앨버트슨 추측

조합 수학에서 알베르손 추측은 교차 숫자와 그래프의 색수 사이의 입증되지 않은 관계다.그것은 마이클 오의 이름을 따서 지어졌다.2007년에 그것을 추측이라고 말한 스미스 칼리지의 알버트슨 교수. 이것은 그래프 색소 이론에서 그의 많은 추측들 중 하나이다.^[1][2]추측에 따르면, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ 색상이$$ 필요한 모든 그래프 중에서 전체 $그래프{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {Kn}_{}}${\$displaystyle K_{n}}$이 교차$$ 번호가 가장 작은 그래프라고 한다.마찬가지로 ${\displaystyle {Kn}_{}}$ ${\$보다 적은 교차 수로 그래프를 그릴 수 있다면 추측에 따르면 그래프는 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ n$}색$ 이하로$$ 색칠할 수 있다.

최소 교차 수에 대한 추정 공식

경계 교차 번호가 있는 그래프는 경계 색수를 가지고 있다는 것을 보여주는 것이 간단하다. 즉, 모든 교차 가장자리의 끝점에 구별되는 색상을 할당하고 나머지 평면 그래프를 4 색상으로 칠할 수 있다.앨버트슨의 추측은 교차수와 채색 사이의 이러한 질적 관계를 보다 정밀한 정량적 관계로 대체한다.구체적으로 리차드 K에 대한 다른 추측이다. Guy(1972)는 전체 그래프 ${\displaystyle {Kn}_{}}$ ${\$의 교차 번호가

${\displaystyle {\textrm {cr}}(K_{n})={\frac {1}{4}}{\biggl \lfloor }{\frac {n}{2}}{\biggr \rfloor }\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-2}{2}}\right\rfloor \left\lfloor {\frac {n-3}{2}}\right\rfloor .}$

정점을 두 개의 동심원 안에 배치하여 이렇게 많은 교차점들로 완전한 그래프를 그리는 방법은 알려져 있다; 알려지지 않은 것은 교차점 수가 적은 더 나은 그림이 존재하느냐 하는 것이다.따라서 앨버트슨 추측의 강화된 공식은 모든 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$ - 색채$$ 그래프는 적어도 이 공식의 오른손만큼 큰 교차 숫자를 가지고 있다는 것이다.^[3]가이의 추측과 알베르손 추측이 모두 사실이라면 이 강화된 추측이 사실일 것이다.

점근경계

M에 의해 증명된, 더 약한 형태의 추측.Schaefer,[3]은 색 수 n{n\displaystyle}을 매일 그래프 또는 동등하게 그 번호를 k크로싱을{k\displaystyle}색 수 줄 수 있는 모든 그래프{O(k^{1})\displaystyle}(k1/4). 번호 Ω(n4){\displaystyle \Omega(n^{4})}( 큰 오메가 표기법을 사용하여)장백의를 건너고 있다고 되어 있다.음.정말Tson, 크랜스턴&폭스(2009년), 사실에 따라 모든 최소한의 n{n\displaystyle}-chromatic 그래프 최소 정도 적어도 n− 1{\displaystyle n-1}( 그렇지 않으면 탐욕 채색 더 적은 색을 사용할 것)함께 그 도하 수 사회적 불평등으로 결합시켜 이 범위의 단순한 증거를 출간했다 모든. graph ${\displaystyle G=(V,E)}$ with ${\displaystyle E / V \geq 4}$ has crossing number ${\displaystyle \Omega ( E ^{3}/ V ^{2})}$. Using the same reasoning, they show that a counterexample to Albertson's conjecture for the chromatic number ${\$$displaystyle n}($있는 경우) 정점이 ${\displaystyle \mathrm{4n}}$ ${\displaystyle 4n}$개$$ 미만이어야 한다.

