수목성

비방향 그래프의 수목성은 가장자리가 분할될 수 있는 최소 숲 수입니다.동등하게, 그것은 그래프의 모든 가장자리를 덮는 데 필요한 스패닝 포리스트의 최소 수입니다.내시-윌리엄스 정리는 그래프가 k-arboric일 때 필요한 충분한 조건을 제공한다.

예

그림에는 전체 초당적 그래프_4,4 K가 표시되며, 색상은 가장자리의 분할을 세 개의 숲으로 나타낸다.K는_4,4 8개의 꼭지점에 있는 어떤 숲도 최대 7개의 가장자리를 가지고 있는 반면 전체 그래프는 16개의 가장자리를 가지고 있어 단일 숲의 가장자리 수를 두 배 이상 증가시키기 때문에 더 적은 숲으로 분할할 수 없다.따라서 K의_4,4 수목성은 3이다.

밀도 측도로서의 수목성

그래프의 수목성은 그래프의 밀도를 측정하는 척도로, 가장자리가 많은 그래프는 식목성이 높고 식목성이 높은 그래프는 반드시 밀도가 높은 서브그래프를 가져야 한다.

In more detail, as any n-vertex forest has at most n-1 edges, the arboricity of a graph with n vertices and m edges is at least ${\displaystyle \lceil m/(n-1)\rceil }$. Additionally, the subgraphs of any graph cannot have arboricity larger than the graph itself, or equivalently the arboricity of a graph must be at least the 서브그래프의 최대 수목성.Nash-Williams은 이 두가지 사실 arboricity의 특성을 보여 줄 때 결합할 수 있다면 nS하고 있도록 vertices와 가장자리의 지정된 그래프의 어떤 부분 그래프. S, 다음 그래프는 S{S/(nS− 1)인류 ⌈ ⌉}정도이다 그 arboricity의 수, 각각 의미하다.{\displaystyle \max_{S}(n_{S}))\rceil\와 같이}증명했다..$}$

정점이$$ $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$개인 평면 그래프는 최대 ${\displaystyle \mathrm{3n}}$ -${\displaystyle }$6$(\displaystyle 3n-6}$개의$$ 가장자리를 가지며, 평면 그래프는 최대 3개의 면구성을 갖는 Nash-Williams 공식에 따른다.슈나이더는 평면 그래프를 슈나이더 나무라고 불리는 세 개의 숲으로 분해하여 작은 영역의 그리드에 어떤 평면 그래프를 삽입하는 직선을 찾았다.

알고리즘

그래프의 수목성은 보다 일반적인 매트로이드 분할 문제의 특별한 경우로서 표현될 수 있는데, 이 경우 매트로이드의 요소 집합을 소수의 독립 집합의 조합으로 표현하고자 한다.그 결과, 수목성은 다항 시간 알고리즘(Gabow & Westermann 1992년)으로 계산할 수 있다.

관련개념

그래프의 양극성은 그래프의 가장자리가 분할될 수 있는 최대 에지 분리 비파괴 서브그래프의 수입니다.

그래프의 항성 수목성은 최소 숲의 크기로, 각각의 나무는 별(최대 하나의 잎이 아닌 노드가 있는 나무)이며, 그래프 가장자리를 분할할 수 있다.나무 자체가 항성이 아닌 경우, 나무 뿌리로부터 각각 홀수와 짝수 거리에 있는 두 개의 하위 집합으로 가장자리를 분할하여 볼 수 있듯이, 그 별의 수목성은 둘이다.따라서 어떤 그래프의 항성 수목성은 적어도 수목성과 같으며, 최대 2배의 수목성과 같다.

그래프의 선형 수목성은 그래프의 가장자리를 분할할 수 있는 선형 포리스트의 최소 수(경로 모음)이다.그래프의 선형 수목성은 그래프의 최대 정도 및 기울기 수와 밀접한 관련이 있다.

그래프의 유사포리스트는 가장자리가 분할될 수 있는 유사포리스트의 최소 수입니다.동등하게, 이것은 그래프의 하위 그래프에서 정수로 반올림된 에지 대 정점의 최대 비율이다.수목성과 마찬가지로 의사보리성은 매트로이드 구조를 가지고 있어 효율적으로 계산할 수 있다(Gabow & Westermann 1992).

그래프의 두께는 가장자리가 분할될 수 있는 평면 하위 그래프의 최소 수입니다.평면 그래프는 수목성이 3이므로 어떤 그래프의 두께는 적어도 수목성의 3분의 1과 같으며, 기껏해야 수목성과 같다.

그래프의 퇴행성은 그래프의 모든 유도 서브그래프에 걸쳐 서브그래프의 정점 최소값이다.그래프의 arboricity의 축퇴를{\displaystyle}적어도{\displaystyle}, 그리고 가장 2에 − 1{2a-1\displaystyle}이다.를 그래프는 또한 Szekeres-Wilf 수(Szekeres &, 윌프 1968년)로 알려진 그 색깔 번호는 늘+1(젠슨 및 그것의 퇴화와 같은지, Toft 1995년, 77f p. 같습니다.cm이다.

그래프의 강도는 그래프로 그릴 수 있는 최대 분리수(disjoint spanning tree)를 정수 부분에 제공하는 분수 값이다.수목성에 의해 제기되는 커버링 문제와 이중적인 것은 패킹 문제다.이 두 매개변수는 투테와 내시윌리엄스가 함께 연구했다.

The fractional arboricity is a refinement of the arboricity, as it is defined for a graph ${\displaystyle G}$ as ${\displaystyle \max\{m_{S}/(n_{S}-1)\mid S\subseteq G\}.}$ In other terms, the arboricity of a graph is the ceiling of the fractional arboricity.

(a,b)-폐합성은 식목성을 일반화한다.그래프는 (${\displaystyle }$, ${\displaystyle b}$) ${\displaystyle$ $($$a,b)}$ - 가장자리를${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a+1}$로 분할할 수 있는 경우$$, 각각 포리스트를 유도하는 그래프(최대 도 $b{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $b$ 수목성을 $가진{\displaystyle }$ 그래프 a$\}{\displaystyle }$은 ( , 0 ) {\$displaystystyle$${\displaystyle }$(a$$$,0}$이다.$$-분할 수 있는

트리 번호는 그래프의 가장자리를 덮고 있는 나무의 최소 수입니다.

특별 출연

Goldberg-Symour 추측에 Arboricity가 나타난다.

참조