있는 7개의 $3{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 3}$ - 그룹은$$ 불규칙하다.우리는 또한 고치 ${\displaystyle {나무}_{}}$의 $일부{\displaystyle }$ 뿌리인 $for$ 6의 줄기에$$ 무한정 가능한 꼭지점 몇 개${\displaystyle \mathrm{p}}$ = 3 {\$displaystyle$ p$=$3$}$의 경우 3 ${\$$displaystyle p$$=3}$의 경우 4 {\$displaystyle$ 4$})$가 존재한다는 것을 강조한다$.$하지만, 여기 우리가 σ{\displaystyle \sigma}-groups 또는 플레이어와 한정되어 나무의 뿌리들 G0안에(p, 2){\displaystyle{\ma(p2{\displaystyle 2})3{\displaystyle p=3}과 p+p을을 위해 1{\displaystyle p+1}3{\displaystyle p> 3})는 고립된 슈어는 산발적인 vertices에 중점을 둔다.thcal${G}_{0}(p,2)}($$각{\displaystyle }$ p ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle p\geq 3}$에 ${\displaystyle \mathrm{}}$ 2 ${\displaystyle 2}).$들어 p>3{\displaystyle p> 3}, TKT 슈어의 σ{\displaystyle \sigma}-groups은 순열의 주기 분해하지 않고 transpositions는 반면에, TKT의 뿌리들읜 플레이어와 한정되어 나무는 compositum의 차갑transpositions고 짝수(0{0}일 경우\displaystyle 또는 2{\displaystyle 2})의 fixed포인트

We endow the forest ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,2)}$ (a finite union of descendant trees) with additional arithmetical structure by attaching the minimal absolute discriminant ${\displaystyle \min\{ d \mid V=G_{p}^{2}(K(d))$$\}}$ to each realized vertex ${\displaystyle V\in {\mathcal {G}}_{0}(p,2)}$. The resulting structured sporadic coclass graph is shown in Figure 13 for ${\displaystyle p=3}$, in Figure 14 for ${\displaystyle p=5}$, and in Figure 15 for ${\displaystyle p=7}$.

참조