특례

알버트슨 추측은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle n\leq 4}$에 대해 빈정거릴 정도로 사실이다$.$ ${\displaystyle {이러한}_{}}$ 경우$$Kn {\$displaystyle K_${n$$$}}$는 교차 숫자가 0이므로 추측에 $따르면{\displaystyle }$n {\$displaystyle$ n}$$- 색채$$ 그래프는 교차 숫자가 0보다 크거나 같으며, 이는 모든 그래프에 해당된다.앨버슨 추측의 $사례$ n${\displaystyle }$= ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle n=5}$은(는) 4색 정리와 동일하며, K ${\$의 한 교차보다 적은 교차를 필요로 하는 유일한 그래프는 평면 그래프로서$$, 이러한 숄을 암시한다.모두 기껏해야 4음절이다.저자들의 여러 단체들의 노력을 통해 올해는 추측 이제 모든 정수 c는 n≤ 18{\displaystyle n\leq 18}.[4]≥ 6{\displaystyle c\geq 6}, 루이스와 리히터는 완전 그래프의 하위 구분을 포함하고 있지 않(댁+1){\displaystyle(c+1)}-color-critical 그래프의 가족은 제시를 열기로 알려져 있다.${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle c_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$}은$($는) 하나 ${\displaystyle {\mathrm{이상}}_{}}$ K ${\displaystyle c_{}}$+ 1 ${\$의 교차 번호를 가지고 있다$.$^[5]

관련 추측

또한 하드와이거 추측과 연관성이 있는데, 이것은 색수와의 관계와 그래프에 나타난 큰 부류의 존재에 관한 조합학에서 중요한 개방적인 문제였다.^[6]하조스 교르지오에 의해 언급된 하드와이거 추측의 변형은 $모든{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$ -chromatic$$ graph에 ${\displaystyle {Kn}_{}}$ ${\$의 하위 구분을 포함하고 있다는 것이다$.$ 만약 이것이 사실이라면, 알베르손 추측이 뒤따를 것이다. 왜냐하면 전체 그래프의 교차 수는 적어도 그 s의 어떤 교차 횟수만큼 크기 때문이다.부분할그러나, 하조스 추측에 대한 백배증이 현재 알려져 있으므로,^[7] 이 연관성은 알베르손 추측에 대한 증거의 길을 제공하지 않는다.

메모들

참조

• Ackerman, Eyal (2019), "On topological graphs with at most four crossings per edge", Computational Geometry, 85: 101574, 31, arXiv:1509.01932, doi:10.1016/j.comgeo.2019.101574, MR 4010251
• Albertson, Michael O.; Cranston, Daniel W.; Fox, Jacob (2009), "Colorings, crossings, and cliques" (PDF), Electronic Journal of Combinatorics, 16: R45, arXiv:1006.3783, Bibcode:2010arXiv1006.3783A.
• Barát, János; Tóth, Géza (2010), "Towards the Albertson Conjecture", Electronic Journal of Combinatorics, 17 (1): R73, arXiv:0909.0413, Bibcode:2009arXiv0909.0413B.
• Catlin, P. A. (1979), "Hajós's graph-colouring conjecture: variations and counterexamples", Journal of Combinatorial Theory, Series B, 26 (2): 268–274, doi:10.1016/0095-8956(79)90062-5.
• Erdős, Paul; Fajtlowicz, Siemion (1981), "On the conjecture of Hajós", Combinatorica, 1 (2): 141–143, doi:10.1007/BF02579269.
• Guy, Richard K. (1972), "Crossing numbers of graphs", in Alavi, Y.; Lick, D. R.; White, A. T. (eds.), Graph Theory and Applications: Proceedings of the Conference at Western Michigan University, Kalamazoo, Mich., May 10–13, 1972, New York: Springer-Verlag, pp. 111–124. 알버트슨, 크랜스턴 & 폭스(2009)의 인용.
• Oporowski, B.; Zhao, D. (2009), "Coloring graphs with crossings", Discrete Mathematics, 309 (9): 2948–2951, arXiv:math/0501427, doi:10.1016/j.disc.2008.07.040.
• Luiz, Atílio; Richter, Bruce (2014), "Remarks on a conjecture of Barát and Tóth", Electronic Journal of Combinatorics, 21 (1): P1.57.